黑龍江省大慶市2022-2023學(xué)年高一年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022級高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題試題說明：1.本試題滿分150分，答題時(shí)間120分鐘.2.請將答案填寫在答題卡上，考試結(jié)束后只交答題卡.第Ⅰ卷選擇題部分一?單選題（每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共40分）1.已知角的終邊落在直線上，則的值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求得正切值，再利用二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系計(jì)算.【詳解】設(shè)為角終邊上一點(diǎn)，則，，，，故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)，求出共軛復(fù)數(shù)，即可得出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】由題意，在復(fù)數(shù)中，，∴，∴復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選：C.3.如圖，是正方形的對角線，的圓心是A，半徑為．正方形以為軸旋轉(zhuǎn)一周，則圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比是（）A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶1∶2 D.2∶2∶1【答案】A【解析】【分析】確定旋轉(zhuǎn)體的形狀：Ⅰ形成圓錐，Ⅰ和Ⅱ形成半球，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合起來形成圓柱，然后由圓錐、球、圓柱的體積公式計(jì)算后得出三部分的體積，再求比值．【詳解】設(shè)正方形的邊長為1，圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次記為，，，Ⅰ形成圓錐，Ⅰ和Ⅱ形成半球，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合起來形成圓柱，，，，故圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比是1∶1∶1，故選：A．4.設(shè)非零向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量模的性質(zhì)由已知可求得，則按照在方向上的投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，解得，所以在方向上的投影向量為.故選：B.5.給出下列說法：①有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱④一個(gè)圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成7塊其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺(tái)和平面的的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于①中，根據(jù)棱臺(tái)的定義，延長棱臺(tái)的所有側(cè)棱交于一點(diǎn)，所以有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體不一定是棱臺(tái)，所以①不正確；對于②中，根據(jù)棱錐的定義，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體是棱錐，所以②不正確；對于③中，根據(jù)棱柱的定義，有兩個(gè)面平行，且該多面體的頂點(diǎn)都在這兩個(gè)平面上，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱，所以③不正確；對于④中，一個(gè)圓柱形蛋糕，切三刀最多可切成8塊，所以④不正確.故選：A.6.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用圖明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理圖假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車的半徑為，筒車轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，如圖所示，盛水桶視為質(zhì)點(diǎn)的初始位置距水面的距離為，則后盛水桶到水面的距離近似為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出初始位置時(shí)對應(yīng)的角，再根據(jù)題意求出盛水桶到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，將代入，即可求解.【詳解】設(shè)初始位置時(shí)對應(yīng)的角為，則，則，因?yàn)橥曹囖D(zhuǎn)到的角速度為，所以水桶到水面的距離，當(dāng)時(shí)，可得.故選：A.7.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系以及輔助角公式，可化簡原式得到，再利用輔助角公式可得，由余弦的二倍角公式可得解【詳解】，則故選：D8.在銳角中，角所對的邊分別為，若，則面積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)的外接圓的半徑為，得到，求得，結(jié)合三角形面積公式得到的面積為，由為銳角三角形，求得，進(jìn)而求得面積的范圍.【詳解】設(shè)的外接圓的半徑為，可得，因，由正弦定理得，所以的面積為，又因?yàn)闉殇J角三角形，可得，解得，則，所以，所以，所以的面積的取值范圍為.故選：C.二?多選題（在每小題有多項(xiàng)符合題目要求，漏選得2分，錯(cuò)選得0分.每小題5分，共20分）9.如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（）A.是鈍角三角形B.的面積是的面積的倍C.是等腰直角三角形D.的周長是【答案】CD【解析】【分析】求出的邊長，計(jì)算出三角形的形狀和周長，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在斜二測視圖中，，∴，的面積是的面積相同，B錯(cuò)誤.∴在中，，∴是的中線，，，∴,∵，∴是等腰直角三角形，A錯(cuò)誤，C正確，，D正確，故選：CD.10.已知i是虛數(shù)單位，z是復(fù)數(shù)，則下列敘述正確的是（）A.B.若，則不可能是純虛數(shù)C.若，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合確定的圖形面積為D.是關(guān)于x的方程的一個(gè)根【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、求模公式，可判斷A的正誤；根據(jù)純虛數(shù)的概念，可判斷B的正誤；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可判斷C的正誤；將代入方程，計(jì)算檢驗(yàn)，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：設(shè)，則，所以，，所以，故A正確；對于B：若為純虛數(shù)，則，上式無解，所以不可能是純虛數(shù)，故B正確；對于C：若，則，整理得，所以在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合確定的圖形是以（0,0）為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，所以面積為，故C錯(cuò)誤；對于D：，所以是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，故D正確.故選：ABD11.在給出的下列命題中，正確的是（）A.設(shè)是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，若，則點(diǎn)必共線B.若向量是平面上的兩個(gè)向量，則平面上的任一向量都可以表示為，且表示方法是唯一的C.已知平面向量滿足則為等腰三角形D.