動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題【好題精選精練】 數(shù)學(xué)八年級 下冊重難點(diǎn)突破（含答案解析）

重難點(diǎn)03動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題目錄考點(diǎn)一：面積計(jì)算的問題考點(diǎn)二：與面積相關(guān)的函數(shù)解析式技巧方法技巧方法運(yùn)動(dòng)變化題是隨著圖形的某一元素的運(yùn)動(dòng)變化，導(dǎo)致問題的結(jié)論改變或者保持不變的幾何題，它揭示了“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”、“一般”與“特殊”的內(nèi)在聯(lián)系．解題的關(guān)鍵是分清幾何元素運(yùn)動(dòng)的方向和捷徑，注意在運(yùn)動(dòng)過程中哪些是變量，哪些不是變量，通常要根據(jù)幾何元素所處的不同位置加以分類討論，同時(shí)，綜合運(yùn)用勾股定理、方程和函數(shù)等知識，本節(jié)課的內(nèi)容涉及三角形、特殊的四邊形的面積問題．能力拓展能力拓展考點(diǎn)一：面積計(jì)算的問題本節(jié)主要是在函數(shù)背景下求三角形或四邊形的面積問題，較復(fù)雜的題目可以采取“割補(bǔ)”的思想構(gòu)造較簡單的圖形進(jìn)行求解．一、解答題1．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┰诰匦沃?，，分別以、在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、合），過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖像與邊交于點(diǎn)．(1)求證：與的面積相等；(2)記，求當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)證明過程見詳解(2)當(dāng)時(shí)，有最大面積，最大面積為【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)點(diǎn)，在反比例函數(shù)圖像上，則可求出，，且，，由此即可求證；（2）確定，，，，將轉(zhuǎn)化為含有的一元二次方程方程，根據(jù)一元二次方程的頂點(diǎn)式即可求解．【詳解】（1）證明：設(shè)，，的面積為，的面積為，∵，都在反比例函數(shù)的圖像上，∴，，則，，∴，，∴．（2）解：根據(jù)題意可知，，，∴，∴，即，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，有最大面積，最大面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，反比函數(shù)與幾何的綜合問題，掌握反比例函數(shù)圖形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·上海·八年級?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長為6，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，M是邊上的一點(diǎn)，且．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，并與邊相交于點(diǎn)N．(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)求證：垂直平分線段．【答案】(1)(2)16(3)見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及條件確定點(diǎn)M坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；（2）令，在上，則，解得，得到，則點(diǎn)，，利用即可求解；（3）根據(jù)點(diǎn)N在反比例函數(shù)圖象上求點(diǎn)N坐標(biāo)，通過全等證得，進(jìn)而證明，即可證得垂直平分線段.【詳解】（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：，正方形邊長為6，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，解得：，反比例函數(shù)的解析式為：；（2）令，在上，則，解得，所以，∴點(diǎn)，，則；即的面積為16；（3）在和中，，，，在的中垂線上，，，，在的中垂線上垂直平分線段【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比函數(shù)和正方形的性質(zhì)以及垂直平分線的判定，點(diǎn)坐標(biāo)和線段長度的相互轉(zhuǎn)換，即數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵.3．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ袕埥瘓F(tuán)中學(xué)?？计谀咎骄颗c應(yīng)用】我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)有很多結(jié)論．例如：在平行四邊形ABCD中，，將△ABC沿直線AC翻折至△AEC，連結(jié)DE，則AC∥ED．(1)如圖1，若AD與CE相交于點(diǎn)O，證明以上個(gè)結(jié)論；(2)如圖2，AD與CE相交于點(diǎn)O，若，，，求△AOC的面積；(3)如果，，當(dāng)A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請畫圖并求出AC的長；(4)如果，，當(dāng)△AED是直角三角形時(shí)，直接寫出BC的長．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)或2；圖形見解析；(4)或或【分析】（1）由平行四邊形的定義可得AD∥BC，AD=BC，由折疊的性質(zhì)可得∠ACB=∠ACE，BC=CE，于是可得△OAC、△ODE是等腰三角形，利用對頂角相等求得∠OCA和∠OED即可證明；（2）設(shè)OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，由折疊的性質(zhì)可得OC=2-x，由∠B=90°可得ABCD是矩形，Rt△ODC中由勾股定理建立方程求得x，進(jìn)而求得OA即可解答；（3）分∠ACB=45°和∠ACB=90°兩種情況作出圖形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)計(jì)算求值即可；（4）分∠ACB=60°，∠ACB=90°和∠ACB=30°，三種情況，根據(jù)30°直角三角形的邊長關(guān)系和勾股定理計(jì)算求值即可；【詳解】（1）證明：∵ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠OAC=∠ACB，∵∠ACB=∠ACE，∴∠OAC=∠OCA，∴OA=OC，∠OCA=（180°-∠AOC），∵BC=CE，BC=AD，∴AD=CE，∴AD-OA=CE-OC，∴OE=OD，∴∠OED=（180°-∠EOD），∵∠AOC=∠EOD，∴∠OCA=∠OED，∴AC∥DE；（2）解：設(shè)OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，∵CE=CB=2，∴OC=2-x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=，AD=BC=2，∠ADC=90°，Rt△ODC中，OC2=OD2+CD2，∴（2-x）2=x2+2，∴x=，∴OA=AD-OD=，∴△OAC面積=OA?CD=；（3）解：①如圖，∠ACB=45°時(shí)，∠B=45°，AB=AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=45°，則∠BCD=135°，∴∠ACD=90°，∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°，AC∥ED，∴∠AED=90°，∠CDE=90°，∴四邊形ACDE是矩形，∵AB=AC=AE，∴四邊形ACDE是正方形，∵CE=CB=2，∴AC2+AE2=CE2，∴AC=；②如圖，∠ACB=90°時(shí)，∠B=∠BAC=45°，CA=CB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=45°，則∠BAD=135°，∴∠CAD=90°，∵AC∥ED，∴∠ADE=90°，∠CED=90°，∴四邊形ACDE是矩形，∵BC=CE=CA，∴四邊形ACDE是正方形，∴AC=2；∴AC=或2；（4）解：①如圖，∠ACB=60°時(shí)，∠B=30°，則∠BAC=90°，∴∠CAE=90°，∵AC∥DE，∴∠AED=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，BC=2AC，∴BC2=AB2+AC2=9+BC2，BC=；②如圖，∠ACB=90°時(shí)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=30°，則∠BAD=150°，∵∠BAC=90°-∠B=60°，∴∠CAD=90°，∵AC∥DE，∴∠ADE=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，AC=，∴BC==，③如圖，∠ACB=30°時(shí)，作AH⊥BC于點(diǎn)H，由四邊形ABCD是平行四邊形得AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=120°，由折疊的性質(zhì)可得∠EAC=∠BAC=120°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABH中，AB=3，AH=，∴BH=，∠B=∠ACB=30°，AH⊥BC，則BH=HC=BC，∴BC=2BH=，綜上所述BC的長為：或或.【點(diǎn)睛】本題考查了特殊平行四邊形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30°直角三角形，勾股定理等知識；正確作出圖形并分類討論是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在長方形ABCD中，AB=3，AD=，點(diǎn)P為對角線BD上異于B、D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將△ABP沿AP所在直線翻折，使得點(diǎn)B落在E處；(1)當(dāng)∠DPA=45°時(shí)，求點(diǎn)E到直線AB的距離；(2)連接AE，交線段BD于點(diǎn)F，當(dāng)△EFP為直角三角形時(shí)，求線段BP的長度；(3)當(dāng)∠DPE=30°時(shí)，請直接寫出△ABP的面積．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）作EH⊥AB于H，由矩形的性質(zhì)和勾股定理可求出，即得出AD=BD，從而可判定∠ABD=30．再根據(jù)∠APD=∠ABD+∠PAB，即得出∠PAB=∠PAE=15，從而得出∠EAH=30，再由翻折的性質(zhì)得出AE=AB=3，從而可求出EH=AE=；（2）分類討論：當(dāng)∠EPF=90時(shí)，易得出∠EFP=∠AFD=∠ADB=60，作PM⊥AB于M，在AM上截取一點(diǎn)N，使得AN=PN，即得出∠ADF=60，∠EAB=30，從而得出∠PAB=∠PAE=15．由等邊對等角可求出∠NAP=∠NPA=15，即可求出∠PNM=30．設(shè)PM=m，則PN=PB=AN=2m，MN=BM=，由AB=AN+BN，即得出關(guān)于m的等式，解出m的值，即得出答案；當(dāng)∠EFP=90時(shí)，即得出∠DAF=30，∠EAB=60，證明PA=PB，PA=PD，即得出PB=PD=；（3）作PM⊥AB于M，當(dāng)∠DPE=30°時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，即∠PAE=∠PAB=45，設(shè)AM=PM=n，則BM=n，由AM+BM=AB，即得出關(guān)于n的等式，解出n，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．(1)如圖1，作EH⊥AB于H，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90，∴，∴AD=BD，∴∠ABD=30，∵∠APD=45=∠ABD+∠PAB，∴∠PAB=∠PAE=15，∴∠EAH=30，由翻折可知AE=AB=3，∴EH=AE=；(2)分類討論：當(dāng)∠EPF=90時(shí)，∵∠E=∠ABD=30，∴∠EFP=∠AFD=∠ADB=60，如圖2-1，作PM⊥AB于M，在AM上截取一點(diǎn)N，使得AN=PN．∴∠ADF=60，∠EAB=30，∴∠PAB=∠PAE=15．∵AN=PN，∴∠NAP=∠NPA=15，∠PNM=30．設(shè)PM=m，則PN=PB=AN=2m，MN=BM=，∴2m+=3，解得：m=，∴PB=；如圖2-2，當(dāng)∠EFP=90時(shí)，∴∠DAF=30，∠EAB=60，∴∠PAB=∠PAE=30，∴∠PAB=∠PBA=30，∠PAD=∠PDA=60，∴PA=PB，PA=PD，∴PB=PD=；綜上述，滿足條件的PB的值為或；(3)如圖3，作PM⊥AB于M，當(dāng)∠DPE=30°時(shí)，易知點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，此時(shí)，∠PAE=∠PAB=45，設(shè)AM=PM=n，則BM=n，∴n+n=3，解得：n=，∴=．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．正確的作出圖形和輔助線是解題關(guān)鍵．5．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，上底AD＝5厘米，下底BC＝11厘米，高是4厘米，點(diǎn)P、Q分別是AD、BC上的點(diǎn)，BQ＝2DP，設(shè)DP＝t厘米．(1)求梯形ABQP的面積；(2)求梯形ABQP的面積與梯形QCDP的面積相等時(shí)t的值．【答案】(1)（10+2t）平方厘米(2)3【分析】（1）根據(jù)題意用t表示出AP、BQ，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)梯形的面積公式列出方程，解方程即可得到答案．(1)解：∵AD＝5厘米，BQ＝2DP，設(shè)DP＝t厘米，∴AP＝（5﹣t）厘米，BQ＝2t厘米，∴S梯形ABQP＝×（5﹣t+2t）×4＝（10+2t）平方厘米；(2)解：當(dāng)梯形ABQP的面積與梯形QCDP的面積相等時(shí)，梯形ABQP的面積等于梯形ABCD的面積的一半，則10+2t＝×（5+11）×4×，解得：t＝3，∴當(dāng)t＝3時(shí)，梯形ABQP的面積與梯形QCDP的面積相等．【點(diǎn)評】本題考查的是梯形的面積計(jì)算，列代數(shù)式，一元一次方程的解法，掌握梯形的面積公式是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知：如圖，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，點(diǎn)E、F是垂足．(1)聯(lián)結(jié)DE、FB，求證：四邊形DFBE是平行四邊形；(2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，AB∥CD，再證明BE∥DF，接著證明△ABE≌△CDF，從而得到BE＝DF，然后根據(jù)平行四邊形的判定方法得到結(jié)論；（2）矩形面積ABCD的面積=AC?DF，求出DF，AC即可求得矩形面積．(1)證明：如圖：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠EAB＝∠FCD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴BE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠DAF＝∠BCE，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS），∴AF＝CE，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵AF＝FE＝2，∴AC＝BD＝6，又∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝DO＝3，在△ODF中，OD＝3，OF＝1，∠OFD＝90°，∴DF＝＝＝2，∴矩形ABCD的面積＝AC×DF＝6×2＝12．