數(shù)學(xué) 第四章 課件 微商與微分

第四章微商與微分

微商概念來(lái)自一個(gè)連續(xù)量隨另一個(gè)速度量變化的“瞬時(shí)”變化率。§1微商的概念及其計(jì)算例1變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)求非均勻棒的密度（一點(diǎn)的線密度均勻棒的密度單位長(zhǎng)的質(zhì)量非均勻：建立坐標(biāo)系0給出質(zhì)量函數(shù)取棒的一段到這段的質(zhì)量這段上的平均密度越小，就越接近于點(diǎn)的線密度因而例2定義4.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義。對(duì)于自變量在點(diǎn)的任一改變量，函數(shù)在該點(diǎn)的相應(yīng)改變量為若極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，并稱極限值為在點(diǎn)的微商或?qū)?shù)，記為或或說(shuō)明，微商是一種特殊的極限1微商的定義

上面兩個(gè)例子：雖然問(wèn)題的具體意義不同，但僅從數(shù)量方面來(lái)看，它們都是利用函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比（即函數(shù)的平均變化速度）的極限來(lái)刻畫這個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的變化速度，抽象化的。求在它們之比為令取極限，即得函數(shù)在的微商給自變量以改變量，函數(shù)有對(duì)應(yīng)的改變量例3的微商。求在點(diǎn)的微商。時(shí)，函數(shù)有改變量它們之比為注意到第三章第三節(jié)講到的兩個(gè)重要的極限之一，就是因此

當(dāng)給自變量以改變量例4LQTROAByx為曲線上點(diǎn)在處的法線方程為

處切線（如果存在）的斜率。由此：曲線切線方程為2微商的幾何意義①切線:割線的極限位置——切線位置開(kāi)始割線的極限位置——切線位置①切線:割線開(kāi)的極蛋限位斑置—銅—切勻線位體置①志切春線踢:割線頓的極辜限位然置—催—切傻線位霉置①銹切鋸線蠅:割線卡的極邪限位殺置—肆—切岔線位判置①溜切源線疾:割線殺的極牽限位潔置—化—切林線位歇置①煉切蹄線懶:割線煌的極淹限位胡置—元—切亞線位滅置①誦切達(dá)線食:割線乓的極掌限位乏置—向—切采線位綁置①趟切茶線恐:割線替的極鎮(zhèn)限位估置—饅—切雪線位威置①省切壤線兵:割線貢的極綢限位遞置—嶼—切告線位坦置①穴切普線艱:割線毫的極俱限位柔置—級(jí)—切決線位嫌置①純切幫線浴:割線拴的極勁限位捕置—鴨—切容線位注置①粱切進(jìn)線油:求曲林線在對(duì)川應(yīng)于處的鞏切線風(fēng)方程舒和法慶線方播程解：故在對(duì)于處的切線方程和法線方程分別為，即，即例5在上窯面的術(shù)定義沈4.杏1中疏，考旨慮和便有厲定義逢：或?qū)憮斐珊妥髮?dǎo)數(shù)定義4.1'右導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)在點(diǎn)的左，右導(dǎo)數(shù)存在且相等。顯然：！給廣出了余證不掩可導(dǎo)自的有起效方臭法定義4.2`若在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)內(nèi)可導(dǎo).在開(kāi)區(qū)間在內(nèi)可導(dǎo)。且若都存在，則稱上可導(dǎo)。在注：或上可導(dǎo)，則對(duì)每個(gè)都唯一對(duì)應(yīng)數(shù)從而定義了一個(gè)新函數(shù)，稱為在設(shè)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。另外：3.趨可霉導(dǎo)與倡連續(xù)汗的關(guān)農(nóng)系定理寶4.兇1證:設(shè)在點(diǎn)x處可艱導(dǎo),存在反,因此國(guó)必有其中故所以削函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)引.注意浩:函數(shù)旅在點(diǎn)x連續(xù)痰未必什可導(dǎo).反例覆:在x=礎(chǔ)0處連聞續(xù)擠,弱但旨不可帆導(dǎo).即左極限不等于右極限，即差商的極限所以在點(diǎn)不可導(dǎo)。0xy事實(shí)上不存在。不可導(dǎo)點(diǎn)4.韻微動(dòng)商的朗計(jì)算原料加工產(chǎn)品基本稍初等李函數(shù)皂的微朱商公候式四則砍運(yùn)算復(fù)合稍運(yùn)算微商山法則初等伐函數(shù)晃的微瓦商（1旋）常命值函危數(shù)（2兵）其中是正費(fèi)整數(shù)（3悅）正弦勵(lì)函數(shù)與余慶弦函岔數(shù)特別（4術(shù)）對(duì)雄數(shù)函家數(shù)基本巷初等狀函數(shù)特的微藍(lán)商公扇式微商婦的四垮則運(yùn)罪算法馬則由定棉理4莖.2蛛可得定理根4.購(gòu)2反函根數(shù)微根商法餅則若函數(shù)在點(diǎn)附近連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，又則其反之?dāng)?shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且證明底：由在附近屢連續(xù)起且嚴(yán)請(qǐng)格單刺調(diào)，釋則反乞函數(shù)在點(diǎn)附醋近連蜻續(xù)且匠嚴(yán)格暈單調(diào)品。因魯此，侵若則，且嘆當(dāng)時(shí)有故由軋復(fù)合辦函數(shù)追求極疫限法楚則得。定理頂4.從3（5松）指數(shù)領(lǐng)函數(shù)：為的反閑函數(shù)陪而（6枝）反揪三角鍛函數(shù)到此剝：第莫一步妥基本業(yè)上完描成（單還差剖一點(diǎn)撒）核心饞，最教重要腳：若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，在

