線(xiàn)性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型以及定義

第一節(jié)線(xiàn)性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型目標(biāo)函數(shù)：約束條件：松弛變量，剩余變量線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式特點(diǎn)：(1)目標(biāo)函數(shù)求最小值（有時(shí)求最大值）(2)約束條件都為等式方程，且右端常數(shù)項(xiàng)bi都大于或等于零(3)決策變量xj為非負(fù)。（2）如何化標(biāo)準(zhǔn)形式

目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)換

如果是求極大值即，則可將目標(biāo)函數(shù)乘以(-1)，可化為求極小值問(wèn)題。也就是：令，可得到上式。即

若存在取值無(wú)約束的變量，可令其中：

變量的變換

約束方程的轉(zhuǎn)換：由不等式轉(zhuǎn)換為等式。稱(chēng)為松弛變量稱(chēng)為剩余變量

變量的變換

可令，顯然例1將下列線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)形式用替換，且解:（１）因?yàn)閤3無(wú)符號(hào)要求，即x3取正值也可取負(fù)值，標(biāo)準(zhǔn)型中要求變量非負(fù)，所以(2)第一個(gè)約束條件是“≤”號(hào)，在“≤”左端加入松馳變量x4，x4≥0,化為等式；(3)第二個(gè)約束條件是“≥”號(hào)，在“≥”左端減去剩余變量x5，x5≥0；(4)第3個(gè)約束方程右端常數(shù)項(xiàng)為-5，方程兩邊同乘以(-1),將右端常數(shù)項(xiàng)化為正數(shù)；(5)目標(biāo)函數(shù)不變標(biāo)準(zhǔn)形式如下：一、圖解法第二節(jié)解的性質(zhì)maxZ=2X1+X2

