高二數(shù)學(xué)矩陣與變換

選修4-2“矩陣與變換”全書復(fù)習(xí)江蘇省白塔高級(jí)中學(xué)相武

通過幾何變換討論二階矩陣的乘法及性質(zhì)、逆矩陣和矩陣的特征向量，并以變換和映射的觀點(diǎn)理解解線性方程組的意義，初步展示矩陣應(yīng)用的廣泛性。主要內(nèi)容2.1二階矩陣與平面向量2.2幾種常見的平面變換2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法2.4逆矩陣與逆變換2.5特征值與特征向量2.6矩陣的簡單應(yīng)用

具體內(nèi)容定位

低起點(diǎn)——以初中數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)；低維度——以二階矩陣為研究對象；形→數(shù)——以(幾何圖形)變換研究二階矩陣。意圖

在基本思想上對矩陣、變換等有一個(gè)初步了解，對進(jìn)一步學(xué)習(xí)和工作打下基礎(chǔ)。

本專題的定位和意圖主要數(shù)學(xué)思想（1）數(shù)學(xué)化思想；（2）數(shù)學(xué)建模；（3）數(shù)形結(jié)合的思想；（4）算法思想。重點(diǎn)

通過幾何圖形變換，學(xué)習(xí)二階矩陣的基本概念、性質(zhì)和思想。難點(diǎn)

切變變換，逆變換(矩陣)，特征值與特征向量。本專題重點(diǎn)、難點(diǎn)及主要數(shù)學(xué)思想2.1二階矩陣與平面向量2.2幾種常見的平面變換2.3變換的復(fù)合與矩陣的乘法2.4逆矩陣與逆變換2.5特征值與特征向量2.6矩陣的簡單應(yīng)用具體內(nèi)容解析2.1二階矩陣與平面向量2.在本章中點(diǎn)和向量不加區(qū)分.如:1.本專題研究的矩陣是二階矩陣,對高階矩陣只是要求學(xué)生初步了解.二階矩陣如:兩行兩列2.1二階矩陣與平面向量3.矩陣的概念——從表、網(wǎng)絡(luò)圖、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)（向量）、生活實(shí)例等引出.即在大量舉例的基礎(chǔ)上引出矩陣的概念和表示方法.如:某公司負(fù)責(zé)從兩個(gè)礦區(qū)向三個(gè)城市送煤：從甲礦區(qū)向城市A,B,C送煤的量分別是200萬噸、240萬噸、160萬噸；從乙礦區(qū)向城市A,B,C送煤的量分別是400萬噸、360萬噸、820萬噸。

城市A城市B城市C甲礦區(qū)

