第一章 概率論的基本概念

第一章概率論的基本概念第一節(jié)樣本空間、隨機事件第二節(jié)概率、古典概型第三節(jié)條件概率、全概率公式第四節(jié)獨立性第一節(jié)樣本空間隨機事件在一定條件下，試驗有多種可能的結果，但事先又不能預測是哪一種結果的現(xiàn)象稱隨機現(xiàn)象。1、隨機試驗概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門基礎學科。上一頁下一頁返回則把這一試驗稱為隨機試驗，常用E表示。對隨機現(xiàn)象進行的觀察或實驗稱為試驗。（2）每次試驗的可能結果不止一個，并且事先可以知道試驗的所有可能結果。（3）進行一次試驗之前，不能確定會出現(xiàn)哪一個結果。若一個試驗具有下列三個特點：（1）在相同條件下可重復進行。上一頁下一頁返回2、隨機事件與樣本空間隨機事件（簡稱事件）：在隨機試驗中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結果。通常用大寫字母A、B,…表示?；臼录海?）每次試驗必然出現(xiàn)且只能出現(xiàn)其中一個基本結果。（2）任何結果，都是由其中一些基本結果組成，每個基本結果稱樣本點。上一頁下一頁返回隨機事件中有兩個極端情況：每次試驗中都必然發(fā)生的事件，稱為必然事件

。每次試驗中都不發(fā)生的事件，稱為不可能事件?；臼录菢颖究臻g的單點集。復合事件是由多個樣本點組成的集合。必然事件包含一切樣本點，它就是樣本空間。不可能事件不含任何樣本點，它就是空集。樣本空間：隨機試驗E的全體基本事件組成的集合。記為。上一頁下一頁返回例1:從一批產品中任取8件，觀察其中的正品件數(shù)，則這一試驗的樣本空間為：

={0，1，2，3，4，5，6，7，8}引入下列隨機事件:A={正品件數(shù)不超過3}={0，1，2，3}B={取到2件至3件正品}={2，3}C={取到2件至5件正品}={2，3，4，5}D={取到的正品數(shù)不少于2且不多于5}={2，3，4，5}E={取到的正品數(shù)至少為4}={4，5，6，7，8}F={取到的正品數(shù)多于4}={5，6，7，8}上一頁下一頁返回表示事件A包含于事件B或稱事件B包含事件A,指事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生.3、事件間的關系及其運算事件A1，A2，…An

的和記為,或A1∪

A2∪

…∪An

表示事件A與事件B中至少有一個事件發(fā)生,稱此事件為事件A與事件B的和（并）事件,或記為A+B.上一頁下一頁返回表示事件A與事件B同時發(fā)生,稱為事件A與事件B的積（交）事件，記為AB。積事件AB是由A與B的公共樣本點所構成的集合?？闪袀€事件A1,A2,…,An的積記為A1∩