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．7．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，且DE∥AC，AD＝DE，點(diǎn)F在邊AC上，且CE＝CF，連接FD．(1)求證：四邊形DECF是菱形；(2)如果∠A＝30°，CE＝4，求四邊形DECF的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形DECF的面積＝8【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，求得，推出四邊形是平行四邊形，于是得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)作交于，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）解：過點(diǎn)作交于，四邊形是菱形，，，，，，，，，，四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的識別圖形．8．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，設(shè)BP＝x，四邊形APCD的面積為y．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(2)連接PD，當(dāng)△APD是以AD為腰的等腰三角形時(shí)，求四邊形APCD的面積．【答案】(1)(2)88或96或48【分析】（1）過A作于，過作于，設(shè)，表示出與的長，利用解出，從而計(jì)算四邊形的面積，得到與的函數(shù)關(guān)系式；（2）分兩種情形：①，②．先求出兩種情形下的值，再代入函數(shù)解析式中求出的值，即四邊形的面積．（1）解：過A作于，過作于，設(shè)．，，，，,，解得或，，，，，即，當(dāng)時(shí)，不成立，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意．．，即．（2）解：連接．①當(dāng)時(shí)，，，由（1）得，，即．．②當(dāng)時(shí)，，，又，四邊形是平行四邊形或等腰梯形，或，即或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上，四邊形的面積為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形與等腰梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理．9．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┮阎鐖D，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，AE∥BD．(1)求證：四邊形AODE是矩形；(2)若AB＝6，∠BCD＝120°，求四邊形AODE的面積．【答案】(1)見解析(2)9【分析】（1）先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直可得，然后根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明；（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出，判斷出是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出、，然后得到，再根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，在菱形中，，，四邊形是矩形；（2）解：，，，，是等邊三角形，，，四邊形是菱形，，四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定，主要利用了有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，熟練掌握矩形，菱形與平行四邊形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝﹣2x+12的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交y軸正半軸于點(diǎn)M，且點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)．(1)求直線AM的函數(shù)解析式；(2)若點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，且S△AMCS△ABM，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P在直線AB上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使四邊形BPMQ是菱形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣x+6，(2)（2，0）或（10，0）；(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)（，12）或（，12）或（，）或（，9）．【分析】（1）通過函數(shù)y＝?2x＋12求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，又由點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法求得直線AM的函數(shù)解析式；（2）設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，可求得AC的長，根據(jù)S△ABM＝BM?OA，S△AMCAC?OM，由S△AMC＝S△ABM，可得方程，解方程即可求得答案；（3）分兩種情況討論：①BM是菱形的邊時(shí)；②BM是菱形的對角線時(shí)，分別根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可．（1）解：∵直線AB的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+12，∴A（6，0），B（0，12），又∵M(jìn)為線段OB的中點(diǎn)，∴M（0，6），設(shè)直線AM的解析式為：y＝kx+b，∴，解得：，故直線AM的解析式為y＝﹣x+6；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（x，0），∴AC＝|x﹣6|，∵B（0，12），M（0，6），∴BM＝6，∴S△ABMBM?OA6×6＝18，∵S△AMCS△ABM，∴S△AMCAC?OM6×|x﹣6|18，∴3×|x﹣6|＝12，解得：x＝2或10，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（2，0）或（10，0）；（3）設(shè)P（x，﹣2x+12），①如圖所示：BM是菱形的邊時(shí)．過P2作P2C⊥y軸于C，∴P2C＝x，BC＝12﹣（﹣2x+12）＝2x，∵四邊形BP2Q2M是菱形，∴P2B＝BM＝6，在Rt△BP2C中，P2C2+BC2＝P2B2，∴x2+（2x）2＝62，解得x＝±，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，12）或（，12）；過P3作P3D⊥y軸于D，∴P3D＝x，MD＝6﹣（﹣2x+12）＝2x﹣6，∵四邊形BQ3P3M是菱形，∴P3M＝BM＝6，在Rt△MP3D中，P3D2+MD2＝P3M2，∴x2+（2x﹣6）2＝62，解得x或0（舍去），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；②如圖所示：BM是菱形的對角線時(shí)，連接PQ交y軸于N，∵四邊形BQMP是菱形，∴PQ⊥BM，BN＝MN，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，9）．∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是9，∴﹣2x+12＝9，解得x，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，9）．