乙礦區(qū)2.1二階矩陣與平面向量4.矩陣通常用大寫黑體字母表示.如;矩陣A,行矩陣和列矩陣通常用希臘字母α、β等表示.5.兩個(gè)矩陣的行數(shù)與列數(shù)分別相等,并且對應(yīng)位置的元素也分別相等時(shí)兩矩陣相等.6.二階矩陣與列向量的乘法法則為:2.圖1二階半矩陣救與平是面向裳量7.強(qiáng)化垃學(xué)生頃對二擔(dān)階矩竭陣與平面滑列向透量乘法箏的幾竊何意橫義理掠解.使他勒們認(rèn)假識(shí)并乖理解亭矩陣洞是向斃量集村合到敗向量閉集合注的映射,為后鞠面學(xué)寬習(xí)幾遲種常及見的暢幾何藥變換喂打下濾基礎(chǔ).表示膀的幾此何變點(diǎn)換為:縱坐耍標(biāo)不弓變,橫坐趕標(biāo)變源為原技來的2倍.8.二元一次方程組可以表示為系數(shù)杯矩陣2.輝2幾種適常見服的平擋面變征換1.恒等吵變換鐘矩陣(單位奶矩陣)為E:2.恒等變換是指對平面上任何一點(diǎn)(向量)或圖形施以矩陣對應(yīng)的變換,都把自己變?yōu)樽约?2.密2幾種歐常見禮的平寫面變躬換3.伸壓懷變換矩陣券是指鑒將圖理形作兩沿x軸方食向伸滅長或反壓縮,或沿y軸方競向伸晚長或豬壓縮江的變照換矩凝陣.伸壓霞變換層不是首簡單痛地把阿平面唯上的哀點(diǎn)(向量)摸“向下”壓,而是番向x軸或y軸方妻向壓絞縮.2.隙2幾種渴常見端的平捎面變處換4.反射史變換矩陣澡是指臉將平鴿面圖由形變俘為關(guān)艘于定襯直線乳或定者點(diǎn)對駱稱的召平面舅圖形去的變深換矩合陣.2.識(shí)2幾種堆常見藝的平薪面變兔換5.一般維地,二階蓬非零胳矩陣刪對應(yīng)貼的變待換把欣直線律變成蟲直線.這種岡把直徒線變摸為直秧線的伍變換痛叫做例線性晚變換.或點(diǎn)2.川2幾種膜常見我的平零面變突換6.旋轉(zhuǎn)沃變換矩陣誕是指納將平蒸面圖橫形圍鎮(zhèn)繞原傾點(diǎn)逆對時(shí)針麻旋轉(zhuǎn)θ的變劇換矩糊陣.其中θ稱為撈旋轉(zhuǎn)趙角,點(diǎn)O為旋買轉(zhuǎn)中迷心.2.械2幾種儀常見算的平等面變瓦換2.梅2幾種典常見苗的平悠面變隨換7.投影破變換矩陣寒是指白將平擦面圖蓬形投助影到娛某條勸直線(或某揪個(gè)點(diǎn))上的學(xué)矩陣,相應(yīng)篩的變嶄換為店投影瘡變換.7.投影蜜變換矩陣蠅是映郊射,但不器是一瘋一映備射.2.盲2幾種嫩常見公的平瞧面變割換8.切變欄變換矩陣助是指折類似漸于對幸紙牌抗實(shí)施默的變擇換矩盯陣.2.殃2幾種稿常見壟的平挎面變扭換9.切變愉變換矩陣夏把匆平面狗上的榨點(diǎn)P(蒸x,純y)沿x軸方向平堡移戰(zhàn)個(gè)洞單位.10袍.研究忙平面諒上的舞多邊括形或市直線陷在矩刺陣的肥變換似作用醒后形建成的農(nóng)圖形蠻時(shí),只需臥考察漠頂(端)點(diǎn)的獲變化辱結(jié)果抽即可.旋轉(zhuǎn)南矩陣2.謹(jǐn)3變換詳?shù)膹?fù)胖合與猴矩陣際的乘般法1.矩陣耍乘法躍的法儉則是:2.矩陣方乘法MN的幾圣何意衰義為紙對向辰量連截續(xù)實(shí)莊施的海兩次判幾何捉變換(先TN,后TM)的復(fù)昨合變燈換.3.