A2∩

…∩An

或A1A2…An

，也可簡記為。在可列無窮的場合，用表示事件“A1、A2

、…諸事件同時發(fā)生?！鄙弦豁撓乱豁摲祷厥录嗀發(fā)生但事件B不發(fā)生,稱為事件A與事件B的差事件。顯然有：則稱A和B是互不相容的或互斥的,指事件A與B不可能同時發(fā)生?；臼录莾蓛苫ゲ幌嗳莸?。上一頁下一頁返回則稱A和B互為對立事件，或稱A與B互為逆事件。事件A的逆事件記為,表示“A不發(fā)生”這一事件。對于掌任意況的事央件A，B只有省如下凍分解泳：上一資頁下一鵲頁返夢回ABBAABBAABBAA上一緊頁下一曾頁返灘回事件噴的運緊算律（1）交境換律捕：A∪岡B=憤B∪優(yōu)A，AB艷=B倡A（2）結均合律（A∪B）∪C=固A∪（B∪摘C）（3）分訴配律框：A付∩（B∪德C）=（A∩罪B）∪心（A樸∩答C）（A∩桑B）∩C=妻A∩（B∩句C）A∪（B閃∩惠C）=（A∪重B）∩膚（A∪幟C）（4）德·摩根香律（De衣M炕or曬ga旅n）：上一鏡頁下一啟頁返昏回例2:設A，B，C為三嗽個事拴件，牲試用A，B，C表示捧下列謝事件主：（1）A發(fā)生哨且B與C至少心有一辟個發(fā)屠生；（2）A與B都發(fā)懲生而C不發(fā)腔生；（3）A，B，C恰有箭一個苦發(fā)生炭；（4）A，B，C中不澆多于炕一個堵發(fā)生毫；（5）A，B，C不都佩發(fā)生吼；（6）A，B，C中至庫少有壞兩個相發(fā)生兇。上一襪頁下一餅頁返鬼回上一謙頁下一繼頁返逼回第二局節(jié)首概學率、倍古典假概率1、概曲率定義1:在相同條件下，進行了n次試驗.若隨機事件A在這n次試驗中發(fā)生了k次，則比值稱為事件A在n次實驗中發(fā)生的頻率，記為頻率完具有著下列性質：(1)對于任一事件A，有(2)上一貴頁下一狹頁返登回上一荒頁下一當頁返衡回歷史趣上著股名的斜統(tǒng)計腰學家渡蒲豐質（Bu而ff增on）和嗓皮爾潮遜（Pe冠ar洲so續(xù)n）曾布進行轉過大途量拋騙硬幣扔的試惠驗，息其結圈果如咸表所范示.實驗者nkf德·摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069K·皮爾遜1200060190.5016K·皮爾遜24000120120.5006可見贈出現(xiàn)洗正面廁的頻臨率總脈在0.厭5附近軟擺動.隨著等試驗僵次數(shù)穩(wěn)的增匹加,它會遲逐漸話穩(wěn)定刪于0.老5.上一膊頁下一割頁返臺回定義忘2:麗設竭事件束A在n次重泡復試橋驗中幻玉發(fā)生艙了k次,n很大義時,柜頻率絹穩(wěn)定尖在某序一數(shù)刑值p的附班近波避動,址而隨磁著試爪驗次贈數(shù)n的增映加，胃波動都的幅加度越現(xiàn)來越埋小，承則稱p為事戒件A鼠發(fā)生呆的概賭率，兄記為上一活頁下一燥頁返紐奉回定義3：2、概元率的巖公理資化定閣義上一屢頁下一漂頁返槳回概率債的性期質：上一興頁下一匆頁返丟回上一屋頁下一候頁返蔬回3、古肢典概浩型定義4：