綜上所述，存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)（，12）或（，12）或（，）或（，9）．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積、菱形的性質(zhì)等．解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．11．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┰谔菪蜛BCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，EF∥AD，點(diǎn)P與AD在直線EF的兩側(cè)，∠EPF＝90°，PE＝PF，射線EP、FP與邊BC分別相交于點(diǎn)M、N，設(shè)AE＝x，MN＝y(tǒng)．(1)求邊AD的長；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)如果MN的長為2，求梯形AEFD的面積．【答案】(1)AD＝6(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣3x+10．定義域?yàn)?≤x＜．(3)梯形AEFD的面積為或32【分析】（1）過D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點(diǎn)G、H，判定四邊形ABHD是矩形，在Rt△DHC中求出CH的長，利用AD＝BH＝BC﹣CH求出AD的長；（2）首先確定PM＝PN，過點(diǎn)P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，根據(jù)∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，從而得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，也能得出定義域；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，由MN＝2及（2）的結(jié)論得2＝﹣3x+10，AE＝，可求得梯形的面積；②當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD外部時(shí)，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，可求得梯形的面積．（1）解：過D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點(diǎn)G、H，如圖所示∵梯形ABCD中，∠B＝90°，∴DH∥AB，又∵AD∥BC，∴四邊形ABHD是矩形，∵∠C＝45°，∴∠CDH＝45°，∴CH＝DH＝AB＝8，∴AD＝BH＝BC﹣CH＝6．（2）解：∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，∴FG＝DG＝AE＝x，∵EG＝AD＝6，∴EF＝x+6，∵PE＝PF，EF∥BC，∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，過點(diǎn)P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，如圖所示∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，∴PQ＝EF＝，PR＝MN＝，∵QR＝BE＝8﹣x，∴，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣3x+10．定義域?yàn)?≤x＜．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，由MN＝2及（2）的結(jié)論得2＝﹣3x+10，AE＝，∴（AD+EF）?AE＝，當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD外部時(shí)，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，∴（AD+EF）?AE＝．【點(diǎn)睛】本題考查梯形及有實(shí)際問題列一次函數(shù)關(guān)系式的知識，綜合性較強(qiáng)，對于此類題目，要學(xué)會由小及大，將所求的問題縮小，一步一步求解．12.如圖，已知，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四邊形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE=2．（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，求△GFC的面積；（2）如圖2，當(dāng)四邊形EFGH為菱形，且BF=時(shí)，求△GFC的面積．（用含的代數(shù)式表示）【難度】★★★【解析】（1）過點(diǎn)G作GM⊥BC于M．∵四邊形EFGH為正方形時(shí)，∴∵，∴∵，，，∴同理可知：∴∴，則；過點(diǎn)G作GM⊥BC于M，連接HF∵AD∥BC，∴∵EH∥FG，∴∴∵，，，∴∴∴．【總結(jié)】本題主要考察菱形、正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)．13.如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)A(0，1)和點(diǎn)D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C在第一象限，一次函數(shù)y＝kx＋2的圖像l交AD、CD分別于E、F．（1）若△DEF與△BCF的面積比為1∶2，求k的值；（2）聯(lián)結(jié)BE，當(dāng)BE平分∠FBA時(shí)，求k的值．【難度】★★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)A(0，1)和點(diǎn)D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C在第一象限，∴B(2，1)，C(2，3)，D(0，3)．∵一次函數(shù)y＝kx＋2的圖像l交AD、CD分別于E、F，∴E(0，2)．設(shè)F(m，3)，∵△DEF與△BCF的面積比為1∶2，∴，解得：，∴F(1，3)∵F(1，3)在直線y＝kx＋2上，∴；延長BE交CD的延長線于H，∵BE平分∠FBA，∴∵CD∥AB，∴，∴，∴FB=HF∵AE=1，DE=1，∴AE=DE∵AE=DE，，∴△HED≌△BEA∴HD=AB=2，∴H(－2，3)設(shè)F(n，3)∵FB=HF，∴，解得：，∴F(，3)∵F(，3)在直線y＝kx＋2上，∴．【總結(jié)】考察等腰三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間的距離公式的運(yùn)用，注意點(diǎn)的坐標(biāo)與解析式的關(guān)系．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝2x＋12的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交y軸正半軸于點(diǎn)M，且點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)．（1）求直線AM的表達(dá)式；（2）試在直線AM上找一點(diǎn)P，使得S△ABP＝S△AOB，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)H為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)H，使以A、B、M、H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形?若存在，請直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【難度】★★★【答案】（1）；（2）P(6，12)或P(－18，－12)；（3）H(－12，0)或H(－6，18)或H(，)．【解析】（1）∵函數(shù)y＝2x＋12的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，∴A(－6，0)，B(0，12)∵點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)，∴M(0，6)，則直線AM的表達(dá)式為；當(dāng)點(diǎn)P在AM的延長線上時(shí)∵S△ABP＝S△AOB，∴OP∥AB，則可知直線OP的表達(dá)式為．