集合及集合的表示-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

集合及集合的表示（B層）

【要點(diǎn)梳理】

集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基礎(chǔ)，一方面，許多重要的數(shù)學(xué)

分支，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上.另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學(xué)思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到

應(yīng)用.

要點(diǎn)一：集合的有關(guān)概念

1.集合理論創(chuàng)始人是康托爾.

（1）集合的概念：一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個(gè)整體，就說這個(gè)整體是由這些對象

的全體構(gòu)成的集合（或集）（set）.

（2）元素的概念：構(gòu)成集合的每個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素（或成員）（element）.

（3）對集合、元素概念的理解：

①通常用英語大寫字母A,B,C,…來表示集合，用英語小寫字母a,6,c,…來表示集合的元素.

②對于集合一定要從整體的角度來看待它.例如由“我們班的同學(xué)”組成的一個(gè)集合A,則它是一個(gè)整

體，也就是一個(gè)班集體.

③要注意組成集合的“對象”的廣泛性：一方面，任何一個(gè)確定的對象都可以組成一個(gè)集合，如人、動(dòng)

物、數(shù)、方程、不等式等都可以作為組成集合的對象；另一方面，就是集合本身也可以作為集合的對象，

如上面所提到的集合A,可以作為以“我們高一年級(jí)各班”組成的集合8的元素.

④構(gòu)成集合的元素必須是“確定的”，這個(gè)“確定”有兩個(gè)含義：一方面，構(gòu)成集合的元素具有非常明確的

特征；另一方面，給定個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素是否屬于這個(gè)集合是確定的.

⑤“不同”是指構(gòu)成集合的各個(gè)對象互不相同.

那么什么才是確定的對象？

不能確定的對象（X）可以確定的對象3）

視力好的同學(xué)不戴眼鏡的同學(xué)

高個(gè)子的男生1.8米以上的男生

漂亮的女神生成績在130分以上的女生

課本中的難題高中數(shù)學(xué)人教B版必修1課本中的填空題

接近于1的數(shù)大于10的自然數(shù)

2.關(guān)于集合的元素的特征

特性含義示例理解

作為一個(gè)集合的元素，必須是確定的，集合A={1,2,3},則確定性是集合的最基本

不能確定的對象就不能構(gòu)成集合，也就1￡A,4住A特性，沒有確定性就不能

是說，給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對象是構(gòu)成集合.例如：“課本

不是這個(gè)集合的元素也就確定了.設(shè)A中的難題聰明的孩

確定性

是一個(gè)給定的集合，X是某一個(gè)具體對子”，其中“難題”“聰明”

象，則x或者是A的元素，或者不是A因界定的標(biāo)準(zhǔn)模糊，故都

的元素，兩種情況必有一種且只有一種不能構(gòu)成集合.

成立.

對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一集合｛用/一燈中的工應(yīng)互異性是三大特性中最

定是不同的（或者說是互異的），相同的容易被忽視的性質(zhì).例

互異性滿足義工尤2_工，即工工0

對象歸入同一集合時(shí)只能算作集合的一如：由good中的字母構(gòu)

且xw2

個(gè)元素，即只能出現(xiàn)一次成的集合含有4個(gè)元素，

分別為g>o,o,d.這

句話是不對的，因?yàn)殡m然

在這個(gè)單詞中，字母“。”

出現(xiàn)了兩次，但如果歸入

同一集合中只能算作一

個(gè)元素，根據(jù)互異性，上

述集合的元素僅有3個(gè)，

分別為g,o,d.

構(gòu)成集合的元素間無先后順序之分，即集合｛1,。｝和｛0,1｝是同一無序性主要應(yīng)用在判斷

無序性任意改變集合中元素的排列次序所得到集合兩個(gè)集合是否相等方面.

的集合和原來的集合是同一集合

要點(diǎn)詮釋:

集合中的元素，必須具備確定性、互異性、無序性.反過來，一組對象若不具備這三性，則這組對象

也就不能構(gòu)成集合，集合中元素的這三大特性是我們判斷一組對象是否能構(gòu)成集合的依據(jù).

解決與集合有關(guān)的問題時(shí)，要充分利用集合元素的“三性”來分析解決，也就是，一方面，我們要利

用集合元素的“三性”找到解題的“突破口”；另一方面，問題被解決之時(shí)，應(yīng)注意檢驗(yàn)元素是否滿足它

的“三性”.

