求解微分方程

關于求解微分方程第1頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例一曲線通過點(1,2)，且曲線上任意點切線的斜率均等于切點橫坐標的2倍，求這曲線的方程。例

列車在平直線路上以

20m

/s的速度行駛，制動時列車獲得加速度

0.4m

/s2

。問開始制動到停止需多少時間？這段時間列車又走了多遠？第2頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三微分方程的定義定義

含有未知函數(shù)的導數(shù)(或微分、偏導數(shù))的函數(shù)方程叫做微分方程，未知函數(shù)是一元函數(shù)叫做常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)叫做偏微分方程；其中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導數(shù)(或微分、偏導數(shù))的最高階數(shù)叫做該微分方程的階。n階微分方程的一般形式：第3頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三(2)n階微分方程的含有n個獨立的任意常數(shù)的解稱為它的通解；通解中確定了任意常數(shù)的解稱為特解。微分方程的解定義

(1)對于微分方程設函數(shù)

y

(x)在區(qū)間I

上有n階連續(xù)導數(shù)，如果在區(qū)間I

上滿足則稱y

(x)是方程在區(qū)間I

上的一個解，其圖形稱為積分曲線。第4頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三說明：(1)n階微分方程的解中最多只能含有n個獨立的任意常數(shù)。(2)微分方程的通解不一定包含它的全部解。如方程不包含特解

y

0。(3)

y(x0)=y0，y(x0)=y1

，…稱為初始條件(或初值)。帶有初始條件的微分方程問題稱為初值問題。第5頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三微分方程解決實際問題的步驟(1)分析問題，建立微分方程并提出定解條件。(2)求微分方程的通解。(3)由定解條件定出任意常數(shù)，即求出特解。(4)討論所得解的性質和意義。第6頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例

證明x

C1cosktC2sinkt是方程的通解(k0),并求滿足初始條件的特解第7頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三求曲線所滿足的微分方程.例.已知曲線上點

P(x,y)處的法線與x

軸交點為

Q解:如圖所示,令Y=0,得

Q

點的橫坐標即點P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,第8頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三作業(yè)(P298)：3(2)，5(2)，6。第9頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三§2可分離變量的微分方程第10頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三一階微分方程的一般形式：F(x,y,y’)

0,或

y’f(x,y),或寫成對稱形式：

P(x,y)dxQ(x,y)dy。第11頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三一個一階微分方程稱為可分離變量的微分方程，如果能把它寫成形式

g(y)dyf(x)dx。若G(y)、F(x)分別是g(y)、

f(x)的原函數(shù)，得第12頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例

求微分方程的通解。例

解方程第13頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例

已知鈾的衰變速度與含量M成正比(比例系數(shù))。若t

0時鈾的含量為M0，求時刻t

時鈾的含量M(t)。解

由題設條件得微分方程由條件M(0)

M0

得CM0，所以tMM0鈾的衰變規(guī)律第14頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為第15頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三練習第16頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三(P304)：1(1)(5)(7)(10)，2(2)，4，6。作業(yè)第17頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三§3

齊次方程第18頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三在一階微分方程

y’

f(x,y)中，如果f(x,y)可以化為則該方程稱為齊次方程。如何求解？第19頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例

解方程例.解微分方程例.解微分方程第20頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三作業(yè)P309：1(1)(6)，2(3),3；第21頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三

§4

一階線性微分方程第22頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三本節(jié)討論一階線性微分方程(1)(2)叫做對應于非齊次線性方程(1)的齊次線性方程。Q(x)

0時稱為一階非齊次線性微分方程，Q(x)

0時稱為一階齊次線性微分方程。第23頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三分離變量法這里表示P(x)的任一原函數(shù)。(3)一階齊次線性方程(2)的解法得方程(2)的通解注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。第24頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三常數(shù)變易法，令一階非齊次線性方程(1)的解法第25頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三用常數(shù)變易法解非齊次方程的步驟：1.求出相應的齊次方程的通解；2.將通解中的任意常數(shù)C

變?yōu)楹瘮?shù)C(x)，然后代入非齊次方程求出C(x)。3.非齊次方程的通解等于對應齊次方程的通解與方程的任意一個特解之和。第26頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例解方程第27頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三習題(315)：1(3)(9)，2(5)，6，7(3)。作業(yè)第28頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三

§5

可降階的高階微分方程第29頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三三種可降階的高階微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第30頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三y(n)f(x)型積分一次再積分一次共積分n次，便得到含n個任意常數(shù)的通解：——可逐次積分求得通解第31頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例求y’

’’

e2x

cosx

的通解。解第32頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三y

f(x,y)

型令

y

p

，方程變?yōu)?/p>

p

f(x,p)，設其通解為p

(x,C1)

，——不顯含y即y’(x,C1)

，說明：對于方程y(n)f(x,y(n1))，可令y(n1)

p而化為一階微分方程p

f(x,p)。第33頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例

求微分方程(1x2)y

2xy

的通解及滿足初始條件y(0)1,y’(0)