矩陣劃乘法不滿毅足交停換率,這可將能是屆學(xué)生蘭第一蜂次遇堆到乘腔法不徹滿足籃交換途率的緞情況.此時(shí),我們扶可以臂從幾樂何變舟換角仰度進(jìn)秘一步贊明確引乘法作一般型不滿普足交排換率,在適右當(dāng)時(shí)張候,有些睬特殊贏幾何壯變換(如兩比次連歡續(xù)旋污轉(zhuǎn)變毛換)滿足沿交換國率.2.苗3變換乎的復(fù)紡合與偽矩陣憲的乘滋法4.要求甜學(xué)生旅從幾縣何變鑄換角呀度理厚解AB蘆.5.要求疑學(xué)生蠻從幾迅何變也換角埋度理哭解矩掠陣乘包法不蟲滿足彈銷去橡率.2.狡3變換燦的復(fù)違合與技矩陣傅的乘快法6.有關(guān)摘轉(zhuǎn)移桶矩陣.假設(shè)某市的天氣分為晴和陰兩種狀態(tài),若今天晴,則明天晴的概率為,陰的概率為,若今天陰則明天晴的概率為,陰的概率為,這些概率可以通過觀察某市以往幾年每天天氣的變化趨勢來確定,通常將用矩陣來表示的這種概率叫做轉(zhuǎn)移矩陣概率,對應(yīng)的矩陣為轉(zhuǎn)移矩陣,而將這種以當(dāng)前狀態(tài)來預(yù)測下一時(shí)段不同狀態(tài)的概率模型叫做馬爾可夫鏈,如果清晨天氣預(yù)報(bào)報(bào)告今天陰的概率為,那么明天的天氣預(yù)報(bào)會(huì)是什么?后天呢?2.繡3變換韻的復(fù)竿合與劉矩陣我的乘基法2.越3變換虧的復(fù)翅合與波矩陣眉的乘鈔法2.熱3變換區(qū)的復(fù)歪合與販矩陣吳的乘青法7.轉(zhuǎn)移迫矩陣君每列紋的元冬素的憶和應(yīng)儀該為1,否則鴉做乘瞧法時(shí),容易悶出問響題.2.逃4逆變創(chuàng)換與拍逆矩減陣2．課桂文從幫“走抵過去我”、莖“走金回來稱”的味生動(dòng)疫形象污的話蹤蝶語中引入態(tài)了逆去矩陣狂和逆比變換廊．這籍樣安螞排讓廣學(xué)生頌在輕南松氛疤圍中傳掌握“雕找到稱回家鍋的路除”的乞本質(zhì)即是已知皇矩陣A，能暑否找蠟到一既個(gè)矩陣B，使神得連滿續(xù)進(jìn)吧行的底兩次們變換事的結(jié)方果與悲恒等李變換勒的結(jié)果相紫同．也便漏于學(xué)君生更坦好的就理解忠逆矩版陣，治從而櫻為例1的順利解笑決打細(xì)下基很礎(chǔ)．3．例1的設(shè)舉計(jì)起短著承漸上啟撿下的丸作用錯(cuò)，所牧舉的叼幾個(gè)油例子哪也是學(xué)生鑼熟知摸的，缸學(xué)生喬可以商從幾進(jìn)何變較換的股角度帥借助偉直觀室找到咳答案．側(cè)所以叛，例1的目短的在腰于幫刃助學(xué)茫生從喝幾何拿的角鳴度理韻解逆矩陣務(wù)的意挎義，規(guī)并為倆后續(xù)幟學(xué)習(xí)恭積累嘗豐富后的感恒性認(rèn)尺識(shí)．1.對于常二階興矩陣A,燦B,若有AB夕=B鄙A=瀉E,則稱A是可研逆的,B稱為A的逆朋矩陣.2.溝4逆變童換與溫逆矩橋陣4．既肯然有索些矩漠陣存烤在逆徹矩陣干，那南么，偏什么削樣的沸矩陣頌存在逆矩皮陣呢增？課陶本從邊映射縣角度瘦給出旗解釋宋，讓匯抽象麥的問猛題更貼近約學(xué)生波實(shí)際春．5．矩陣的行列式為,則如果則矩陣存在逆矩陣.6.矩陣是否可逆的判斷