X1+1.9X2≥3.8X1-1.9X2≤3.8s.t.X1+1.9X2≤10.2X1-1.9X2≥-3.8X1，X2≥0例2用圖解法求解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題圖解亂法x1x2oX1-幻玉1.偷9X2=獄3.像8(≤礎(chǔ))X1+撤1.閣9X2=議3.校8(≥)X1-敗1.州9X2=羨-3斯.8像(≥)X1+錢(qián)1.落9X2=茶10面.2(≤眨)4養(yǎng)=之2X1+杜X220賭=登2X1+六X217片.2嘗=夕2X1+舒X211護(hù)=拔2X1+胳X2Lo：0控=喇2X1+醋X2（7.貼6，2）Dma熟x苗Zmi嘆n跳Z此點(diǎn)帳是唯炭一最辟優(yōu)解跳，且最無(wú)優(yōu)目孫標(biāo)函圾數(shù)值ma槍x匆Z=賢17翅.2可行兼域ma尼x渣Z饞=滴2港X1+桐X2圖解報(bào)法ma壓x蠶Z=家3X1+5米.7肯X2x1x2oX1-連1.析9X2=哀3.存8(≤抹)X1+窗1.唐9X2=特3.騎8(≥)X1-庭1.首9X2=煙-3室.8放(≥)X1+失1.務(wù)9X2=迷10裳.2(≤除)（7.村6，2）DL0：0=濱3X1+5圖.7絹X2ma征x厭Z（3.層8，4）34昏.2=壁3X1+5澆.7額X2藍(lán)色膛線(xiàn)段漸上的麗所有壩點(diǎn)都拌是最優(yōu)解性這種鄭情形障為有們無(wú)窮功多最優(yōu)解艇，但巨是最展優(yōu)目筐標(biāo)函扔數(shù)值ma傘x肉Z=攀34賴(lài).2是唯座一的暖?？尚邪胗驁D解向法mi指n父Z=役5X拉1+廊4X均2x1x2oX1-藝1.許9X2=華3.偽8(≤歲)X1+駁1.拔9X2=爽3.抱8(≥)X1+布1.驚9X2=上10陸.2(≤賤)DL0：0=攤5X1+4把X2ma督x筑Zmi尸n爹Z8=息5X1+4藍(lán)X243腳=5車(chē)X1+4消X2（0，2）可行樸域此點(diǎn)刮是唯補(bǔ)一最輩優(yōu)解圖解床法246x1x2246無(wú)界哈解(無(wú)最亡優(yōu)解)ma享xZ=x1+2x2例3x1嶄+x張2=索4(賊≥)x1逃+3傷x2絲式=6總(≥挑)3x肯1+鼓x2制=6饞(≥擾)ma含x俘Zmi袍n懼Zx1x2O10203040102030405050無(wú)可擠行解(即無(wú)預(yù)最優(yōu)早解)ma旋x黃Z=增3x1+4x2例4圖解督法學(xué)習(xí)衛(wèi)要點(diǎn)逼：1.通過(guò)卷圖解問(wèn)法了芽解線(xiàn)鋤性規(guī)淹劃有內(nèi)幾種維解的纖形式（唯蒸一最乞優(yōu)解范；無(wú)踐窮多距最優(yōu)微解；末無(wú)界背解；揮無(wú)可朋行解抓）2.作圖燥的關(guān)醬鍵有彈三點(diǎn)夠：(1吹)可行幟解區(qū)喬域要摟畫(huà)正湯確(2難)目標(biāo)閃函數(shù)昌增加很的方越向不宵能畫(huà)撒錯(cuò)(3崖)目標(biāo)乘函數(shù)候的直隆線(xiàn)怎竊樣平糊行移剪動(dòng)二線(xiàn)束性規(guī)港劃解干的定未義可行胃解：滿(mǎn)恢足約揀束條氏件Ax踐=b、x≥疫0的解達(dá)為可泳行解駱。所攝有可腔行解榜的集槍合為搭可行外域。最優(yōu)倘解：使旬目標(biāo)凳函數(shù)陳達(dá)到床最小尋值的矩可行責(zé)解?；涸O(shè)A為約輔束條京件Ax強(qiáng)=b的m×蠅n階系績(jī)數(shù)矩瘋陣(m鋪<n用)，其塘秩為m，B是矩?fù)岅嘇中m階滿(mǎn)暑秩子哀矩陣久（∣B∣蔥≠0），祖稱(chēng)B是規(guī)切劃問(wèn)級(jí)題的叢一個(gè)物基。而設(shè)：稱(chēng)B中每偏個(gè)列羨向量Pj(沾j躍=雕1縫2……m)為基添向量需。與汽基向電量Pj對(duì)應(yīng)借的變同量xj為基變剛量。除命基變寄量以田外的遷變量哪為非基判變量。基解晃：某一買(mǎi)確定澇的基B，令頑非基尊變量喚等于雄零，勢(shì)由約購(gòu)束條加件方繞程Ax染=b解出絡(luò)基變居量，們稱(chēng)這滔組解扯為基姻解。中在基車(chē)解中錄變量須取非0值的帽個(gè)數(shù)爽不大滅于方松程數(shù)m，基混解的壁總數(shù)店不超傳過(guò)基可非行解優(yōu)：滿(mǎn)足堡變量仍非負(fù)笨約束譯條件溝的基肅本解翻，簡(jiǎn)烘稱(chēng)基禾可行雅解?？尚蟹簩?duì)應(yīng)胸于基續(xù)可行移解的巡壽基稱(chēng)仆為可火行基橫。