設隨機試驗E滿足如下條件:試驗的樣本空間只有有限個樣本點，即(2)每個樣本點的發(fā)生是等可能的，即則稱試驗為古典概型，也稱為等可能概型。古典裳概型墓中粒事件A的概僅率計覽算公頑式為上一型頁下一叉頁返欠回例3：從0,爽1,加2,弊…巨,9共10個數(shù)意字中嚇隨機奏地有示放回立地接婆連取4個數(shù)滲字,并按廳其出愁現(xiàn)的鮮先后遷排成樹一行.試求夕下列價事件府的概杰率上一適頁下一諒頁返他回上一違頁下一婚頁返憲回例4:一副翼撲克紡牌(5儀2張)，從棚中任眉取13張，顆求至鋸少有幕一張翁“A”的概臣率。解:設A={任取熄的13張牌答中至益少一悄張“A”}，并倡設Ai={任取消的13張牌陣中恰林有i張“A”}，i=1，2，3，4則上一悅頁下一繩頁返恢回例5：(一個祝古老蔽的問膠題)一對絮骰子高連擲25次.問出棕現(xiàn)雙6與不葡出現(xiàn)今雙6的概上率哪透個大?上一隊頁下一粒頁返萌回4、幾挑何概列型若試馳驗具字有如百下特痰征:上一爛頁下一豆頁返平回例6(約會稍問題)甲、施乙兩域人相史約在噴某一掛段時閃間T內在珍預定琴地點笨會面革。先塘到者扔等候霉另一宴人，側經過只時間t(備t<耽T)后即郵離去,求甲情乙兩進人能即會面奶的概鳴率.(假定耳他們音在T內任競一時例刻到揉達預駕定地曾點是膚等可奪能的)上一扒頁下一泄頁返楚回上一港頁下一代頁返固回第三橡節(jié)矩條桌件概喜率、避全概話率公諒式1、條更件概扁率的東定義上一亦頁下一臣頁返壞回上一勵頁下一掙頁返殖回(2蠟)在原環(huán)樣本廊空間石中計癥算,由于(1撥)在縮彩減的諷樣本崇空間先中計迎算.因第座一次暑已經榨取得之了次筆品,剩下夠的產扛品共19件其恒中3件次蛛品,從而P(際B│灣A)煉=3斑/1交9例1：液某批隆產品玻共20件,其中4件為滾次品,其余吉為正腐品,不放發(fā)回地貪從中斯任取忌兩次,一次各取一錄件.若第癢一次殃取到備的是尋次品,問第討二次府再取扯到次租品的派概率扯是多誘少?解隊：令A=能{第一疏次取豆到次袖品},敬B=開{第二午次取巨到次腔品},需求P(胳B│炭A)疾.上一防頁下一固頁返評回設P(墳A)如>0宏,則有P(乎AB性)=角P(藝A)狗P(號B│膨A)同樣,當P(消B)尖>0時,有：P(段AB丘)=亂P(拾B)陸P(泄A│旗B)2、乘餅法定農理乘法丈定理續(xù)可推紅廣至假任意鹿有限筋個事察件的味情形:上一極頁下一彩頁返講回乘法細公式裹主要單用于壺求幾煎個事眼件同丈時發(fā)年生的蒙概率.例2.一批霸零件枯共有10闖0個，貓其中10個不漂合格住品。箭從中微一個橡一個叛不返宴回取淘出，蜘求第山三次賞才取奴出不礙合格索品的遷概率.解：嘉記Ai=“第i次取筑出的縱是不災合格義品”Bi=“第i次取嬸出的蛙是合參格品”,目的攔求P(B1B2A3)用乘槍法公政式P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法酒公式偶的應膀用例3：設袋尚中有a只白勾球,b只黑新球.任意姑取出鳳一球銀后放種回,并再糟放入頂與取未出的吸球同肥色的咬球c只,再取嘩第二齡次,如此倍繼續(xù),共取酬了n次,問前n1次取莫出黑直球,后n2=n-n1次取迎白球印的概摸率是明多少?上一侍頁下一塘頁返刻回上一蝕頁下一拿頁返晚回上一瓣頁下一自頁返胖回3、全弱概率胃公式吉與貝偉葉斯寨公式上一寇頁下一紋頁返?；厝趴蘼使呈缴弦粔彭撓乱黄揄摲祳^回貝葉該斯公戒式上一返頁下一驗頁返針回全概高率公愿式與場貝葉石斯公提式的純比較原因A1原因A2原因An結果B……全概率公式是已知“原因”發(fā)生概率，求“結果”發(fā)生概率。貝葉斯公式是已知“結果”，推斷該“結果”由某“原因”發(fā)生的概率。原因A1原因A2原因An結果B……例4：某工描廠由膏甲,乙,丙三芬臺機赤器生綢產同裁一型黎號的坊產品,它們默的產結量各賴占30虜%,刻35徐%,舊35油%,廢品璃率分多別為5%紀,4障%,松3%孔.產品腳混在殲一起.(家1)從該午廠的寫產品宇任取妙一件,求它按是廢籮品的汽概率.(衛(wèi)2)若取下出產鴉品是蹈廢品,求它咸是由味甲,乙,丙三紗臺機斥器生閱產的減概率茄各是鳳多少?上一州頁下一億頁返防回上一芬頁下一儲頁返貪回例5：對以求往的噸數(shù)據鋒分析濟結果贏表明,當機翼器調錄整良鑄好時,產品濱的合窮格率降為90仍%,而機師器未稀調整城良好晝時,其合漁格率背為30嬌%.每天距機器槽開動葬時,機器繁調整指良好械的概益率為75爐%.試求唐已知賭某日閃生產枝的第站一件逝產品克是合居格品,機器指調整周良好戶的概同率是格多少?解:設A={機器揚調整張良好},B={生產丑的第撇一件尖產品搜為合弓格品}.已知上一拳頁下一紋頁返澡回全概故率公當式與料貝葉訂斯公堅式的堤關系可以被通過§1女.7全概橡率公談式

在全概率公式中，通常把事件的概率叫做試驗前的假設概率.如果試驗時確實發(fā)生了，則應重新估計事件[先驗棒概率]的概率，即計算條件概率稱為試驗貨后的丑假設僅概率.[后驗淺概率]由乘奴法定成理，例6：臨床條診斷魂記錄停表明,利用辦某種輪試驗擠檢查深癌癥馬具有插如下趁的效長果:對癌遇癥患這者進御行試各驗結累果呈見陽性忙反應爛者占95為%,對非民癌癥碼患者卻進行諒試驗騾結果濟呈陰醒性反缸應者孝占96饅%.現(xiàn)在衰用這宵種試食驗對澤某市詳居民備進行鬧癌癥制普查,如果居