2.某4逆變壟換與烤逆矩別陣7.逆矩前陣的旅求解．

8.矩陣的逆矩陣為

2.牧4逆變山換與屢逆矩蹈陣9.輛“先穿鬼襪子野后穿善鞋”王“先充脫鞋價(jià)子后筒脫襪很子”陷解決蟲了學(xué)發(fā)生可熱能會(huì)出蟲現(xiàn)的壟認(rèn)知棄障礙日．學(xué)奸生可晴以借喇助于軟此更消好地?fù)崂斫舛坠剑ˋB）-1=B-1A-1．10．新慰教材匪的螺駱旋上伍升體注系隨源處可胳見，耕課本翁在本摔節(jié)中路就通過證悉明命敘題“已知A，B，C為二室階矩劣陣，帶且AB影=A點(diǎn)C，若撲矩陣A存在懸逆矩銜陣，填則B=除C．”雞而既渾做到灑前后村章節(jié)計(jì)間的享呼應(yīng)狂，又要交求學(xué)利生會(huì)算用逆責(zé)矩陣教的知岸識(shí)解鏈釋二室階矩聲陣的蛇乘法角何時(shí)坊滿足消耕去率尚．11都.逆矩欣陣與葵二元浙一次倉方程求組密晝切相掉關(guān)，壯用逆就矩陣險(xiǎn)的知岡識(shí)理解包二元踐一次波方程獵組的辜求解輛過程貌是為痰了讓剃學(xué)生粱更好探的認(rèn)著識(shí)兩者紛，理辣解它估們間拼的相采互為腦用、伴相輔撈相成.2.會(huì)4逆變嚼換與央逆矩洪陣12繁.2.唇4逆變誓換與霉逆矩疾陣12.AX=B

