第十四章達(dá)朗伯原理

第十四章達(dá)朗伯原理

達(dá)朗伯原理提供了用靜力學(xué)的平衡方程求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的方法,所以也稱‘動(dòng)靜法’.達(dá)朗伯原理的運(yùn)用首先是將有關(guān)的運(yùn)動(dòng)量轉(zhuǎn)化成達(dá)朗伯慣性力系,這其間達(dá)朗伯慣性力系的簡(jiǎn)化和等效代替是重要的一步.其后便是運(yùn)用靜力學(xué)平衡方程式的求解技巧.用達(dá)朗伯原理求解約束反力和加速度問(wèn)題是很有效的.質(zhì)點(diǎn)MM質(zhì)量m,主動(dòng)力F約束反力NFN加速度為aRa所以R=F+N=maF+N+(-ma)=0因?yàn)閼T性力Q=-ma所以F+N+Q

=0

Q是一個(gè)虛力用虛線表示象力的平衡方程不是力的平衡方程Q不作用在質(zhì)點(diǎn)上§14–1慣性力.質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理

質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理敘述為∶在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束反力和虛擬的慣性力組成平衡力系。F+N+Q

=0

當(dāng)非自由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束反力和達(dá)朗伯慣性力在形式上組成一平衡力系.－這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理.例一.重P的物塊A(不計(jì)尺寸)沿與鉛垂面夾角為θ的懸臂梁下滑.梁重為 G,均質(zhì),長(zhǎng)OB=L.不計(jì)摩擦.

求:當(dāng)物塊A滑至距固定端為S米時(shí),固定端的約束反力.APθSBOL/2Ga解:先求慣性力XOYOmOFg由達(dá)朗伯原理例二.(見(jiàn)書)飛輪的質(zhì)量為m,半徑為R,以勻角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)輪緣較薄,質(zhì)量均勻分布,輪輻的質(zhì)量不計(jì).不考慮重力的影響,求輪緣橫截面的張力.OωORωxdFgT1T2θ解：取半圓環(huán)為研究對(duì)象

運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)系的每一瞬時(shí),系統(tǒng)中的所有質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯慣性力與作用于系統(tǒng)的外力在形式上組成平衡力系.－這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理.

這個(gè)‘平衡力系’顯然是一個(gè)空間的平衡力系.根據(jù)空間力系的平衡理論,就是:

系統(tǒng)中的所有質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯慣性力和外力系的矢量和為零(主矢為零),以及這些力對(duì)任意點(diǎn)的矩的矢量和為零(主矩為零).用數(shù)學(xué)式表示,即是:它有六個(gè)空間投影方程用于具體問(wèn)題的計(jì)算.如果的平面問(wèn)題便是三個(gè).§14–2質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理質(zhì)點(diǎn)系∶有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)有在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，作用于每一質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束反力以及虛擬慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，作用其上的力系有∶主動(dòng)力系約束反力力系虛擬的慣性力系它們?cè)谛问缴蠘?gòu)成平衡力系，且達(dá)朗伯原理評(píng)價(jià)一、引入虛擬慣性力的意義1、提供了用靜力學(xué)方法寫動(dòng)力力學(xué)方程的手段。2、引出了新的觀點(diǎn)。3、達(dá)朗伯原理的方法被叫做動(dòng)靜法。二、應(yīng)用方面1、寫動(dòng)力學(xué)方程。2、已知運(yùn)動(dòng)，求解動(dòng)約束反力。3、計(jì)算構(gòu)件的動(dòng)荷強(qiáng)度。質(zhì)點(diǎn)緣瑞系的湊每一似個(gè)質(zhì)守點(diǎn)的掉達(dá)朗盡伯慣況性力紙構(gòu)成揀一達(dá)汽朗伯殿慣性愁力系.一般無(wú)情況潔下是晝一個(gè)炸較復(fù)爹雜的滾空間商力系.運(yùn)用茅達(dá)朗淋伯原鳥理求茄解質(zhì)蝕點(diǎn)系航或剛疑體動(dòng)敢力學(xué)克問(wèn)題謙的關(guān)廈鍵是旺將此畢慣性舒力系調(diào)進(jìn)行窯簡(jiǎn)化坑和等華效代菌替.下面,我們鎖將對(duì)可常見(jiàn)爹的幾棉種運(yùn)聰動(dòng)的策剛體牌上的獲達(dá)氏啦慣性讓力進(jìn)順行簡(jiǎn)駝化.§1祝4級(jí)–3剛體蹲慣性謝力系頌的簡(jiǎn)鴉化1.剛體電的平敢動(dòng)C剛體頸作平因動(dòng),其上態(tài)所有拔點(diǎn)的勁加速止度矢饞都相暮等.因而延慣性蕩力系郊是一忌同向?yàn)槠叫薪o力系.這個(gè)逃力系槳與重睬力系歇類似,其合剃力過(guò)榆質(zhì)心C辣.平動(dòng)囑剛體梢上的囑達(dá)朗據(jù)伯慣茅性力叫系向響質(zhì)心才簡(jiǎn)化跌可得正一力.此力脊的大詳小等姻于剛曲體的鬧質(zhì)量仔乘以唯質(zhì)心突或任魂意一聾點(diǎn)的胡加速儉度,方向駕與加公速度攤相反.2.剛體岡的定牙軸轉(zhuǎn)梨動(dòng)(剛體艱有質(zhì)湖量對(duì)過(guò)稱面,且轉(zhuǎn)緣瑞軸垂市直于鏟質(zhì)量脖對(duì)稱葛面):對(duì)于藥轉(zhuǎn)軸階垂直絡(luò)于質(zhì)銷量對(duì)戚稱面襖的定身軸轉(zhuǎn)領(lǐng)動(dòng)的畫剛體,首先究其上松的達(dá)傳朗伯生慣性隙力系使可以朗簡(jiǎn)化余成質(zhì)槽量對(duì)而稱面忌上的鑰平面醋力系.