3.元素與集合的關(guān)系:

關(guān)系概念記法讀法

屬于如果。是集合A的元素，就說a屬于(belongto))AaeAa屬于A

如果。不是集合A的元素，就說。不屬于(notbelongto)Aa^Aa不屬于A

不屬于

【提示】

(1)aeA還是。史4取決于〃是不是集合A中的元素，根據(jù)集合中元來的確定性，可知對任何a與4,

要么aeA,要么“走A.

(2)符號(hào)號(hào)僅可用來表示元素與集合之間的關(guān)系，不能用來表示集合與集合之的關(guān)系，這一點(diǎn)

要牢記(集合與集合之的關(guān)系將在后面學(xué)到).

(3)與“e”與“走”的開口方何指向集合.

(4)集合本身也可以作為集合的元來，如A=｛｛a｝,｛加｝中有兩個(gè)元素,分別為合｛0,g｝,則有｛a｝wA.

4.集合的分類

有限集、無限集與空集

有限集含有有限個(gè)元素的集合.如“方程3x+l=0的解組成的集合”

含有無限個(gè)元素的集合.如“到平面上兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)組成的集

無限集

合的解集”

空集(emptyset)我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0.如“方程x2+l=0(xeR)的解集”

【提示】

(1)在以后的學(xué)習(xí)中，空集是最容易被忽略的一種情況，要時(shí)刻提高警惕.

(2)警惕0=｛0｝,｛0｝=0,｛0｝=。的錯(cuò)誤.

①0是合｛0｝的元素，可記為0W｛0｝；

②0表示空集，｛0｝表示合有一個(gè)元來。的集合；

(3){0}表示含有一個(gè)元素。的集合，故0e{0}.

5.常用的數(shù)集及其記法

常用的數(shù)集及其符號(hào)

常用數(shù)集意義記作

自然數(shù)集非負(fù)整數(shù)全體構(gòu)成的集合N

正整數(shù)集在自然數(shù)集內(nèi)排除0的集合*或N*

整數(shù)全體構(gòu)成的集合

整數(shù)集Z

有理數(shù)集有理數(shù)全體構(gòu)成的集合Q

實(shí)數(shù)全體構(gòu)成的集合

實(shí)數(shù)集R

無理數(shù)集無理數(shù)全體構(gòu)成的集合

復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)全體構(gòu)成的集合C

【提示】

(1)以上常用數(shù)集的意義是約定俗成的，解題時(shí)可作為已知使用，不必重述它們的意義.

(2)對以上常用數(shù)集要做到范圍明確，即明確各數(shù)集所包含的元素.

(3)N與N*(M)不同之處就是N包括0,而N*(%)不包括0.

(4)0是最小的自然數(shù).

要點(diǎn)二：集合的表示方法

我們可以用自然語言來描述一個(gè)集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法

來表示集合.

方法意義示例理解

用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋龃笥诘扔?且小于等于8的偶數(shù)

自然語言法

集合的方法構(gòu)成的集合

把集合的所有元素一一(1)數(shù)集：由方程f=4的實(shí)(1)列舉法適用于元素個(gè)數(shù)較

列舉出來，并寫在花括根組成的集合可以表示為少的有限集；

號(hào)”{}”內(nèi)的表示集合的{-2,2},小于6的非負(fù)偶數(shù)組(2)元素間用“，”隔開；(3)

方法.用列舉法表示集元素不能重復(fù)；

成的集合可以表示為{0,2,4}

合時(shí)，求出參數(shù)值后，(4)元素具有無序性；(5)當(dāng)

列舉法(2)點(diǎn)集：點(diǎn)0,2),(2,4)}

必須進(jìn)行“互異性檢驗(yàn)”元素個(gè)數(shù)較多(或集合為無限

集)時(shí)，若元素呈現(xiàn)一定的規(guī)

律，在不發(fā)生誤解的情況下，

也可列出部分元素作為代表，

其他元素用省略號(hào)表示.

