浙江省溫州市鹿城實驗中學2021年高二數(shù)學文聯(lián)考試題含解析

浙江省溫州市鹿城實驗中學2021年高二數(shù)學文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.用數(shù)學歸納法證明等式：,由的假設(shè)到證明時,等式左邊應(yīng)添加的式子是(

)A. B.C. D.參考答案：D【分析】分別寫出和時，左邊的式子，兩式作差，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，當時，等式左邊等于，共項求和；當時，等式左邊等于，共項求和；所以由的假設(shè)到證明時,等式左邊應(yīng)添加的式子是.故選D【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，熟記數(shù)學歸納法的一般步驟即可，屬于?？碱}型.2.某學校周五安排有語文、數(shù)學、英語、物理、化學、體育六節(jié)課，要求體育不排在第一節(jié)課,數(shù)學不排在第四節(jié)課，則這天課表的不同排法種數(shù)為（

）A.600 B.288

C.480

D.504參考答案：D略3.下圖中的幾何體是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（

）參考答案：A略4.函數(shù)的導數(shù)為（

）A.

B.C.

D.參考答案：B5.雙曲線﹣=1的焦距的最小值為（）A． B．2 C．5 D．10參考答案：B【考點】雙曲線的標準方程．【分析】由題意，2c=2，即可求出雙曲線﹣=1的焦距的最小值．【解答】解：由題意，2c=2，∴雙曲線﹣=1的焦距的最小值為2，故選B．6.已知直線l：y=–+m與曲線C：y=1+僅有三個交點，則m的取值范圍是（

）（A）(–1，+1)

（B）(1，)

（C）(1，1+)

（D）(2，1+)參考答案：D7.設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣2x，則（）A．x=為f（x）的極小值點 B．x=為f（x）的極大值點C．x=ln2為f（x）的極小值點 D．x=ln2為f（x）的極大值點參考答案：C【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用導函數(shù)為0，判斷函數(shù)單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值，得到選項．【解答】解：由函數(shù)f（x）=ex﹣2x，得f′（x）=ex﹣2=0，解得x=ln2，又x＜ln2時，f′（x）＜0，x＞ln2時，f′（x）＞0，∴f（x）在x=ln2時取得極小值．故選：C．8.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D9.如果為遞增數(shù)列，則的通項公式可以為

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D10.在空間直角坐標系中，點P（﹣2，1，4）關(guān)于xOy平面對稱點的坐標是（）A．（﹣2，1，﹣4） B．（﹣2，﹣1，﹣4） C．（2，﹣1，4） D．（2，1，﹣4）參考答案：A【考點】空間中的點的坐標．【分析】在空間直角坐標系中，點（x，y，z）關(guān)于xOy平面對稱點的坐標是（x，y，﹣z）．【解答】解：在空間直角坐標系中，點P（﹣2，1，4）關(guān)于xOy平面對稱點的坐標是（﹣2，1，﹣4）．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),,,則不等式的解集是

.

參考答案：12.各項為整數(shù)的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則的值為

參考答案：13.兩個等差數(shù)列則--=___________.參考答案：14.已知圓C過點（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線：被該圓所截得的弦長為，則圓C的標準方程為

。參考答案：略15.設(shè),函數(shù),則的值等于

．參考答案：816.不等式4x＞的解集為

．參考答案：{x|﹣1＜x＜3}．根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到一元二次不等式，解出即可．解：∵4x＞2，∴2x＞x2﹣3，即x2﹣2x﹣3＜0，解得：﹣1＜x＜3，故答案為：{x|﹣1＜x＜3}．17.已知函數(shù)有極值，則的取值范圍為

參考答案：a>1或a<-1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓經(jīng)過點，且橢圓的離心率，過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點及.

（I）求橢圓的方程；（II）求證：為定值；(Ⅲ)求的最小值.