3的特解。y

x33x

1。例

解方程第34頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三這時仍令

y

p

作為新未知函數(shù)，方程變?yōu)椋O其通解為

p

(

y,C1)，則

y

f(y,y)型——不顯含x第35頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例解方程例.解初值問題第36頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三習題(P323)：1(2)(6)(10)，2(2)(4)(5)，3作業(yè)第37頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三

§6高階線性微分方程第38頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三一、二階線性微分方程舉例例1

求彈簧振子的運動規(guī)律x(t)。xOx自由振動的微分方程強迫振動的微分方程第39頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三這就是串聯(lián)電路的振蕩方程，其中例2

設由電阻R、電感L、電容C和電源E

Emsint串聯(lián)組成的電路中，電容C兩極板間的電壓為uC，則有第40頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三二、函數(shù)的線性相關與線性無關定義

設y1,y2,

…

,

yn是定義在區(qū)間I上的n個函數(shù)，如果存在

n

個不全為零的常數(shù)k1,k2,…,kn，使在I上就稱這n個函數(shù)在I

上線性相關，否則稱為線性無關。第41頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例如：1

,cos2x

,sin2x

在(

)線性相關；

1

,x

,x2

在任何區(qū)間上線性無關。說明：1)

線性相關

其中至少有一個函數(shù)可由其它函數(shù)線性表出；2)

y1,y2,…,

yn線性無關若k1

y1

k2

y2

…kn

yn0,則k1

k2…

kn0。3)y1與y2線性相關

常數(shù)。

第42頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三n階線性微分方程的一般形式：二階非齊次線性方程

對應的齊次線性方程f(x)

0齊次，f(x)

0非齊次。第43頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三證直接將y

C1y1C2y2代入(2)得：定理

如果y1,y2是齊次方程的兩個解，那么y

C1y1C2y2也是解，其中C1,C2是任意常數(shù)。三、齊次線性方程解的結構第44頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三定理

設y1,y2是齊次方程(2)的兩個線性無關的特解(稱為(2)的一個基本解組)，則y

C1y1C2y2(C1,C2是任意常數(shù))是它的通解，且此通解含有全部解。例

y1

x

,

y2

e

x

是齊次線性方程的一個基本解組，故其通解是第45頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三定理(解的疊加原理)設y1(x)

,y2(x)分別是方程的解，則y

y1(x)

y2(x)是如下方程的解：證非齊次線性方程解的結構第46頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三定理

設

y*(x)是非齊次方程(1)的一個特解，Y(x)是對應的齊次方程(2)的通解，則

y

Y(x)

y*(x)

是方程(1)的通解，且此通解含有全部解。證

由定理3，y

Y(x)

y*(x)

C1y1C2y2

y*(x)是(1)的解，又它含有兩個獨立的任意常數(shù)，故是通解。設y0(x)是(1)的任一解，則y0(x)

y*(x)是齊次方程(2)的解，故存在常數(shù)C10與C20，使得y0(x)

y*(x)

C10y1C20y2,于是y0(x)

C10y1C20y2

y*(x)

。例

yx2

是方程的一個特解，故其通解是第47頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三n階線性微分方程上面關于二階線性方程的結論可推廣到n

階線性方程1.

線性微分方程解的疊加原理：設y1(x)

,y2(x)

分別是方程L[

y]

f1(x)與L[

y]

f2(x)的解，則y

y1(x)

y2(x)是方程

L[

y]

f1(x)

f2(x)的解。L[

y]

f(x)

,其中2.

齊次線性方程解的結構：設y1,

y2,…,

yn是齊次線性方程

L[

y]0

的n

個線性無關的解(稱為它的一個基本解組)，則y

C1y1

C2y2…Cn

yn(C1,C2,

…

,Cn是任意常數(shù))是它的通解，且此通解含有全部解。第48頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三常數(shù),則該方程的通解是().設線性無關函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例.提示:都是對應齊次方程的解,二者線性無關.(反證法可證)(89考研)第49頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三解:故原方程通解為代入初始條件故所求特解為例已知微分方程個解求此方程滿足初的特解.有三始條件第50頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三非齊次線性方程解的結構：設y*(x)是非齊次方程

L[y]

f(x)的特解，Y(x)是對應的齊次方程L[y]

0的通解，則y

Y(x)

y*(x)

是非齊次方程L[y]

f(x)的通解，且此通解含有全部解。第51頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三作業(yè)習題(P331)：1(3)(7)，3，4(1)第52頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三

§7

常系數(shù)齊次線性微分方程第53頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三一、特征方程與特征根二階常系數(shù)齊次線性方程

y

’’

p

y

’

q

y0

.