用集合所含元素的共同(1)數(shù)集：不等式2%-3>0的(1)描述法適用于元素個(gè)數(shù)較

特征性質(zhì)描

特征來表示集合的方解集可表示為多且排列又無明顯規(guī)律的集

述法(簡稱描

法.3合；

述法){xeR\x>-}(或?qū)懗?/p>

基本形式為(2)集合的代表元素與元素所

｛xe/|p（x）｝,x是集具有的共同性質(zhì)之間用“I”隔

{x|x>3|}，或?qū)懗?/p>

合的代表元素，集合/開；

是光的取值范圍，p（x）{x|2x-3>0}（3）對于描述法，不能只把注

是集合中元素所具有的[x=—\意力放在豎線"I”右邊元素所

(2)點(diǎn)集：(x,y)<>

共同性質(zhì)（特征性質(zhì)）具有的共同性質(zhì)上，還要給予

豎線左邊的代表元素足夠

的重視.弄清元素所具有的形

式（即代表元素是什么），是數(shù)，

還是有序?qū)崝?shù)對（點(diǎn)）還是其

他形式？

（4）用描述法表示集合時(shí)，若

需要多層次描述屬性時(shí)，可選

用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與“或”等連

接；若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)

以外的字母時(shí)，要對新字母說

明其含義或指出其取值范圍.

Venn圖法：用平面內(nèi)一如方程|x|=2的解集可表示為

條封閉曲線的內(nèi)部表示

一個(gè)集合

圖示法

數(shù)軸法：用數(shù)軸或數(shù)軸集合｛x|%,-1或x>2｝用數(shù)軸

上的部分來表示集合的法表示如圖所示，

方法叫做數(shù)軸法r

-4-3-2-101234

用集合表示解集有時(shí)不對于不等式的解集｛xlx,-2）“無窮大”是一種變化趨勢，

太方便，為了方便，采（或類似的集合）可以用區(qū)間表符號(hào)“8”不是一個(gè)數(shù)，因此，

區(qū)間法用區(qū)間的形式來表示集示為（-oo,-2]以“-OO”或“+8”為區(qū)間的

合一端點(diǎn)時(shí)，這一端必須是小括

號(hào)

【典型例題】

類型一：集合的概念及元素的性質(zhì)

例1.下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（）

A.上課遲到的學(xué)生B.2020年高考數(shù)學(xué)難題

C.所有有理數(shù)D.小于萬的正整數(shù)

【解析】對于A,“上課遲到的學(xué)生“屬于確定的概念，故能構(gòu)成集合；

對于B,“2020年高考數(shù)學(xué)難題”界定不明確，不能構(gòu)成集合；

對于C,任意給一個(gè)數(shù)都能判斷是否為有理數(shù)，故能構(gòu)成集合；

對于。，小于萬的正整數(shù)分別為1,2,3,能夠組成集合.故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題給出幾組對象，要我們找出不能構(gòu)成集合的對象，著重考查了集合的定義和集合元素的

性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

例2.集合A由形如，"+百〃(meZ,〃eZ)的數(shù)構(gòu)成的，判斷一二是不是集合A中的元素？

2-V3

【答案】是

【解析】由分母有理化得，一^=2+逐.由題中集合A可知利=2,〃=1,均有〃zwZ,"GZ,

2-V3

2+y/3eA,即——eA.

2-V3

【總結(jié)升華】(1)解答本題首先要理解G與右的含義，然后要弄清所給集合是由一些怎樣的數(shù)構(gòu)成的,

能否化成此形式，進(jìn)而去判斷一產(chǎn)是不是集合4中的元素.(2)判斷一個(gè)元素是不是某個(gè)集合

2-V32-V3

的元素，就是判斷這個(gè)元素是否具有這個(gè)集合的元素的共同特征.此類題，主要看能否將所給對象的表達(dá)式

轉(zhuǎn)化為集合中元素所具有的形式.

舉一反三：

【變式1】判斷下列對象能否構(gòu)成一個(gè)集合，如果能，請采用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎驹摷?，如果不能，請說明

理由.

(1)小于5的整數(shù)；

(2)我校高一年級(jí)體重超過75依的同學(xué)；

(3)方程x+y=3的非負(fù)整數(shù)解；

(4)與1非常接近的有理數(shù)；

(5)某班所有個(gè)子高的同學(xué)；

(6)不等式2x+l>7的整數(shù)解.