點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且或定理4.4鏈?zhǔn)椒▌t：推廣到多個(gè)。復(fù)合快函數(shù)含求導(dǎo)隨法則（7尼）冪躁函數(shù)的微怕商特別謎：總結(jié)懶：98罩頁(yè)勁微免商公薦式表蒙和運(yùn)類算法旨則。椅要求青：熟盟記，求解：可視為和的復(fù)合，故例7例8，求=解可視為的復(fù)合，故設(shè)，求例9解可視為的復(fù)合，故設(shè)（x舅>-鈴1）廈，求兩邊都取對(duì)祝數(shù)得解上式廳兩邊臂對(duì)x斬求導(dǎo)尋得例1殖0因此設(shè)，求解刻兩邊旁取對(duì)牢數(shù)再兩茅邊對(duì)筒x求槽導(dǎo)得故例1素1例1襲0博和世例1擦1謎采用辭的方丸法也膨稱為塞對(duì)數(shù)珠求導(dǎo)兆法，捉它簡(jiǎn)晨化求寇導(dǎo)運(yùn)從算。建例1莊1也守可用低鏈?zhǔn)匠▌t陸求得啦。啊因?yàn)?，所翻以函?shù)是初吧等函盾數(shù)，懲故在對(duì)定義社域內(nèi)南連續(xù)過(guò)，但故點(diǎn)不汗可導(dǎo)送。當(dāng)時(shí)有幾何爹上表卻示曲趙線在金x=卵1處界的切娃線平餐行于涌y軸頓。下面異再舉嚴(yán)兩個(gè)被說(shuō)明偽函數(shù)樹(shù)在一慈點(diǎn)連械續(xù)但丹并不德可導(dǎo)殺的例所子。例1思2設(shè)當(dāng)時(shí)，巴函數(shù)是可蹈導(dǎo)的沖：顯然在連續(xù)恰。由洞于極槐限不存素在，郊故在點(diǎn)不沫可導(dǎo)聽(tīng)。我刺們知葛道，獅當(dāng)時(shí)，不斷績(jī)地在嫩1和村-1葬之間寇擺動(dòng)叼。從鐮圖形盆上看高就是支當(dāng)Q如點(diǎn)沿退曲線桃趨于西原點(diǎn)鉛時(shí)，悉割線葡OQ擺在直懇線之間徹?cái)[動(dòng)眠。例1躁3注意逼，并脈不是陪割線川不斷共擺動(dòng)容就無(wú)陵切線頌。例魄如函鑒數(shù)有故可見(jiàn)在點(diǎn)可尼導(dǎo)，期事實(shí)摘上在獲0點(diǎn)芬割線左的斜逆率也是卸不斷親擺動(dòng)旬的，殃但它醉有個(gè)券極限拴位置y=隙0.§2允、微計(jì)分概圓念及損其計(jì)搖算復(fù)習(xí)1、鏈可導(dǎo)遙和導(dǎo)愿數(shù)（拿微商歐）的斯概念2、加無(wú)窮室小的哈比較問(wèn)此駱薄片奪面積葬改變烈了多卡少?設(shè)薄械片邊肯長(zhǎng)為x,障面積慘為A,菌則面積蒜的增弊量為關(guān)于以△x的線中性主劃部高階無(wú)窮小時(shí)為故當(dāng)x在取得增量時(shí),變到一塊挽正方絡(luò)形金安屬薄源片受月溫度令變化興的影侮響,引例秘14邊長(zhǎng)導(dǎo)由其一.瓶微分婚的概盒念稱為函數(shù)在的微分一般陸：函踢數(shù),給姨自變悔量一擠個(gè)改旦變量相應(yīng)芹地函耗數(shù)改請(qǐng)變量是否屬也可生分成設(shè)類似迎的兩省部分從而究有定玻義：腿（可刪微、蛙微分寒）設(shè)在有定駝義，驅(qū)如果駝對(duì)給亡定的，有其中葉A與無(wú)關(guān)百，則鐮稱在x點(diǎn)可崖微，并弓稱為函厲數(shù)在點(diǎn)x的微途分，插記為面：或上述少定義罷中有侵兩個(gè)胸概念愛(ài)，一甜個(gè)是搶可微龜?shù)母鸥滥?，港另一掙個(gè)是轎微分躁的概垂念。注意紹：dy既與x有關(guān)已又與程有關(guān)頂.定義喪4.嗽2從定挖義可客知，娃微分跪具有擔(dān)兩大狀特性營(yíng)：(1抗)微漫分是偽自變鞏量的裙改變寇量的協(xié)線性錄函數(shù)忘容易紫計(jì)算展；(2貴)微提分與鵲函數(shù)林的改熔變量之差祥是比高階給的無(wú)對(duì)窮小釋量(1)函數(shù)在什么條件下可微？(2)A到底是什么？問(wèn)題：思路荷（討您論）趨：先喪看在綁可微壓的條項(xiàng)件下刪：可暫推得套什么精結(jié)果晶？再爬看：凳反過(guò)烈來(lái)是蔑否成氣立？恢（當(dāng)孔然希嫩望成關(guān)立）在點(diǎn)可氏微在點(diǎn)可粘導(dǎo)且反之宰：設(shè)在點(diǎn)可碗導(dǎo)。討則…從而具有…于是若，則于是即自借變量擔(dān)的微搶分等禍于自記變量練的改罵變量蓮。從錢而微商犁就是琴微分母之商定理4.5：函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是：函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)。這時(shí)微分中的系數(shù)證:

“必要性”

已知在點(diǎn)可微,則故在點(diǎn)的可導(dǎo),且“充分性”已知即在點(diǎn)的可導(dǎo),則二互微疤分的賴幾何宵意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)霧也叫尊作微商切線弱縱坐存標(biāo)的團(tuán)增量自變墾量的暢微分,記作記由定科理4析.5宇知從微禿商公腔式表四可得衰微分飾公式球表，從微克商公筍法則崖可得匙微分陡法則騙。當(dāng)u為自盾變量職時(shí)，茫函數(shù)的微滿分為當(dāng)需不奸是自悼變量證時(shí)，博而是x的函羞數(shù)時(shí)，席如何鐵？三．掙微分鴨公式忠與運(yùn)急算法文則：重點(diǎn)擺指出旱：由微及分與匠微商相的關(guān)恢系：而，故因此哀：無(wú)變論u是自距變量善還是的中間濕變量型，微分中形式保持后不變完，這再一性岔質(zhì)稱宏為一價(jià)掀微分獲形式噸的不傭變性。，當(dāng)很小沙時(shí)特別常用盡：1豆）2）3）四．晃微分嘗在近裕似計(jì)傲算中鳳的應(yīng)傅用§3買．隱奇函數(shù)銷與參訪數(shù)方鹽程微能分法前面輛講過(guò)副的函贈(zèng)數(shù)關(guān)響系都刑是用有時(shí)賺自變辰量與擴(kuò)因變酸量的羽對(duì)應(yīng)寺法則至由一袖個(gè)方郊程確匯立，低即函茅數(shù)關(guān)育系隱藏卻在一蓮個(gè)方惹程中攪，例.一般刷地：，確引定了到隱函星數(shù)：例1子．方程可以泰確定娃隱函后數(shù)和它們兩都是香連續(xù)橡函數(shù)肌。但也窯可以解確定盤隱函稼數(shù)它在點(diǎn)不駐連續(xù)華。1、祖隱函盒數(shù)微看分法形式穿給出訂的稱命為顯菠函數(shù)襲，而有拋些隱簡(jiǎn)函數(shù)趁卻不繩能簡(jiǎn)奸單地偷解出柄，假定倡在一病定條縫件下其，方程可以道確定歇隱函紀(jì)數(shù)并且臥是可套導(dǎo)的索：求例2搏：由方互程確定慚隱函程數(shù)，求解：將代入父方程棟，則方傳程為覽恒等鋒式，淘即有將視為接復(fù)合朝函數(shù)專，在蜘恒等抹式兩旺邊對(duì)品x求怕導(dǎo)，得恒舉等式解得例：也可法以利胡用微保分運(yùn)蓄算求撓隱函期數(shù)的王導(dǎo)數(shù)滿，在方殼程兩邊軋求微斯分得解得例3襲．已投知，求解：友在方臘程兩愁邊對(duì)石x求決導(dǎo)，申并注份意y孝是x波的函太數(shù)，果得解得例4曠．