定義稱代數(shù)方程r2

pr

q0.為微分方程的特征方程，它的根叫做微分方程的特征根。第54頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三1)

p24q

0

,

r1,

r2是兩個不相等的實根，則是方程(1)的兩個線性無關的解，方程的通解是微分方程的通解第55頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三取

u

x

,得

，這時方程(1)的通解為：

代入得：2)p24q

0

,

得到方程的一個解設另一個線性無關的解第56頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三得到兩個線性無關的實解，所以通解是：根據(jù)解的疊加原理3)

p24q

0

,

得到一對共軛復根

r1

i,r2

i,這樣得到兩個線性無關的復數(shù)形式的解第57頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三①r1,

r2是不等二實根，②r1,

r2是相等二實根，其中③r1,

r2是一對共軛復根，求二階常系數(shù)齊次線性方程(1)的通解的步驟如下：1)寫出特征方程r2

pr

q

0；2)求出特征方程的兩個根r1,

r2；3)根據(jù)r1,

r2的不同情況寫出通解：第58頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例

求y

’’

2y

’

3y

0

的通解。例求方程滿足初始條件s(0)4

,

s

’(0)2

的特解。例

求方程

y

’’

2y

’5y

0

的通解。第59頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三n

階常系數(shù)齊次線性方程求解步驟如下：1)

寫出特征方程2)求出特征方程的

n個根(特征根)，3)

根據(jù)特征根寫出

n個線性無關的解(基本解組)，4)

寫出微分方程的通解。第60頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三一對單共軛復根

i

：

k重實根r

：一對

k重共軛復根

i

：單實根r

：說明：n

次方程共有n

個根，對應每個特征根可寫出一個基本解組中的解。方法如下：第61頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三特征根是r1

r2

0

,r3,41

2i,因此微分方程的通解為：y

C1+C2x

+ex(C3cos2x+C4sin2x)

.例

求方程的通解。解

特征方程第62頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三特征根是r1

r2

1

,r3,4微分方程的通解為：例

解方程解

特征方程r

42r3

3r2

4r

20,r

42r3

3r2

4r

2(r1)(r3r22r2

)(r1)2(r22)。第63頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三解整系數(shù)高次代數(shù)方程一般用分解因式法和試根法，應注意以下特殊情形：(1)系數(shù)之和為零時，有根x

1；(2)奇偶項系數(shù)之和相等時，有根x

1；(3)如果方程有有理根則p

是a0的因數(shù)，q

是an

的因數(shù)。習題(P340)：1(3)(6)(10)，2(2)(5)第64頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三§8

常系數(shù)非齊次線性微分方程第65頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式：求方程(1)的通解，歸結為求對應的齊次方程本節(jié)只介紹當方程(1)中的f(x)取兩種常見形式時用待定系數(shù)法求出特解

y*

的方法。y

’’

p

y

’

q

y

f(x)

,

p,q是常數(shù)(1)y

’’

p

y

’

q

y0的通解和(1)的一個特解。第66頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三

f(x)是多項式Pm(x)與指數(shù)函數(shù)

ex的乘積，其導數(shù)仍然是同一類型，因此我們推測，特解具有形式

y*

exQ(x)，其中Q(x)是待定的多項式。將y*

exQ(x)

，y*’

ex[Q(x)Q’(x)]

，y*’’

ex[2

Q(x)2Q’(x)Q’’(x)]代入方程(1)并消去ex得：Q’’(x)(2+p)Q’(x)(2pq)Q(x)Pm(x)(2)一、f(x)

exPm(x)其中

是常數(shù)，Pm(x)是一個m次多項式。第67頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三Qm(x)

b0x

m

b1x

m1

bm1x

+

bm

，代入(2)式，比較同次冪系數(shù)，得到一個以b0,b1,

…

,

bm為未知數(shù)的m

1

個方程的方程組，從而可求出特解y*

Qm(x)ex

.2)

是特征方程r2

pr

q

0

的單根，即2+p+q

0，但2

p

0

，(2)式變?yōu)镼’’(x)+(2+p)Q’(x)

Pm(x)

，

可見

Q’(x)

應是m次多項式且Q(x)的常數(shù)項可任取(不妨取為零)，令

Q(x)

xQm(x)，用同樣的方法可求出Qm(x)的系數(shù)b0,b1,

…

,

bm

.1)

不是特征方程r2

pr

q

0

的根，2+p+q

0

，要使(2)式兩端相等，Q(x)必須是m次多項式第68頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三3)

是特征方程r2

pr

q

0的重根，即2pq

0,且

2

p

0

，(2)

式變?yōu)镼’’(x)

Pm(x)

，可見

Q’’(x)

應是

m

次多項式且

Q(x)的常數(shù)項和一次項系數(shù)可任取，因而可令

Q(x)

x2Qm(x)，然后用同樣的方法求出Qm(x)的系數(shù)b0,b1,

…

,

bm

。結論：

f(x)

e

xPm(x)時方程(1)有

y*

xkQm(x)ex

形式的特解：當

不是特征根時取

k

0，當

是單特征根時取

k

1，當

是重特征根時取

k

2。第69頁，講稿共76頁，2023年5月2日，星期三例

求微分方程y’’

2y’

3y

3x1

的通解。解特征方程r2

2r

3

0

有不等二實根1

,3。令y*

b0x

b1,代入方程得3

b0x

2b03b13x+1，

0不是特征根，Pm(x)

3x+1

,m

1。比較系數(shù)得b0

1

,b1