【解析】(1)利用描述法表示，｛xeZ|x<5｝;

(2)利用描述法表示，｛x|x是我校高一年級(jí)體重超過75版的同學(xué)｝;

(3)方程x+y=3的非負(fù)整數(shù)解有(0,3),(1,2),(2,1),(3,0):

故可利用列舉法表示，｛(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)｝;

(4)與乃非常接近的有理數(shù)不能構(gòu)成集合，無法滿足集合中元素的確定性；

(5)個(gè)子高的標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以集合元素?zé)o法確定，所以不能構(gòu)成集合；

(6)由2x+l>7得無>3,因?yàn)閤為整數(shù)，集合元素確定，但集合元素個(gè)數(shù)為無限個(gè)，所以用描述法表示

為{x|x>3,且xeZ}.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的判斷與集合的表示法應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【變式2】設(shè)5=3*=111+011,111,1162}

⑴若aeZ,則是否有aeS?

(2)對S中任意兩個(gè)元素Xi，X2,則X1+X2,XI-X2.是否屬于集合S?

解：(1)若aez,則有aes,即n=0時(shí)，xeZ,AaeS；

(2)Vxi，X2」S,則Xi=m]+&n],X2=102+0112㈣曲叫,叫GZ)

x,+x7=(肛+〃)++?,)GS(肛+m,GZ,n]+%GZ)

X1-x2=(m1+V2n1)■(m2+V2n2)=01)m,+2n1n2+72(01,n2+m,n1)

'/mi>n”ni2?meZ,.".mini2+2nin2GZ.mitu+mznicZ

.\x1x2eS.

類型二：元素與集合的關(guān)系

例3.(2015北京西城區(qū)學(xué)探診)給出下列六個(gè)關(guān)系：

(l)OeN*(2)0任{-1,1}(3)0e{0}

(4)0U{O}(5){0}e{0,1}(6){0}c{0}

其中正確的關(guān)系是.

【答案】(2)(4)(6)

【思路點(diǎn)撥】首先要熟悉集合的常用符號(hào)，空集，記作0,N表示自然數(shù)集，N+或N*表示正整數(shù)

集，Z表示正整數(shù)集，。表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集；然后要明確元素與集合，集合與集合的關(guān)系及符

號(hào)表示，以及子集的性質(zhì).給定一個(gè)對象“，它與一個(gè)給定的集合A之間的關(guān)系為aeA,或者aeA,

二者必居其一.解答這類問題的關(guān)鍵是：弄清”的結(jié)構(gòu)，弄清A的特征，然后才能下結(jié)論.

【解析】(1)0不是正整數(shù)，故錯(cuò)誤；

(2)0不是集合{-1,1}中的元素，故正確；

(3)空集是一個(gè)集合，使用的符號(hào)錯(cuò)誤，故錯(cuò)誤；

(4)空集是任何一個(gè)集合的真子集，故正確；

(5)是集合與集合的關(guān)系，應(yīng)該使用符號(hào)口或3，故錯(cuò)誤；

(6)一個(gè)集合是它本身的子集，故正確.

【總結(jié)升華】本題主要是區(qū)別0,{0},0和非空數(shù)集以及常用的集合之間的關(guān)系.此類問題在解答時(shí),

既要熟悉集合的常用符號(hào)，又要明確元素與集合，集合與集合的關(guān)系及符號(hào)表示，以及子集的性質(zhì)，特別

是{0}與0,最容易混淆，必須在學(xué)習(xí)中引起足夠的重視.

舉一反三：

【變式1】用符號(hào)“G”或“金”填空

(1)若八=2,則—工A；-2A.

2

(2)若8={幻2》2—》一1=0},則一;B；-2B.

【答案】

(1)生，G(2)G,金

【變式2】下列四個(gè)集合中，是空集的是()

A.{x|x+3=3}B.{(x,y)\y2=-x2,x,yeR}

C.{xlx'O}D.{x\x2-x+l=O,xeR}

【解析】根據(jù)題意，由于空集中沒有任何元素，對于選項(xiàng)A,x=O:

對于選項(xiàng)8,(0,0)是集合中的元素；對于選項(xiàng)C,由于x=0成立；

對于選項(xiàng)O,方程無解.故選：D.

【變式3】用符號(hào)€或￡填空.

(1)設(shè)集合A是正整數(shù)構(gòu)成的集合，則0—A,0—A,1―

(2)設(shè)集合3是小于JFT的所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，則2G____3,1+&____B；

(3)設(shè)集合C是滿足方程x=〃2+i(其中〃為正整數(shù))的實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合，則3—C,5—C;

(4)設(shè)集合。是滿足方程y=f的有序?qū)崝?shù)對(工力)構(gòu)成的集合，則T_(-1,1)—D.

【解析】(1)依次應(yīng)填任，任，6.