非可行解可行解基解基可行解例1.辜4求線(xiàn)診性規(guī)王劃問(wèn)絞題的銳所有勇基矩蘋(píng)陣。解:約束倡方程耍的系爺數(shù)矩宮陣為2×套5矩陣r(惜A)友=2，2階子雜矩陣塌有10個(gè)，哨其中柏基矩惱陣只丸有9個(gè)，聰即解的勾定義解的銳定義解的史定義解的衡定義類(lèi)似屯可得共所有尸基解止。代入死目標(biāo)盼函數(shù)雅，通邁過(guò)比塑較可額得最寶優(yōu)解彈。思考桶：線(xiàn)性偽規(guī)劃固的基存解最傳多有曉多少系個(gè)？酬基可深行解廁呢？引理1：設(shè)x0＝0是線(xiàn)命性規(guī)甩劃的進(jìn)可行狐解，控則x0必定沙是基虹可行院解。解的湯定義分析僻：要指證x0＝0是基丑解，茶由定庭義，揭只需倡要證械明存鐵在非雕奇異發(fā)子陣B，使際得xB=B-1b=埋0,何xN=0壓,從而塘，x0是基奶解。解的樹(shù)定義證明洋：因殖為x0＝0是可孔行解燒，所有戶(hù)滿(mǎn)足Ax0＝A0＝0＝b。設(shè)r(常A)賀=m彩,任取兇一個(gè)m階非針奇異貌方陣引理2：設(shè)x0是線(xiàn)性規(guī)劃的可行解，并且若相應(yīng)的P1，P2，Ps線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則x0是基可行解。證明怒：設(shè)r(震A)爐=m纏,因?yàn)镻1，P2，Ps線(xiàn)性后無(wú)關(guān)織，所形以s<員m.可以荒從A中補(bǔ)推充(m生-s頌)個(gè)列偷向量曉，使犯得新儉向量百組是A的一濱個(gè)極幟大線(xiàn)想性無(wú)喊關(guān)組晃，解的懼定義不妨盒設(shè)為P1，P2，…Ps，Ps+例1…,Pm,則B=謠(盾P1，P2，…Ps，Ps+西1…,Pm)為非告奇異推矩陣狐，又解的酒定義問(wèn):1。若x是線(xiàn)寨性規(guī)引劃的塵一基朗解,那么嗎其中脅非廊零變客量最純多有花多少注個(gè)?零變初量最尿少多預(yù)少個(gè)僵？解的厲定義2。已惜知一聽(tīng)可行億解，退且非擠零個(gè)禮數(shù)小管于m，是題否一聲定是派基可告行解房誠(chéng)？解的剃定義解的彎定義解的維定義注:由可蹤蝶行解畏中非饞零變脈量的刪個(gè)數(shù)旋以及摟對(duì)應(yīng)速列的飼相關(guān)底無(wú)關(guān)嚷性可稠判斷債是否和是基宰解.解的釀定義定理2:線(xiàn)性敏規(guī)劃虛可行取解的艷集合R=絹{x驢|A程x健=b虎,x客≥0河}是凸者集.點(diǎn)x0是R的極僻點(diǎn)充慕分必捧要條墓件是x0是線(xiàn)慎性規(guī)奏劃的矩基可貓行解.二.解釋濟(jì)及相愉關(guān)性期質(zhì)再證x0是R的極賊點(diǎn).假設(shè)歷不是,由定進(jìn)義,解釋飄及相格關(guān)性似質(zhì)解釋扛及相茂關(guān)性疼質(zhì)解釋躬及相岸關(guān)性腔質(zhì)解釋晨及相脈關(guān)性買(mǎi)質(zhì)再證錘必要扎性.反證.（即構(gòu)玻造兩喂個(gè)可利行解x1，x2使得x0是這成兩個(gè)氣點(diǎn)的算組合）設(shè)x0是極烈點(diǎn),但不株是基距可行幅解.不失柏一般賤性,設(shè)前s個(gè)分熱量大腹于0,后面n-混s個(gè)分尖量為0.定理3的第好二個(gè)孩結(jié)論遼可知A的前s個(gè)列別向量間線(xiàn)性住相關(guān).于是噴存在休一組練不全朝為0的數(shù)顏滿(mǎn)足解釋躬及相冒關(guān)性搶質(zhì)解釋剪及相錦關(guān)性飼質(zhì)解釋乓及相紡關(guān)性述質(zhì)解釋嘗及相師關(guān)性零質(zhì)說(shuō)明:從證砍明的朱過(guò)程等來(lái)看,對(duì)于彩任意斗一個(gè)啞可行勤解,如果壁不是總基解挎，可泳以通假過(guò)所禾給的譯方法鞋，可澡以得絮到一漿可行臂解，央其中0分量耐的個(gè)揀數(shù)至范少增腫加一絡(luò)個(gè)。旱反復(fù)冒進(jìn)行走，一鞭定會(huì)鳳得到閥一基脹可行從解。解釋濟(jì)及相跨關(guān)性陣質(zhì)解釋扯及相僅關(guān)性珠質(zhì)解釋征及相劣關(guān)性立質(zhì)線(xiàn)性哨規(guī)劃困基本相定理:1.若線(xiàn)休性規(guī)騙劃有李可行勉解,則一墊定有輩基可恐行解.可行解xx是基解x不是基解,則逐漸增加0分量個(gè)