已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)共線定理判斷A、B、C三點(diǎn)共線即可；對于B，根據(jù)平面向量的基本定理，判斷命題錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)可得OA為BC的垂線且OA在的角平分線上，從而可判斷C；對于D，根據(jù)平面向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算得出命題正確；【詳解】對于A，，∴，∴，且有公共點(diǎn)C，∴則點(diǎn)A、B、C共線，命題A正確；對于B，根據(jù)平面向量的基本定理缺少條件不共線，故B錯(cuò)誤；對于C，由于，即，，得，即OA為BC的垂線，又由于，可得OA在的角平分線上，綜合得為等腰三角形，故C正確；對于D，平面向量、、滿足，且，∴，∴，即，∴，∴、的夾角為，同理、的夾角也為，∴是等邊三角形，故D正確；故選ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用命題真假的判斷考查了平面向量的綜合應(yīng)用問題，屬于中檔題.12.已知，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列條件一定能夠使為等腰三角形的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理和題給條件即可得到為等腰三角形，進(jìn)而肯定選項(xiàng)A；利用余弦定理兩角差的正弦公式和題給條件即可得到為等腰三角形或直角三角形，進(jìn)而否定選項(xiàng)B；利用兩角和與差的余弦公式及題給條件即可得到為等腰三角形，進(jìn)而肯定選項(xiàng)C；利用正弦定理均值定理和題給條件即可得到為等腰三角形，進(jìn)而肯定選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：由，可得整理得，則，則為等腰三角形.判斷正確；選項(xiàng)B：由可得則整理得，即或則為等腰三角形或直角三角形.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由，可得則，則又，則，則為等腰三角形.判斷正確；選項(xiàng)D：由，可得，由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），可得則，又，則，則.判斷正確.故選：ACD三?填空題（每小題5分，共20分）13.內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，則_________【答案】【解析】【分析】由余弦定理可得，根據(jù)條件結(jié)合三角形的面積公式可得從而可得答案.【詳解】由余弦定理可得，所以的面積為所以即，由所以故答案為：14.已知，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由題意得出且與不共線，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由于與的夾角為鈍角，則且與不共線，，，，解得且，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的夾角求參數(shù)，解題時(shí)要找到其轉(zhuǎn)化條件，設(shè)兩個(gè)非零向量與的夾角為，為銳角，為鈍角.15.由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長的比值為，則以該四棱錐的高為邊長的正方形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，斜高為，分別用表示出以該四棱錐的高為邊長的正方形面積和該四棱錐側(cè)面積，即可得出答案.【詳解】如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，斜高為，為的中點(diǎn)，則由題意得：，所以，則設(shè)以該四棱錐的高為邊長的正方形面積為，，設(shè)該四棱錐側(cè)面積為，所以.故答案為：16.在中，已知，，，P為線段AB上的一點(diǎn)，且，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，，由結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求，再由，，可求得，，，考慮建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得，設(shè)出單位向量，，，推出，則，而利用，利用基本不等式求解最小值．【詳解】解：中設(shè)，，∵∴即∴∵∴，∵，∴，∴，根據(jù)直角三角形可得，，∴，，以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得，，.P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得設(shè)，則，，由，，∴，，則．（也可以直接利用P為線段AB上的一點(diǎn)，三點(diǎn)共線，可得：，）故所求的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關(guān)鍵是理解把已知所給的向量關(guān)系，建立x，y與λ的關(guān)系，解決本題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于由，發(fā)現(xiàn)為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值．四?解答題：（共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，也是在勾股定理的基礎(chǔ)上，增加了角度要素而成.而對三角形的邊賦予方向，這些邊就成了向量，向量與三角形的知識(shí)有著高度的結(jié)合.已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊：（1）請用向量方法證明余弦定理；（2）若，其中為邊上的中線，求的長度.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖，設(shè)，由三角形法則有，利用數(shù)量積的性質(zhì)展開可得，即可得出結(jié)論.（2）如圖，由（1）求出的值，兩次在不同三角形中利用即可求得結(jié)果.【小問1詳解】如圖，設(shè)，則有，可得，，.【小問2詳解】由（1）知，，如圖，則，，，在中，，解得.18.鱉臑是我國古代對四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐的稱呼．如圖，三棱錐是一鱉臑，其中，，，，且高，．（1）求三棱錐的體積和表面積；（2）求三棱錐外接球體積和內(nèi)切球的半徑．【答案】（1），表面積為（2）外接球體積為，內(nèi)切球半徑為【解析】【分析】（1）利用公式可求體積及表面積.（2）利用補(bǔ)體法可求外接球的半徑，從而可求外接球的體積，利用等積法可求內(nèi)切球的半徑.【小問1詳解】由題設(shè)可得，而三棱錐的高為，三棱錐的體積，又，三棱錐的表面積.【小問2詳解】由條件知，可將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，則三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)也為長方體的頂點(diǎn)，因此長方體的外接球也為三棱錐的外接球．即為三棱錐外接球的直徑.因?yàn)?，所以三棱錐外接球體積為.記內(nèi)切球的球心為，連結(jié)，，，，得到四個(gè)等高的三棱錐，且該高為內(nèi)切球的半徑，則，得，所以，故三棱錐內(nèi)切球的半徑為.19.已知的部分圖象如圖所示（1）求出的解析式；（2）若，求在上值域.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由的部分圖象直接可求得，，和的值即可；

（2）由求得的解析式，化為正弦型函數(shù)，再利用整體法求在上的值域.【小問1詳解】由的部分圖象知，，，解得，所以，又，即，因?yàn)?，所以，所以的解析式為；【小?詳解】由（1）知，；所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即函數(shù)在上的值域?yàn)?20.已知向量，（1）求的值；（2）若均為銳角，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量平行得到，利用二倍角降冪公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，把代入即可；（2）根據(jù)題意可求出的值，由可求出的值，由，均為銳角可得與的值，再根據(jù)即可求出結(jié)果.【小問1詳解】，；【小問2詳解】，，因?yàn)闉殇J角，所以，因?yàn)榫鶠殇J角，.21.如圖，平面四邊形中，，，.（1）當(dāng)，時(shí)，求的面積；（2）當(dāng)，時(shí)，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用誘導(dǎo)公式、三角形面積公式計(jì)算作答.（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理得，即，解得，，因?yàn)椋瑒t，又，所以的面積是.【小問2詳解】中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，則，整理得，而，為銳角，所以.22.如圖，設(shè)中角，，所對的邊分別為，，，為