已知，求解：藏在方改程兩程邊取井對(duì)數(shù)在方內(nèi)程兩區(qū)邊對(duì)榮x求屯導(dǎo)，塔并注蛙意y忘是x眠的函采數(shù)，杜得解得2．投參數(shù)信方程洪微分錄法設(shè)曲蜻線的激參數(shù)欺方程啊為：若有反盲函數(shù)，則臘可得歇復(fù)合傾函數(shù)所以也可北以用膨微分階推導(dǎo)棉：所以例5．已知僻橢圓雹參數(shù)唱方程鵲為求解：例6尸．一輪膏子沿懸一直帥線滾消動(dòng)，鋒輪燒子上浸一定轟點(diǎn)的直軌跡她曲線稱為君旋輪疏線，站其參考數(shù)方挑程為求出冠曲線眠上斜鹽率為觀1的梳切線游。解：辦旋火輪線謊上任輪一點(diǎn)霉切線刊的斜產(chǎn)率為令，解顆得，它逢對(duì)應(yīng)結(jié)旋輪齊線上辱的點(diǎn)故斜蛇率為潮1的督切線菌為化簡(jiǎn)壯得：§4義．高混階微改商與貨高階握微分1．翻高階務(wù)微商浸的概舊念一般灶地函渾數(shù)的導(dǎo)禽數(shù)仍然沸是x稻的函啦數(shù)。可以途考慮的微硬商稱為的二針階微姐商(二蒸階導(dǎo)拜數(shù))號(hào)。記沙為:二階多及二朗階以星上的傍微商峽統(tǒng)稱姐為高吸階微喂商。例1臘．（n分是正御整數(shù)延），求y皇的各前階導(dǎo)籍?dāng)?shù)?！{(diào)…，求解得線：，求解得詳：強(qiáng)調(diào)嶺兩點(diǎn)方程冊(cè)兩邊歐再對(duì)求導(dǎo)附：例3例22、愚高階琴微商懼的運(yùn)免算法溫則都有n階導(dǎo)潑數(shù)份,尤則(C為常漫數(shù))萊布隙尼茲涼(L婦ei瓜bn筑iz乘)純公式及設(shè)函數(shù)與二紅項(xiàng)式甚展開(kāi)去對(duì)比伸記憶楊。函振數(shù)的塊零階沫導(dǎo)數(shù)策理解靠為函著數(shù)本譜身。4.商：設(shè)，求解：例4例6高．設(shè)，求解得毫：易證賺：，故注意背：用萊豪布尼綱茨公害式當(dāng)哀然可河以。專但顯樂(lè)然是絮自找銹麻煩闊。對(duì)3.邊高階懸微分函數(shù)的一其階微膏分是把它圣看成炒是的函姻數(shù)，臟再求愁一次找微分各得稱為的二充階微偉分,盈記為記為，即注意訪：的意伍義不則同。把類似途地定書(shū)義：的階微體分為于是這正舒是階導(dǎo)比數(shù)（墓微商話）賭符峽號(hào)的嗓由來(lái)門。一般脹地：囑若，由一君階微侍分形盈式不抗變性這時(shí)是中爸間變考量，