(2)2G=因?yàn)?l+&)2=3+2&<11,所以1+J5<JFT,所以依次應(yīng)填住，e.

(3)由于"是正整數(shù)，所以"+1*3.而當(dāng)”=2時(shí)，n2+l=5,所以依次應(yīng)填任，G.

(4)由于集合。中的元素是有序?qū)崝?shù)對(x,y),而一1是數(shù)，所以一1史￡).

又(-1)2=1,所以依次應(yīng)填至，e.

故答案為：(1)任，任，e;(2)￡,e;(3)任，e:(4)任，e;

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

【變式4】用符號(hào)€或必填空：

0N;V2Z；g。；6。；V12____R；

3{X|X=H2+1,neN]；2{x\x2-2x=0}；0{y\y=-x2+1,xe/?}；

(0,1)—{y\y=x2+\,xeR}；(1,1)—{(x,y)ll%l=2且|y|=l}.

【解析】因?yàn)?是自然數(shù)，所以O(shè)eN;因?yàn)?不是整數(shù)，所以及必Z;因?yàn)閇是有理數(shù)，所以

33

因?yàn)?不是有理數(shù)，所以6任Q;因?yàn)槲皇菍?shí)數(shù)，所以屈eR;

???當(dāng)時(shí)，l=+1取不至1I3,:.3e{x\x=n2+\,neN};

?.?集合{xH-2x=0}化簡得{0,2},:.2e[x\x2-2x=O};

?集合{y|y=-f+1,%G/?)={y|y?1},且O<1,,,.OG{y|y=-x2+1,xeR};

?.?集合{yIy=x?+1,xeR}中的元素都是實(shí)數(shù)，不是點(diǎn)的坐標(biāo)，(0,l)g{y|y=x2+1,xe/?)；

?.?集合{(x,y)||x|=2且|y|=l}={(2,l),(-2,1),(-2,-1),(-2,1)},/.(I,1)史{(x,y)||x|=2且|y|=l}.

故答案為：e,e,任，e,任，e,e,任，史.

【點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合集合與元素，要我們判斷其關(guān)系，著重考查了元素與集合的關(guān)系、實(shí)數(shù)的分類與運(yùn)算等

知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

【變式5】用符號(hào)或"任”填空

(1)0___N,>/5N,716N；

(2),2-耶+42+百____{JC|x=tz+,aeQ,beQ}.

[](1)是自然數(shù)，.1OeN;;右不是自然數(shù)，，右eN;;=4是自然數(shù)，.1eN;

(2)?.?“2-6+72+G)2=2-g+2+G+2=6,

二.也-6+，2+百=娓=0+\又底,故也-G+也+^w{x|%=〃+"/?,beQ].

故答案為：(1)G,￡,e,(2)e

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷，難度中下等，本題(2)的難點(diǎn)在于亞二3+收1百的化

簡.

類型三：集合中元素性質(zhì)的應(yīng)用

例4.(1)求(x-2)2=0的解集.

(2)已知三角形的三邊長分別為a,b,c,三邊長組成集合如下，試判斷三角形的形狀.

?{a,b,c}；?{a,b}；③{a}.

(3)已知集合4={0,2加-1,”},

①若leA,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

②若4/〃-4GA,求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

【解析】⑴{2}；

(2)①三邊互不相等的三角形；②等腰三角形；③等邊三角形；

(3)①(i)當(dāng)2m-1=1,即m=1時(shí)，則2m-1=>=1不滿足集合的互異性，故加當(dāng)M=l,

2

即加=±1時(shí)，帆=—1時(shí)，2機(jī)一1=一3,w=1,A={0,-3,l}:

7

②(i)當(dāng)4m-4=0，即m=1時(shí)，不滿足集合的互異性；(ii)當(dāng)4m-4=2m—\,即〃?=—時(shí)，此

2

a3

時(shí)集合A={0,2,j}；(iii)當(dāng)4〃?-4=/，即6=2時(shí)，此時(shí)集合A={0,3,4},綜上所述，機(jī)='或桃=2.

例4.互異性一一含參方程的解集

(1)求方程(x-2)(x-3)=0的解集.

(2)求方程(x—m)(x—3)=0的解集.

(3)若方程(》-，")(了-3)=0的解集中，元素之和恰好為3,求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

(4)若方程(x-m)(x-l)(x-2)=0的解集中，元素之和恰好為3,求實(shí)數(shù)〃?的值.