∵P在直線AM上，∴令，解得：，∴P(6，12)；當(dāng)P在AM的反向延長線上時(shí)，過P點(diǎn)作PN⊥OB，垂足為H設(shè)P(n，n+6)∵，S△ABP＝S△AOB，，解得：，則P(－18，－12)．存在點(diǎn)H，使以A、B、M、H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形．若以AM為底，BM為腰，過點(diǎn)B作AM的平行線，當(dāng)點(diǎn)H(－12，0)時(shí)，以A、B、M、H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形；若以BM為底，AM為腰，過點(diǎn)A作BM的平行線，當(dāng)點(diǎn)H(－6，18)時(shí)，以A、B、M、H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形；若以AB為底，BM為腰，過點(diǎn)M作AB的平行線，當(dāng)點(diǎn)H(，)時(shí)，以A、B、M、H為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，本題一方面考察面積的確定，另一方面考察等腰梯形的性質(zhì)和分類討論．15.如圖1，已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A(2,0)，P是函數(shù)y＝x（x＞0）圖像上一點(diǎn)，PQ⊥AP交y軸正半軸于點(diǎn)Q．（1）試證明：AP＝PQ；（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為b，那么b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式是_______；（3）當(dāng)S△AOQ＝S△APQ時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【難度】★★★【答案】（1）見解析；（2）；（3）或．【解析】（1）過P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、T，∵P是函數(shù)y＝x（x＞0）圖像上一點(diǎn)∴PH=PT，PH⊥PT∵PQ⊥AP，∴∵，PH=PT，∴△PHA≌△PTQ∴AP＝PQ；由（1）可得：∵，∴，即；設(shè)，∵，，∴，解得：．∴或．【總結(jié)】本題主要考察全等的運(yùn)用，及三角形面積的求法，注意利用面積公式確定點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)二：與面積相關(guān)的函數(shù)解析式本節(jié)主要研究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的背景下，產(chǎn)生的面積與動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是找出決定這個(gè)面積變化的幾個(gè)量是怎樣變化的，重點(diǎn)在于思維能力的培養(yǎng)，難度較大．一、解答題1．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D菱形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且∠EAF=∠B=60°．(1)求證：AE=AF；(2)如果AB=8，設(shè)BE=x，AE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式和定義域；(3)在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)x取何值時(shí)，與面積比值為7．【答案】(1)見解析(2)y=（0＜x＜8）(3)當(dāng)x=4±2時(shí)，與面積比值為7【解析】（1）證明：如圖1，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ADC是等邊三角形，∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°=∠BAC，∴∠EAF=∠BAC=60°，∴∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴（ASA），∴AE=AF；（2）解：如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等邊三角形，AH⊥BC，AB=8=BC，∴BH=CH=4，∠BAH=30°，∴AH=，∵，∴，∴y=（0＜x＜8）；（3）解：由（1）可知：，∴BE=CF=x，，∵，∴，∵與面積比值為7，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，與面積比值為7．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，函數(shù)關(guān)系式，解一元二次方程，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·上海奉賢·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D．四邊形是平行四邊形，AB=BC，，．繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊與射線相交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），邊與射線相交于點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；(2)設(shè)，的面積為．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出函數(shù)的定義域；(3)連接，如果以A、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)（0＜x＜6）(3)【分析】（1）連接AC，通過證明△ABE≌△ACF（ASA）即可得出BE＝CF；（2）過點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H，先根據(jù)勾股定理求出AH的長，又CF＝BE＝x，DF＝6?x，根據(jù)三角形的面積公式即可列出函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)題意畫出圖形，并連接BD，先根據(jù)四邊形BDFA是平行四邊形，證出∠BAE為直角，在Rt△ABE中，∠B＝60°，∠BEA＝30°，AB＝6，繼而即可求出BE的長．（1）證明：連接AC，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴BA＝BC，AC平分∠BCD，∠BAD，，，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴，∵，，∴，，∴∠ACB＝∠ACD＝60°，∠BAC＝∠DAC＝60°，又∵∠BAE＋∠MAC＝60°，∠CAF＋∠MAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE＝CF．（2）解：過點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為H，如圖所示：在Rt△ADH中，∠D＝60°，∠DAH＝90°?60°＝30°，∴DH＝AD＝×6＝3，，又∵CF＝BE＝x，DF＝6?x，∵S△ADF＝DF?AH，∴，即（0＜x＜6）．（3）解：①當(dāng)點(diǎn)F在CD的延長線上時(shí)，連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴，平分∠ADC和∠ABC，∴∠ADB＝∠ADC＝30°，當(dāng)四邊形BDFA是平行四邊形時(shí)，，∴∠FAD＝∠ADB＝30°，∴∠DAE＝60°?30°＝30°，∠BAE＝120°?30°＝90°，在Rt△ABE中，∠ABE＝60°，∴∠BEA＝90°-60°=30°，∵AB＝6，∴BE＝2AB＝2×6＝12；②當(dāng)點(diǎn)F與C重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（不合題意舍去）；綜上分析可知，．