進(jìn)而頃向轉(zhuǎn)怨軸的O點(diǎn)簡(jiǎn)鳥化,可得牌一力欺和一踐力偶.OαωCOC由力慚系的妨簡(jiǎn)化旦理論編可知:此力和的作脹用線服過(guò)O點(diǎn),量值跨為慣掘性力巴系的俱矢量餃和(主矢);此力既偶作御用在減剛體伐上,量值芒為慣浸性力符系諸室力對(duì)O點(diǎn)的酸力矩?fù)蔚拇蹟?shù)和(對(duì)O點(diǎn)的幼主矩).有質(zhì)班量對(duì)戰(zhàn)稱面作且轉(zhuǎn)莖軸垂脾直此骨面的換定軸球轉(zhuǎn)動(dòng)側(cè)的剛循體,其上平達(dá)朗謊伯慣斥性力壇系向閃對(duì)稱械面與次定軸碰的交域點(diǎn)O簡(jiǎn)化堅(jiān)可得扔一力吉和一肝力偶.其力:其力偶:現(xiàn)在核討論芝以下逢三種佩特殊析情況泛：2.當(dāng)剛棕體作亮勻速叨轉(zhuǎn)動(dòng)惹時(shí),a＝0,若轉(zhuǎn)服軸不信過(guò)質(zhì)辜心,慣性妨力系百簡(jiǎn)化鼠為一令慣性惱力FI,且FI＝－maC,同時(shí)料力的喘作用狼線通晴過(guò)轉(zhuǎn)夠軸O。1.當(dāng)轉(zhuǎn)矩軸通繩過(guò)質(zhì)胳心C時(shí),aC＝0,FI＝0,MIC＝－JCa。此吧時(shí)慣獄性力參系簡(jiǎn)爪化為邪一慣半性力政偶。3.當(dāng)剛摟體作輸勻速慘轉(zhuǎn)動(dòng)脫且轉(zhuǎn)點(diǎn)軸通置過(guò)質(zhì)絲式心C時(shí),FI＝0,MIC＝0,慣性姜力系線自成鋒平衡理力系薪。3.剛體走平面定運(yùn)動(dòng)(剛體根有質(zhì)評(píng)量對(duì)垃稱面追且運(yùn)納動(dòng)平摸面平脊行于凳此面).剛體割平面遲運(yùn)動(dòng)溪是隨袖質(zhì)心刃的平弊動(dòng)和液繞質(zhì)岔心仍的轉(zhuǎn)狼動(dòng)的步合成.其上贈(zèng)的達(dá)塔朗伯兵慣性洲力系掩可分謝成兩愛(ài)部分:平動(dòng)棋的慣腐性力酷系和樂(lè)繞質(zhì)資心轉(zhuǎn)菌動(dòng)的沃慣性腥力系.平動(dòng)階的慣鞭性力遙系向菜質(zhì)心抖簡(jiǎn)化削可得粘一力;繞質(zhì)傻心轉(zhuǎn)械動(dòng)的屢慣性慕力系糖可簡(jiǎn)沸化為叨一力毀偶.αC慣性喉力:慣性污力偶:注意:有質(zhì)姨量對(duì)少稱面閉且轉(zhuǎn)勿軸垂暢直此毀面的糧剛體幸的定娛軸轉(zhuǎn)椅動(dòng)是窮剛體而平面喉運(yùn)動(dòng)暈的特曲例,故剛憂體平充面運(yùn)概動(dòng)的晶慣性能力系輸?shù)暮?jiǎn)甚化方庸法也言適合音于這賤樣的迅定軸務(wù)轉(zhuǎn)動(dòng)法的剛臭體.▲:達(dá)朗探伯原弓理的柜應(yīng)用(1均)動(dòng)載橫荷下山求約能束反趙力及腹加速頭度問(wèn)戴題.(2濫)多自遵由度近系統(tǒng)訊或多朗約束陜系統(tǒng)比下求桌加速度度及桶約束漏反力城問(wèn)題.例.絞車區(qū)的質(zhì)煩量為80雁kg代,裝在廁鋼梁縫上的政鉸支暫座O上.梁的累兩端外視為綿簡(jiǎn)支.梁為劑均攀質(zhì),質(zhì)量靠為80驢0k旋g學(xué),尺寸揚(yáng)如圖竄示.絞車徒鼓輪患對(duì)O點(diǎn)的繭轉(zhuǎn)灣動(dòng)慣芹量J0=姨1.禾2扯kg零.m2,鼓輪營(yíng)的半棗徑r情=之0.析2填m囑,繩索老的質(zhì)墊量不璃計(jì).求:當(dāng)絞肯車以鑒加速裕度a=臟1尤m/涼s2提升垃質(zhì)量挖為20惑00相kg的工球件時(shí),求支準(zhǔn)座C、D處的耍動(dòng)反崖力及豎全反拉力.解:垮(產(chǎn)1)先求攏動(dòng)反給力ACDOr3.8m4.2mmaαaαACDOr3.8m4.2m(m1+m2)g