參考答案：解：（I）由，得，即，即．（1），

……1分由橢圓過點知，．（2） ……2分聯(lián)立（1）、（2）式解得．

……3分

故橢圓的方程是；

……4分（II）為定值

……5分法一：證明橢圓的右焦點為，分兩種情況．1°當直線AB的斜率不存在時，AB:，則CD:．此時，,；

……6分2°當直線AB的斜率存在時，設(shè)AB:，則CD：．又設(shè)點．聯(lián)立方程組消去并化簡得，所以，

……7分

……8分

由題知，直線的斜率為，同理可得

……9分所以為定值.

……10分

法二：證明橢圓的右焦點為，分兩種情況．1°當直線AB的斜率不存在時，AB:，則CD:．此時，,；

……6分2°當直線AB的斜率存在時，設(shè)AB:，則CD：．又設(shè)點．聯(lián)立方程組消去并化簡得，所以，

……7分

由，同理

……8分

故由題知，直線的斜率為，同理可得

……9分所以為定值.

……10分

(Ⅲ)解：由（II）知，

所以

……11分，

……12分當且僅當，即，即時取等號

……13分所以的最小值為.

……14分略19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD，PB⊥AC，Q是線段PB的中點．（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；（Ⅱ）求證：AQ∥平面PCD．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及PA⊥平面ABCD推斷出PA⊥AC，PA⊥AB，進而利用PB⊥AC，推斷出AC⊥平面PAB，利用線面垂直性質(zhì)可知AC⊥AB，再根據(jù)PA⊥AB，PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A推斷出AB⊥平面PAC．（Ⅱ）取PC中點E，連結(jié)QE，ED，推斷出QE為中位線，判讀出QE∥BC，BC=2AD，進而可知QE∥AD，QE=AD，判斷出四邊形AQED是平行四邊形，進而可推斷出AQ∥DE，最后根據(jù)線面平行的判定定理證明出AQ∥平面PCD．【解答】證明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，AC，AB?平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AB，∵PB⊥AC，AP⊥AC，PA，PB?平面PAB，PA∩PB=P，∴AC⊥平面PAB，∵AB?平面PAB，∴AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A；∴AB⊥平面PAC．（Ⅱ）取PC中點E，連結(jié)QE，ED，∵Q是線段PB的中點，E是PC的中點，∴QE∥BC，BC=2AD，∴QE∥AD，QE=AD，∴四邊形AQED是平行四邊形，∴AQ∥DE，∵AQ∥ED，ED?平面PCD，∴AQ∥平面PCD．20.(本小題滿分13分)某商場舉行抽獎活動，從裝有編為0，1，2，3四個小球的抽獎箱中同時抽出兩個小球，兩個小球號碼之和等于5中一等獎，等于4中二等獎，等于3中三等獎.（Ⅰ）求中三等獎的概率；（Ⅱ）求中獎的概率.參考答案：兩個小球號碼相加之和等于3中三等獎，兩個小球號碼相加之和不小于3中獎，設(shè)“中三等獎”的事件為A，“中獎”的事件為B，從四個小球任選兩個共有（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3）六種不同的方法.

（Ⅰ）兩個小球號碼相加之和等于3的取法有2種：（0，3），（1，2）.故

------6分（Ⅱ）兩個小球號碼相加之和等于1的取法有1種：（0，1）；兩個小球號碼相加之和等于2的取法有1種：（0，2）.故

------------------13分21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)

(Ⅰ)當時，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性.（Ⅲ）若對任意及任意，恒有

成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：解：(Ⅰ)函數(shù)的定義域為.

當時，令得.

當時，當時，

無極大值.4分（Ⅱ）

5分

當，即時，

在上是減函數(shù)；

當，即時，令得或

令得

當，即時，令得或

令得

7分

綜上，當時，在定義域上是減函數(shù)；

當時，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當時，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，在上單調(diào)遞減，

當時，有最大值，當時，有最小值.

10分而經(jīng)整理得

由得，所以

12分略22.（本題滿分10分）一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學的費用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲蓄a元一年定期，若年利率為r保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到孩子18歲生日時，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為多少？參考答案：【解