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，是一道綜合題，有一定難度，關(guān)鍵是對這些知識的熟練掌握以便靈活運(yùn)用．3．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，A、C的坐標(biāo)分別為A（10，0）、C（0，8），CB＝4，D為OA中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的線路移動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒，移動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)求AB的長，并求當(dāng)PD將梯形COAB的周長平分時(shí)t的值，并指出此時(shí)點(diǎn)P在哪條邊上；(2)動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的移動(dòng)過程中，設(shè)△APD的面積為S，試寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍；(3)幾秒后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)？【答案】(1)=10，，此時(shí)點(diǎn)P在CB邊上(2)（）(3)（，）、（，）【分析】（1）題目給出了、點(diǎn)的坐標(biāo)，CB＝4，可求出的坐標(biāo)，根據(jù)PD將梯形COAB的周長平分，其中一半為，等于梯形周長的一半建立等式求解即可，算出，再判斷；（2）可根據(jù)四邊形的面積是梯形面積，列出方程并解出方程即可；（3）要根據(jù)的位置在不同邊的具體情況利用相關(guān)的知識寫出函數(shù)關(guān)系式及取值范圍．(1)解：點(diǎn)坐標(biāo)為，，，梯形的周長為：，根據(jù)PD將梯形COAB的周長平分，由，得．此時(shí)點(diǎn)在上；(2)解：作于，于，于，則．，，，，，．；(3)解：點(diǎn)只能在或上，（?。┊?dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．由，得，得，此時(shí)．由，得．即在7秒時(shí)有點(diǎn)（，）；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．由，得，得，此時(shí)．即在秒時(shí)，有點(diǎn)（，）．故在7秒時(shí)有點(diǎn)（，），在秒時(shí)有點(diǎn)（，），使將梯形的面積分成的兩部分．【點(diǎn)睛】本題考查了直角梯形及一次函數(shù)的綜合運(yùn)用；做題時(shí)要認(rèn)真理解題意，找出等量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用分類討論思想進(jìn)行求解．4．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┰谔菪蜛BCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，EF∥AD，點(diǎn)P與AD在直線EF的兩側(cè)，∠EPF＝90°，PE＝PF，射線EP、FP與邊BC分別相交于點(diǎn)M、N，設(shè)AE＝x，MN＝y(tǒng)．(1)求邊AD的長；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)如果MN的長為2，求梯形AEFD的面積．【答案】(1)AD＝6(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣3x+10．定義域?yàn)?≤x＜．(3)梯形AEFD的面積為或32【分析】（1）過D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點(diǎn)G、H，判定四邊形ABHD是矩形，在Rt△DHC中求出CH的長，利用AD＝BH＝BC﹣CH求出AD的長；（2）首先確定PM＝PN，過點(diǎn)P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，根據(jù)∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，從而得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，也能得出定義域；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，由MN＝2及（2）的結(jié)論得2＝﹣3x+10，AE＝，可求得梯形的面積；②當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD外部時(shí)，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，可求得梯形的面積．（1）解：過D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點(diǎn)G、H，如圖所示∵梯形ABCD中，∠B＝90°，∴DH∥AB，又∵AD∥BC，∴四邊形ABHD是矩形，∵∠C＝45°，∴∠CDH＝45°，∴CH＝DH＝AB＝8，∴AD＝BH＝BC﹣CH＝6．（2）解：∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，∴FG＝DG＝AE＝x，∵EG＝AD＝6，∴EF＝x+6，∵PE＝PF，EF∥BC，∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，過點(diǎn)P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，如圖所示∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，∴PQ＝EF＝，PR＝MN＝，∵QR＝BE＝8﹣x，∴，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣3x+10．定義域?yàn)?≤x＜．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，由MN＝2及（2）的結(jié)論得2＝﹣3x+10，AE＝，∴（AD+EF）?AE＝，當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD外部時(shí)，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，∴（AD+EF）?AE＝．【點(diǎn)睛】本題考查梯形及有實(shí)際問題列一次函數(shù)關(guān)系式的知識，綜合性較強(qiáng)，對于此類題目，要學(xué)會由小及大，將所求的問題縮小，一步一步求解．5．（2022春·上海·八年級上海田家炳中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=8，∠BAD=60°，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，作GE∥AD交AC與點(diǎn)G，過點(diǎn)G作射線AD垂線段GH，垂足為點(diǎn)H，得到矩形EFGH，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)求點(diǎn)H與點(diǎn)D重合時(shí)t的值．(2)設(shè)矩形EFGH與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)設(shè)矩形EFGH的對角線EH與FG相交于點(diǎn)Q’，當(dāng)OO'∥AD時(shí)，t的值為_______．【答案】(1)(2)(3)4【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，可得GE＝AE＝2t，F(xiàn)H＝GE＝2t，AF＝AE＝t，EF＝＝，AH＝AF＋FH＝3t，點(diǎn)H與點(diǎn)D重合時(shí)，AH＝AD，有3t＝8，即得t＝；（2）①當(dāng)H在邊AD上，即0＜t≤時(shí)，S＝EF?FH＝?2t＝2，②當(dāng)H在邊AD延長線上，即時(shí)，設(shè)HG交CD于M，求出S△DHM＝DH?HM，S＝EF?FH?S△DHM即可得到答案；（3）當(dāng)O∥AD時(shí)，證明O是△AFG的中位線，得O是AG中點(diǎn)，從而可得G與C重合，此時(shí)，E與B重合，解可得到t＝4；(1)解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，∵GE∥AD，∴∠GEB＝∠BAD＝60°，∴∠EGA＝∠GEB?