【解析】(1){2,3}；

(2)①當(dāng)相片3時(shí)(方程沒有重根)，解集為{八3}；②當(dāng)加=3時(shí)(方程有重根)，解集為{3}；綜上

所述，方程(x-%)(x-3)=0的解集為{〃?,3}或{3}.

(3)①當(dāng)〃件3時(shí)，解集為{m,3},則，”+3=3,解得帆=0；②當(dāng)機(jī)=3時(shí)，解集為{3},滿足題意，

綜上所述，=0或/"=3.

(4)①當(dāng)加=1時(shí)，解集為{1,2},滿足題意；②當(dāng)m=2時(shí)，解集為{1,2},滿足題意；③當(dāng)帆且加M2

時(shí)，解集為{利,1,2},則〃7+1+2=3,解得〃?=0,滿足題意，，當(dāng)綜上所述，加=0或，〃=1或，7?=2.

例5.設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合，在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對任意的a,beS,對于

有序元素對(a,b),在S中唯一確定的元素a*人與之對應(yīng))，若對任意的a,0eS,有a*S*a)=。，則對

任意的下列等式中不恒成立的是()

A.(a*b)*a=a

B.[a*(b*a)]*(a*b)=a

C.b*(b*b)=b

D.(a*b)*[b*(a*b)]=b

【答案】A

【解析】抓住本題的本質(zhì)(a*b)*a=。恒成立.ag只要為S中元素即可有a*bwS.B中由已知即為

0*(a*0)=a符合已知條件形式.C中。=匕即可D中。*匕相當(dāng)于已知中的。也正確.只有A不一定正確.

【總結(jié)升華】本題應(yīng)緊緊抓住關(guān)系式(a*b)*a=人，即關(guān)系式中有三個(gè)數(shù)，其中有兩個(gè)數(shù)相同且分別

在兩邊，此時(shí)關(guān)系式等于中間的數(shù)，只要分析出這個(gè)特點(diǎn)即可解決.

例6.M={aGZ,|---GN}，則M=()

5-a

A.{2,3}B.{1,2,3,4}C.{1,2,3,6}D.{-1,2,3,4}

【答案】D

【解析】集合中的元素滿足是整數(shù)，且能夠使——是自然數(shù)，所以0<——<6

5—a5-a

由aeZ,所以-Ya*

當(dāng)a=-l時(shí)，一^=leN符合題意；

5-（-1）

當(dāng)a=0時(shí)，——不符合題意；

5-05

當(dāng)a=l時(shí)，9=3eN不符合題意；

5-12

當(dāng)a=2時(shí)，一^-=2eN符合題意；

5-2

當(dāng)a=3時(shí)，---=3sN符合題意；

5~3

公

當(dāng)a=4時(shí)，——=6eN符合題意.

5-4

故a=-l,a=2,a=3,a=4為M中元素，即乂={-1,2,3,4},選項(xiàng)D正確.

舉一反三：

【變式】（2015北京西城區(qū)期末）設(shè)知={1,2},N={1,2,3},P={dc=a+Z?,a&M,bGN、,

則集合P中元素的個(gè)數(shù)為.

【答案】4個(gè)

【解析】集合P中的元素滿足且aeM力eN,所以

由4￡用，bsN

當(dāng)〃=1,6=1時(shí)，c=l+l=2；

當(dāng)a-\,h-2時(shí)，<?=1+2=3；

當(dāng)a=\,b=3時(shí)，c=1+3=4；

當(dāng)〃=2,6=1時(shí)，c=2+l=3；

當(dāng)。=2,〃=2時(shí)，c=2+2=4；

當(dāng)〃=2,6=3時(shí)、c=2+3=5；

故根據(jù)元素的互異性，尸中元素，即尸={2,3,4,5）,答案為4個(gè).

例7.（1）設(shè)集合A={x￡R|or2+2x+l=0},當(dāng)集合A有兩個(gè)元素時(shí)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

（2）設(shè)集合A={xeR|ac2+2x+l=O},當(dāng)集合A為單元素集時(shí)，求實(shí)數(shù)。的值.

（3）設(shè)集合A={xeR|62+2x+l=0},當(dāng)集合A為沒有元素時(shí)（即為空集），求實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

【答案】0,1

【解析】（1）由集合A中有兩個(gè)元素可得，方程ax2+2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，

當(dāng)時(shí)0時(shí)，則為一個(gè)二次方程，所以有兩根的含義是該方程有兩個(gè)不相等的根，即為判別式大于0時(shí)

的a的取值范圍，可得，.故a的取值范圍且"0.

