三重積分的幾種計算方法

當(dāng)R3，有X=(x,y,z),d=dv則三重積分1.直角坐標(biāo)系下三重積分的計算直角坐標(biāo)系下，記體積元素dv=dxdydzdzdydxyxz0則三重積分三重積分的幾種計算方法xyz0z=z2(x,y)z=z1(x,

y)D(1)化成一個定積分和一個二重積分設(shè)D為在xy平面上投影區(qū)域.y=y1(x)bay=y2(x)三重積分的幾種計算方法zxyx+y+z=10例1.

計算其中是由平面x+y+z=1與三個坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.解：

D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1

xy三重積分的幾種計算方法例2.

計算其中是由拋物柱面及平面y=0,z=0,解：

D:0≤y≤,0≤x≤yxz0D0yx三重積分的幾種計算方法y=y1(x,z)z0y=y2(x,z)Dxzyx三重積分的幾種計算方法x=x2(y,z)z0x=x1(y,z)Dyzyx三重積分的幾種計算方法例3.將化為三次定積分，其中是由z=x2+y2和z=1所圍的閉區(qū)域.解：先對z積分，將向xy平面投影.z=x2+y2

x2+y2=1D:x2+y2≤1z=1z=1xyz01Dxyz=1z=x2+y2

三重積分的幾種計算方法xyz01Dxyz=1z=x2+y2

三重積分的幾種計算方法解2：先對y積分，將向xz平面投影：z=x2+y2

Dxy:x2≤z≤

1,z=11≤x≤1z=x2+y2

xyz0Dxz11三重積分的幾種計算方法(2)化為一個二重積分和一個定積分:(x,y)D(z),z1≤z≤z20xzyz2zz2D(z)三重積分的幾種計算方法例4.

計算其中是由z=x2+y2和z=1所圍成的閉區(qū)域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]三重積分的幾種計算方法例5.

計算解：

D(x):0≤y≤1–x,0≤z≤

1xyzxy0111x:0≤x≤1其中是由平面x+y+z=1與三個坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.D(x)z=1xy

xy01x1x三重積分的幾種計算方法2.利用柱面坐標(biāo)計算三重積分M

(r,,z)x=rcosy=rsinz=z(0≤r<+,0≤≤2,<z<+)rzM?0xzyyx三重積分的幾種計算方法柱面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面分別為r=常數(shù)=常數(shù)z=常數(shù)xyzo三重積分的幾種計算方法=r故dxdydz=rdrddz三重積分的幾種計算方法例1.

計算其中由與z=1所圍閉區(qū)域.解：

D:x2+y2≤1z=1

z=rz=0xyz0Dz=rz=1三重積分的幾種計算方法xyz0z=rz=11D三重積分的幾種計算方法例2.

計算={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：D:x2+y2≤1xyz01三重積分的幾種計算方法例3.

再解例1其中是

由與z=1所圍閉區(qū)域.解：用=截得D()而0≤≤2故原積分=xyz三重積分的幾種計算方法xzyD()z1r0z=r1三重積分的幾種計算方法例4.

再解例2其中={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：用=截得D()而0≤≤2故原積分=xyz0三重積分的幾種計算方法xyz0011rz三重積分的幾種計算方法3.利用球面坐標(biāo)計算三重積分M

(r,,)x=OPcosz=rcos(0≤r<+,0≤≤,0≤≤2)y=OPsin?M0zxyrPxyz=rsincos=rsinsin三重積分的幾種計算方法球面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面：r=常數(shù)=常數(shù)=常數(shù)dxdydz=r2sin

drddzxy三重積分的幾種計算方法例5.

計算其中={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：x2+y2+z2=1r=1而0≤≤2故用=截得D()原積分xyz0三重積分的幾種計算方法xyz0z011r=1三重積分的幾種計算方法例6.和x2+y2+z2=a2所圍成閉區(qū)域.解：

x2+y2+z2=a2

r=a原積分zyxa三重積分的幾種計算方法zyxar=az三重積