∠BAC＝30°，∴∠EGA＝∠BAC＝30°，∴GE＝AE＝2t，∵四邊形EFHG是矩形，∴FH＝GE＝2t，在Rt△AEF中，AF＝AE＝t，EF＝＝，∴AH＝AF＋FH＝3t，點(diǎn)H與點(diǎn)D重合時(shí)，AH＝AD，∴3t＝8，∴t＝；(2)①當(dāng)H在邊AD上，即0＜t≤時(shí)，如圖：矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積即是矩形EFHG的面積，∴S＝EF?FH＝，②當(dāng)H在邊AD延長線上，即＜t≤4時(shí)，設(shè)HG交CD于M，如圖：在Rt△DHM中，∠HDM＝∠DAB＝60°，DH＝AH?AD＝3t?8，∴DM＝2DH＝6t?16，HM＝＝，∴S△DHM＝DH?HM＝，∴矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積S＝EF?FH?S△DHM＝，綜上所述，矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積：，(3)當(dāng)AD時(shí)，如圖：∵四邊形EFHG是矩形，∴是FG的中點(diǎn)，∵∥AD，∴是△AFG的中位線，∴O是AG中點(diǎn)，∴OA＝OG，又∵O是AC中點(diǎn)，OA＝OC，∴G與C重合，此時(shí)，E與B重合，∴t＝故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)及應(yīng)用、矩形的性質(zhì)應(yīng)用，涉及勾股定理、中位線定理等的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是方程的思想的應(yīng)用，用t表達(dá)出相關(guān)線段的長度，再列方程解決問題．6．（2021春·上?！ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期中）正方形ABCD邊長為6，點(diǎn)E在邊AB上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），點(diǎn)F、G分別在邊BC、AD上（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合），直線FG與DE相交于點(diǎn)H．(1)如圖1，若∠GHD=90°，求證：GF=DE；(2)在（1）的條件下，平移直線FG，使點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，如圖2．聯(lián)結(jié)DF、EF．設(shè)CF=x，△DEF的面積為y，用含x的代數(shù)式表示y；(3)如圖3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的長．【答案】(1)見解析(2)y=x2-3x+18（0＜x＜6）(3)【分析】（1）如圖1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于點(diǎn)K．只要證明四邊形CMGF是平行四邊形，△ADE≌△DCM即可解決問題；（2）根據(jù)S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB計(jì)算即可解決問題；（3）如圖3中，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于點(diǎn)N，連接EN．由△NDE≌△NDM（SAS），推出EN=NM，由AB=6，BE=2AE，推出AE=2，BE=4，設(shè)CN=x，則BN=6-x，EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，根據(jù)EN2=EB2+BN2，構(gòu)建方程求出x，再在Rt△DCN中，求出DN即可解決問題．（1）證明：如圖1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于點(diǎn)K．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠ADC=90°，∵CM∥FG，DE⊥FG，∴四邊形CMGF是平行四邊形，CM⊥DE，∴CM=FG，∠CKD=90°∴∠CDE+∠DCM=90°，∠ADE+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠DCM，∴△ADE≌△DCM（ASA），∴CM=DE，∴DE=FG．（2）如圖2中，∵AF=DE，AD=AB，∠DAE=∠B=90°，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴AE=BF，∵AB=BC，∴BE=CF=x，∴y=S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB=×（x+6）×6-×6×x-×x（6-x）=3x+18-3x+x2-3x=x2-3x+18（0＜x＜6）．（3）如圖3中，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于點(diǎn)N，連接EN．則四邊形DGFN是平行四邊形，∴∠EDN=∠GHD=45°，∵∠ADC=90°，∴∠NDC+∠ADE=∠NDC+∠CDM=45°，∴∠NDE=∠NDM，∵DN=DN，DE=DM，∴△NDE≌△NDM（SAS），∴EN=NM，∵AB=6，BE=2AE，∴AE=2，BE=4，設(shè)CN=x，則BN=6-x，EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，∵EN2=EB2+BN2，∴（x+2）2=（6-x）2+42，∴x=3，在Rt△DCN中，DN=，∴FG=DN=．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．7.已知：如圖1，在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），連結(jié)EG并延長交DC于點(diǎn)M，作MN⊥AB，垂足為N，MN交BD于P．設(shè)正方形ABCD的邊長為1．（1）證明：△CMG≌△NBP；（2）設(shè)BE＝x，四邊形MGBN的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）如果按照題設(shè)方法作出的四邊形BGMP是菱形，求BE的長．【難度】★★★【解析】（1）∵正方形ABCD和正方形BEFG，∴，∵CM∥BE，∴∵正方形ABCD，MN⊥AB，∴四邊形BCMN是矩形，∴CM=NB．∵CM=NB，，∴△CMG≌△NBP；（2）∵正方形BEFG，BE＝x，∴，∴，∴（）；由已知可得：MN∥BC，MG∥BP，∴四邊形BGMP是平行四邊形．要使四邊形BGMP是菱形，則，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，四邊形BGMP是菱形．【總結(jié)】本題考察正方形的性質(zhì)和動(dòng)點(diǎn)背景的下面積問題，解題時(shí)注意認(rèn)真分析題目中的條件．8.已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，點(diǎn)E在邊AB上，CE＝CD．（1）如圖1，當(dāng)∠BCD為銳角時(shí)，設(shè)AD＝x，△CDE的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CD＝5時(shí)，求△CDE的面積．【難度】★★★【答案】（1）（）；（2）或．【解析】（1）過C作CF⊥AD交AD延長線于F∵AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，∴四邊形ABCF是正方形．∵CE＝CD，BC=CF，∴△BCE≌△FCD，∴DF=BE∵AD＝x，∴，∴∴，定義域?yàn)椋?；?dāng)∠BCD為銳角時(shí)，∵CD＝5時(shí)，CF=4，∴由勾股定理可得：，則代入解析式中可得：；當(dāng)∠BCD為鈍角時(shí)，易知．∴．綜上所述，△CDE的面積為或．