X=A-1B13.AXC=B

X=A-1BC-1

14姜.2.廚4逆變憤換與坡逆矩敲陣15屆.用二靈階矩豆陣和序行列封式研系究二外元一食次方虜程組蹲的解目的情炊況并闖不比勁消元額法優(yōu)麗越多音少.但是,當(dāng)方靠程組符中的助未知末元很暫多時(shí),矩陣良就變脫成了素研究谷它的絮一個(gè)噸強(qiáng)有唯力的牧工具.2.脾5特征贈(zèng)值與貢特征神向量1.在本李節(jié)開遮始部捧分，古課本膀安排禿了兩盒個(gè)學(xué)歪生熟崇知的津伸壓兩變換，并泉給出異了變膽換前歌后的仇圖形染，其蝦目的賠在于哲讓學(xué)弟生借尿助于稠感性理貢解在癢矩陣腔的作呢用下留某些沫向量抓的“鋸不變竟性”貢，從拘而為熊學(xué)生學(xué)習(xí)訪特征纖值和惱特征悶向量衛(wèi)打下跨堅(jiān)實(shí)佩基礎(chǔ)凡．2.3.將矩抬陣的裙特征魄值與何特征悔向量逮概念絮轉(zhuǎn)換涌成矩嚇陣與讀列向堵量的乘法標(biāo)表示駁來理蝴解，摧其目芒的在焦于引這出矩霜陣的割特征棋多項(xiàng)居式．仔課本沒蠢有對花特征阿多項(xiàng)沿式作那展開抖討論柔，其撫意圖雅是僅公僅讓蘭學(xué)生影將之作翁為一籍個(gè)工貌具．2.潮5特征款值與幅特征毯向量4.5.2.焦5特征爬值與炮特征虧向量2.租5特征坡值與線特征爭向量6.一個(gè)真特征溫值對火應(yīng)著后多個(gè)葉特征記向量.7.有了廳特征脅值和臂特征痰向量選的知迫識(shí),我們謠就可背以方胳便地智計(jì)算賺多次議變換森的結(jié)訊果.2.島5特征域值與荒特征溪向量2.偵5特征廁值與蛙特征滋向量投影膛變換2.桃6矩陣郵的簡記單應(yīng)蘭用1.只要姨求學(xué)跟生對墓高階門矩陣跡有一育個(gè)感辦性認(rèn)未識(shí).2.通過刮本節(jié)吩的學(xué)仗習(xí),讓學(xué)肆生了盲解到掘矩陣嫂來源土于實(shí)碌際生紛活需心要.3.課本鬼介紹梨了矩尋陣在赤數(shù)學(xué)俗領(lǐng)域漂內(nèi)的止應(yīng)用,也介皆紹了框它在側(cè)經(jīng)濟(jì)原學(xué)領(lǐng)宿域、密挪碼學(xué)賺領(lǐng)域般、生炊物學(xué)勵(lì)領(lǐng)域低的應(yīng)絹用.2.蘭6矩陣靈的簡目單應(yīng)翼用2.等6矩陣搬的簡英單應(yīng)邊用2.杜6矩陣賓的簡白單應(yīng)魯用2.餐1二階發(fā)矩陣逮與平銹面向菊量2.馬2幾種型常見柄的平坊面變彎換2.厭3變換勾的復(fù)際合與串矩陣頁的乘土法2.勻4逆矩約陣與系逆變榮換2.綠5特征話值與傍特征怎向量2.湊6矩陣熔的簡勝單應(yīng)奏用學(xué)習(xí)希總結(jié)茫報(bào)告主要撿內(nèi)容教學(xué)壓建議1.本專拼題只況對具溝體的柄二階丸方陣大加以癥討論,而不處討論板一般m×類n階矩抖陣以浩及(aij)形式困的矩蠶陣.教學(xué)犧建議2.矩陣女的引飼入要憤從具計(jì)體的給實(shí)例賄開始,通過綠具體遵的實(shí)純例讓摧學(xué)生鍛認(rèn)識(shí)腸到,某些澡幾何敞變換潛可以堆用矩秘陣表番示,豐富塞學(xué)生曲對矩妄陣幾溫何意績義的棕理解,并引極導(dǎo)學(xué)即生用敗映射樹的觀居點(diǎn)來篇認(rèn)識(shí)垃矩陣,解線鍵性方楊程組.不提購倡先貢講矩午陣,后講秧變換.3.要求飾從圖等形的蜘變換滑直觀議地理鉗解矩校陣的副乘法,并通寧過具遠(yuǎn)體的吉實(shí)例頑讓學(xué)肥生理潔解矩給陣乘恒法的護(hù)運(yùn)算絞率.4.在新帖課講患解過斷程中濁適當(dāng)嘴地復(fù)舍習(xí)映花射和何一一顧映射.教學(xué)翅建議5.應(yīng)通門過大帥量實(shí)兆例,借助霜立體昆幾何敘圖形蹤蝶的三賠視圖箏來研凍究平包面圖織形的致幾何見變換,這樣昏會(huì)讓賭學(xué)生震感到悔生動(dòng),單純吧的平今面幾師何變致?lián)Q比啊較抽兩象.6.可以罵將伸駐壓變藝換與淹數(shù)學(xué)4中的趣三角適變換醉結(jié)合潔起來,體現(xiàn)途知識(shí)菊的螺運(yùn)旋上芽升.7.注意老伸壓象變換泉和伸糕縮變勤換的醋異同.8.在證蘿明二巡壽階非填零矩啊陣對伐應(yīng)的扒變換搖把直熔線變文為直翅線(或點(diǎn))時(shí),學(xué)生棚可能作會(huì)感羨到困才難,教師富可以壩先復(fù)而習(xí)定翠比分百點(diǎn)的沫有關(guān)離知識(shí).自一號(hào)部分指內(nèi)容模不要補(bǔ)求掌排握,只要賢求學(xué)君生能柳夠直誰觀地曾理解投線性輩變換泄把直箭線變魔成直揚(yáng)線(或點(diǎn)).教學(xué)傍建議9.切變術(shù)變換潛從幾睡何上詞可以嗎這樣悠理解:保持計(jì)圖形民面積防大小奏不變,而點(diǎn)地間距滿離和竟線間聾角可有以改鬼變,且點(diǎn)凳沿坐忍標(biāo)軸風(fēng)運(yùn)動(dòng)腰的變增換.這些鄙不要蝴求學(xué)賴生掌解握,只要險(xiǎn)求學(xué)士生能辣結(jié)合嚴(yán)圖形,用書赴上的傳方式御直觀笑描述.10悔.對于勺矩陣所乘法很滿足奶結(jié)合遵率,可讓倉學(xué)生但自己俊動(dòng)手彈驗(yàn)證.教學(xué)遠(yuǎn)建議11示.行列奏式知魔識(shí)只守限于場二階夫行列觀式，挎它僅追僅是梨作為耍一個(gè)勿工具來扮使用松，不悅作為阻重點(diǎn)擾，不壓應(yīng)展央開討販論．12蠶.對二里元一奏次方緊程組毅來說寄，用蓮求逆拍矩陣貪的方宅法來僵解方鞏程組并票不簡嚼便，欲這里門強(qiáng)調(diào)避的是采其思減想，山無需饑做大折量練用習(xí)．13羞.從具盼體伸賭壓變凳換引勾入“項(xiàng)不變橋性”付不可涂缺少旨，只妄有