m3g(2凝)求全凍反力令:鼓輪住的質(zhì)皺量m1,梁的殃質(zhì)量適為m2,重物查的質(zhì)鄭量為m3.例.剪(見(jiàn)書)均質(zhì)毅圓盤勸質(zhì)量育為mA,半徑公為r.均質(zhì)訊細(xì)長(zhǎng)糧桿L繁=糧2r藍(lán),質(zhì)量?jī)?cè)為m.桿端A與輪亂心為孔光滑受鉸接.如在A處加暑一水盤平拉缸力F,使輪寇沿水閣平面繳純滾國(guó)動(dòng).問(wèn):輕F力多幟大能回使桿爹的B端剛飛剛離看開(kāi)地稈面?又,為保管證作犯純滾漢動(dòng),輪與石地面劈燕間的膊靜摩效擦系紡數(shù)應(yīng)欄為多偶大?ACB30°FDα

慣性力系簡(jiǎn)化后如圖,其中解:圓盤粱作平覽面運(yùn)質(zhì)動(dòng),童AB桿作皺平動(dòng).取整后體:取AB桿:FA30°CB又,由純滾動(dòng)的力學(xué)條件:∑Y衰=責(zé)0交:∑X莫=妙0嬸:(2)代入(1)得:ACB30°FDα取整征體分企析rFA30°CB例.質(zhì)量m長(zhǎng)L的均豬質(zhì)桿AB泥,其B端固扎結(jié)在濱半徑命為r的圓斬盤邊輛緣上.設(shè)圓芽盤以漸角仰加速伯度α忌,角速析度ω在水王平面雪上繞O軸轉(zhuǎn)赤至圖晚示位籍置.求:曬AB桿的A端所繭受的逝約束焦反力.OrωαLBCθθA解:均質(zhì)旋桿AB的慣例性力睡系向肉其質(zhì)哨心C簡(jiǎn)化孕如圖圖示BCθθAL如果嗚將A處的吩反力錫分解害成如惹圖的烘切向扮和法胃向,則有:§1她4主–裝4繞定掛軸轉(zhuǎn)洽動(dòng)剛謎體的限軸承梳動(dòng)反藝力惠－定軸菊轉(zhuǎn)動(dòng)蘿的剛櫻體在擊一般昌情況版下的慕達(dá)朗情伯慣亡性力黑系的座簡(jiǎn)化膨問(wèn)題基本皇條件:定軸嘆轉(zhuǎn)動(dòng),剛體附或無(wú)債質(zhì)量靈對(duì)稱絹面,或轉(zhuǎn)窯軸不六垂直儉質(zhì)量駛對(duì)鵝稱面.☆:定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體在一般情況下,其上的達(dá)朗伯慣性力是一空間分布力系.若將此力系向轉(zhuǎn)軸上的某一點(diǎn)O簡(jiǎn)化,可得一力和一力偶.若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立O－xyz右手坐標(biāo)系(Oz軸為轉(zhuǎn)軸),則該力系在此坐標(biāo)系下的投影表達(dá)式為:yxmkrkOφKωαzmkxyαωφkφkO(z)φk設(shè)在響定軸緒轉(zhuǎn)動(dòng)序的剛降體上飾任取界一質(zhì)油點(diǎn)mk(虧xkykzk)逮,某一蠟時(shí)刻,米mk的轉(zhuǎn)常動(dòng)半炕徑rk與Ox軸的霧夾角訂為φk,其達(dá)夏朗伯彩慣性緩力如竄圖示.將剛訪體上遇所有攤質(zhì)點(diǎn)鳳的慣威性力緩向O點(diǎn)簡(jiǎn)憑化,于是跡有:這一暗組式傳子便是木以O(shè)z為定崗軸的斜轉(zhuǎn)動(dòng)蒙剛體叛的達(dá)級(jí)朗伯因慣性定力系守向O點(diǎn)簡(jiǎn)長(zhǎng)化所漏得到無(wú)的新慣性虹力和櫻慣性昨力偶識(shí)在右邪手坐晝標(biāo)系O－xy昨z下的門投影挺分量且表達(dá).▲:餓(環(huán)1近)若直沿接套枝用此檢公式,所建逮立的屠坐標(biāo)羞系必灣須是棋右手潑系且微轉(zhuǎn)軸積為Oz軸.(2指)式中M是剛神體的船質(zhì)量,xC、yC、zC是剛儉體的陳質(zhì)心燥坐標(biāo).Jyz、Jzx分別洞是藥對(duì)y、z軸和北對(duì)z、x軸的翻慣性流積,也稱居為離懇心轉(zhuǎn)斃動(dòng)慣藝量.其正全、負(fù)謎或弟零與坑質(zhì)量林分布幼及坐外標(biāo)軸擇的選冷擇有勢(shì)關(guān).(3菌)式中竄除質(zhì)覺(jué)量外皮每一伴個(gè)量慰都是零代數(shù)沿量,即本席身含線有符傲號(hào).△:主慣笨軸壤及中煉心主霧慣軸鑼的概莊念(書上P2段32膛)若要水消除譜定軸儉轉(zhuǎn)動(dòng)巴剛體扔的轉(zhuǎn)教軸處藏的動(dòng)扇反力,則應(yīng):即,轉(zhuǎn)動(dòng)象軸為烏中心蛾主慣測(cè)軸.例題.均質(zhì)輪薄圓菠輪盤幻玉質(zhì)量m抓=左20捏kg榴,半徑R遠(yuǎn)=測(cè)20勝0m慘m費(fèi),重心O在水抄平轉(zhuǎn)系軸上.由于把軸孔箭不正,裝在拍軸上埋時(shí)軸屑與圓睡盤面簡(jiǎn)的中縮慧軸線Oζ成交謙角γ棚=貿(mào)1°幸.設(shè)轉(zhuǎn)品軸勻丈角速題轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)n慚=終12匹00備0r選/m戒in信,求軸轎承A、B處的熟動(dòng)反強(qiáng)力.解:建立的坐標(biāo)系如圖示∵Oz軸過(guò)質(zhì)心,∴故慣性力ζγABOξηγyzx0.5m0.5m又,α=0,所以有Oξ、Oη、Oζ為主慣軸且有:ζγABOξηγyzx0.5m0.5m代入數(shù)據(jù)后得:例三.長(zhǎng)為L(zhǎng)的均獲質(zhì)桿悠從鉛果垂位律置自抓由倒蘿下.試計(jì)病算桿如內(nèi)彎值矩最疲大的并地方,并求窮出此濃彎矩單值.已知簡(jiǎn)均質(zhì)壺桿的脈線密鋒度為ρ.AOLAOα解:由題汽意我悉們只斜需考役慮切必向慣唇性力.角加驗(yàn)速度駁使桿蜂內(nèi)各竭點(diǎn)產(chǎn)多生切逼向慣碑力,而重釀力矩協(xié)引起麗角加響速度.在水療平位次置時(shí)塵重力宴對(duì)O點(diǎn)的險(xiǎn)矩最腫大,因而翻這時(shí)