【總結(jié)】考察全等三角形的構(gòu)造和正方形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，第（2）問要注意分類討論．9.如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3,0），（0,1），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過點(diǎn)D作直線交折線OAB于點(diǎn)E．（1）當(dāng)點(diǎn)E恰為AB中點(diǎn)時(shí)，求m的值；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上，記△ODE的面積為y，求y與m的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試判斷四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，寫出該重疊部分的面積；若改變，寫出重疊部分面積S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．【難度】★★★【解析】∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3,0），（0,1），∴B（3,1）．當(dāng)點(diǎn)E恰為AB中點(diǎn)時(shí)，則E（3，）∵點(diǎn)E在直線上，∴代入E點(diǎn)坐標(biāo)，可得：；當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上，∵直線交折線OAB于點(diǎn)E，∴E（，0），∴（）；設(shè)O1A1與CB相交于點(diǎn)M，OA與B1C1相交于點(diǎn)N，則四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積為四邊形DNEM的面積．∵DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM是平行四邊形∵，，∴，∴，∴四邊形DNEM是菱形過D作DH⊥OA，垂足為H，設(shè)菱形DNEM的邊長為∵D（，1），E（，0），∴DH=1，HE=，∴，在直角△DHN中，，解得：∴菱形DNEM的面積為：．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，一方面考查面積與動(dòng)點(diǎn)的結(jié)合，另一方面考查面積的定值，注意進(jìn)行分析．10.如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)E作FG⊥DE，F(xiàn)G與邊BC相交于點(diǎn)F，與邊DA的延長線相交于點(diǎn)G．（1）當(dāng)E是AB中點(diǎn)時(shí)，求證AG＝BF；（2）當(dāng)E在邊AB上移動(dòng)時(shí)，觀察BF、AG、AE之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你所得到的結(jié)論；聯(lián)結(jié)DF，如果正方形的邊長為2，設(shè)AE＝，△DFG的面積為，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．【難度】★★★【答案】（1）見解析；（2）；（3）（）．【解析】（1）當(dāng)E是AB中點(diǎn)時(shí)，AE=BE∵AE=BE，，∴△EAG≌△EBF∴AG＝BF過點(diǎn)F作FH⊥DA，垂足為H，則四邊形ABFH是矩形∴FH=AB=AD∵DE⊥FG，∴∵FH=AD，，∴△FHG≌△DAE，∴GH=AE，即∵BF=HA，∴；由（2）可得：FG=DE∴∴（）【總結(jié)】本題主要考察正方形背景下的動(dòng)點(diǎn)問題，注意對常見輔助線的添加以及線段間的轉(zhuǎn)化．11.如圖1，梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝18，BC＝21．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)AB＝10時(shí)，設(shè)A、B、Q、P四點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）設(shè)E、F為AB、CD的中點(diǎn)，求四邊形PEQF是平行四邊形時(shí)t的值．【難度】★★★【答案】（1）（）；（2）．【解析】（1）由題意可得：AP=，CQ=，則（）；過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，取CH的中點(diǎn)G，則四邊形ABHD是矩形．∵F是CD的中點(diǎn)，G是CH的中點(diǎn)，∴∵AD//BC，∠B＝90°，AD＝18，BC＝21∴CH=21-18=3，CG=∴∵四邊形PEQF是平行四邊形，∴PE=QF∵，∴△AEP≌△GFQ，∴QG=AP∴，解得：，即當(dāng)四邊形PEQF是平行四邊形時(shí)，t的值為．【總結(jié)】本題一方面考察梯形背景下的動(dòng)點(diǎn)結(jié)合，另一方面考察中位線及平行四邊形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意認(rèn)真分析．12.如圖1，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝4．左右作平行移動(dòng)的正方形EFGH的兩個(gè)頂點(diǎn)F、G始終在邊BC上．當(dāng)點(diǎn)G到邊BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E恰好在邊AB上．（1）如圖1，求正方形EFGH的邊長；（2）設(shè)點(diǎn)B與點(diǎn)F的距離為x，在正方形EFGH作平行移動(dòng)的過程中，正方形EFGH與菱形ABCD重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）聯(lián)結(jié)FH、HC，當(dāng)△FHC是等腰三角形時(shí)，求BF的長．【難度】★★★【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)G到邊BC中點(diǎn)時(shí)，BG=2，∵∠B＝45°，正方形EFGH的兩個(gè)頂點(diǎn)F、G始終在邊BC上．∴BF=EF=FG∵BG=2，∴FG=1，即正方形EFGH的邊長為1；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)FH=HC時(shí)，∵HG⊥CF，∴FG=CG=1，∴；當(dāng)FC=HC時(shí)，∵，∴，解得：，∴；當(dāng)FH=FC時(shí)，則，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)△FHC是等腰三角形時(shí)，BF的長為2或3或．【總結(jié)】本題主要考察平行四邊形與正方形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意對等腰三角形要進(jìn)行分類討論．OABC，A(0，4)，C(5，0)，點(diǎn)D是y軸正半軸上一點(diǎn)，將四邊形OABC沿著過點(diǎn)D的直線翻折，使得點(diǎn)O落在線段AB上的點(diǎn)E處．過點(diǎn)E作y軸的平行線與x軸交于點(diǎn)N．折痕與直線EN交于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)DE、OM.設(shè)OD＝t，MN＝s．（1）試判斷四邊形EDOM的形狀，并證明；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上時(shí)，求s關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）tOABC【難度】★★★【解析】（1）四邊形EDOM是菱形．∵將四邊形OABC沿著過點(diǎn)D的直線翻折，使得點(diǎn)O落在線段AB上的點(diǎn)E處，∴，．∵EM∥OD，∴，∴，∴，∵，∴．∵EM∥OD，∴四邊形EDOM是平行四邊形，∵，∴平行四邊形EDOM是菱形；（2）由（1）可得：OD＝EM=t，∵EN=OA=4，∴（）；∵，，∴∴OABC∴OABCOABC14.已知：如圖1，梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，∠C＝45°，AB＝AD＝4．