A=4-4a>0

（2）由集合A中只含有一個(gè)元素可得，方程ax2+2x+l=0有一解，由于本方程并沒有注明是一個(gè)二次

方程，故也可以是一次方程，應(yīng)分類討論：

當(dāng)a=0時(shí)，可得是一次方程，故滿足題意.

當(dāng)存0時(shí)，則為一個(gè)二次方程，所以有一根的含義是該方程有兩個(gè)相等的根，即為判別式為0時(shí)的a

的值，可求得為a=l.故a的取值為0,1.

(3)由集合A中沒有元素可得，方程ax2+2x+l=0無解，由于本方程并沒有注明是一個(gè)二次方程，故

也可以是一次方程，應(yīng)分類討論：

當(dāng)a=0時(shí)，可得是一次方程，有一個(gè)解，故不滿足題意.

當(dāng)a/0時(shí)，則為一個(gè)二次方程，所以該方程無解，即為判別式小于0時(shí)的a的取值范圍，可得

a片0

.故a的取值范圍。>1.

A=4-4a<0

【總結(jié)升華】方程依2+法+c=0根的情況：

(1)方程以2+法+。=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有;

.△=H-4ac>0

(2)方程加+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則有或f'U；

A=/>2-4ac=0[b^O

(3)方程or?+法+。=0沒有實(shí)數(shù)根，則有或a=0,確保方程無解即可.

\A=b2-4ac<0

例8.己知集合A={"+2,(a+l)2,/+3a+3},若leA,求實(shí)數(shù)。的值及集合A.

【答案】a=0,A={1,2,3}

【解析】(I)若a+2=l,則a=—l.

所以A={1,0,1},與集合中元素的互異性矛盾，則a=-4應(yīng)舍去.

(2)若(。+1尸=1,則a=0或a=—2,

當(dāng)a=0時(shí)，A={2,1,3}滿足題意；

當(dāng)a=-2時(shí)，A={0,l,l},與集合中元素的互異性矛盾，則。=一2應(yīng)舍去.

(3)若a?+3a+3=l,則a=—1或a=—2,由上分析知a=—1與a=—2均應(yīng)舍去.

綜上，a=0,集合A={1,2,3}.

【總結(jié)升華】本題中由于1和集合A中元素的對應(yīng)關(guān)系不明確，故要分類討論.此類問題在解答時(shí)，既

要應(yīng)用元素的確定性、互異性解題，又要利用它們檢驗(yàn)解的正確與否，特別是互異性，最容易忽視，必須

在學(xué)習(xí)中引起足夠的重視.

舉一反三：

【變式1】已知集合4={。+2,/+2},3eA,求實(shí)數(shù)。的值

【答案】a=-l

【解析】當(dāng)。+2=3,即。=1時(shí)，A={3,3}<不滿足題意;

當(dāng)片+2=3,即。=±1,。=1時(shí)，A={3,3},與集合的概念矛盾，不滿足題意舍去，

。=一1時(shí)，由上面知，滿足題意

故<2=-1

【變式2］已知集合A是由a-2,2a2+5〃，12三個(gè)元素組成的，且-3wA,求“=.

【解析】由一3eA,可得-3=a-2,或-3=2/+54,

由—3=a—2,解得a=-l,經(jīng)過驗(yàn)證a=-l不滿足條件，舍去.

■2aa

由一3=2/+5a,解得。=_1或-3,經(jīng)過驗(yàn)證：。=一1不滿足條件，舍去.=故答案為：-巳.

222

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的性質(zhì)、元素與集合之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

例9.設(shè)A是實(shí)數(shù)集，且滿足條件：若aeAaWl,則」一eA.

l-a

(1)若2eA,則A中必還有另外兩個(gè)元素；

(2)集合A不可能是單元素集；

(3)集合A中至少有三個(gè)不同的元素.

【答案】(1)-1,-(2)略(3)略

2

【解析】(1)若2eA,則」一=—leA,于是一!—=-&A,故集合A中還含有—1,^兩個(gè)元素.

1—21-(-1)22

(2)若A為單元素集，則。=」一,即4—。+1=0,此方程無實(shí)數(shù)解，,。與」一

\-a\-a\-a

都為集合A的元素，則A不可能是單元素集.

(3)由已知a