什么是抽屜原理

什么是抽屜原理（1）舉例

桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜能夠放一個，有的能夠放兩個，有的能夠放五個，但最終我們會發(fā)現(xiàn)至少我們能夠找到一個抽屜里面至少放兩個蘋果。（2）定義

一般狀況下，把n＋1或多于n＋1個蘋果放到n個抽屜里，其中必定至少有一個抽屜里至少有兩個蘋果。我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理。學(xué)習(xí)總結(jié)二：

抽屜原理是什么

桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，我們會發(fā)現(xiàn)至少會有一個抽屜里面至少放兩個蘋果。這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”。抽屜原理的一般含義為：“如果每個抽屜代表一個集合，每一個蘋果就能夠代表一個元素，假如有n+1個元素放到n個集合中去，其中必定有一個集合里至少有兩個元素?！背閷显碛袝r也被稱為鴿巢原理。它是組合數(shù)學(xué)中一個重要的原理。第一抽屜原理

原理1：把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件。證明（反證法）：如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數(shù)至多是n×1，而不是題設(shè)的n+k（k≥1），故不可能。原理2：把多于mn（m乘以n）（n不為0）個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少于（m+1）的物體。證明（反證法）：若每個抽屜至多放進m個物體，那么n個抽屜至多放進mn個物體，與題設(shè)不符，故不可能。原理3：把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里有無窮個物體。原理1、2、3都是第一抽屜原理的表述。第二抽屜原理

把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m—1）個物體（例如，將3×5-1=14個物體放入5個抽屜中，則必定有一個抽屜中的物體數(shù)少于等于3-1=2）。在上方的第一個結(jié)論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當(dāng)于把367個東西放入366個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。在第二個結(jié)論中，不妨想象將5雙手套分別編號，即號碼為1，2，。5的手套各有兩只，同號的兩只是一雙。任取6只手套，它們的編號至多有5種，因此其中至少有兩只的號碼相同。這相當(dāng)于把6個東西放入5個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。抽屜原理的一種更一般的表述為：

“把多于kn+1個東西任意分放進n個空抽屜（k是正整數(shù)），那么必須有一個抽屜中放進了至少k+1個東西?！崩蒙鲜鲈砣菀鬃C明：“任意7個整數(shù)中，至少有3個數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)?！闭蛉我徽麛?shù)除以3時余數(shù)只有0、1、2三種可能，因此7個整數(shù)中至少有3個數(shù)除以3所得余數(shù)相同，即它們兩兩之差是3的倍數(shù)。如果問題所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述：

“把無限多個東西任意分放進n個空抽屜（n是自然數(shù)），那么必須有一個抽屜中放進了無限多個東西?！睂W(xué)習(xí)總結(jié)三：

抽屜原理

知識要點

抽屜原理又稱鴿巢原理，它是組合數(shù)學(xué)的一個基本原理，最先是由德國數(shù)學(xué)家狹利克雷明確地提出來的，因此，也稱為狹利克雷原理。把3個蘋果放進2個抽屜里，必須有一個抽屜里放了2個或2個以上的蘋果。這個人所皆知的常識就是抽屜原理在日常生活中的體現(xiàn)。用它能夠解決一些相當(dāng)復(fù)雜甚至無從下手的問題。原理1：把n+1個元素分成n類，不管怎樣分，則必須有一類中有2個或2個以上的元素。原理2：把m個元素任意放入n（n＜m＝個集合，則必須有一個集合呈至少要有k個元素。其中k＝（當(dāng)n能整除m時）

〔〕＋1（當(dāng)n不能整除m時）

（〔〕表示不大于的最大整數(shù)，即的整數(shù)部分）

原理3：把無窮多個元素放入有限個集合里，則必須有一個集合里內(nèi)含無窮多個元素。應(yīng)用抽屜原明白題的步驟

第一步：分析題意。分清什么是"東西"，什么是"抽屜"，也就是什么作"東西"，什么可作"抽屜"。第二步：制造抽屜。這個是關(guān)鍵的一步，這一步就是如何設(shè)計抽屜。根據(jù)題目條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，抓住最基本的數(shù)量關(guān)聯(lián)，設(shè)計和確定解決問題所需的抽屜及其個數(shù)，為使用抽屜鋪平道路。第三步：運用抽屜原理。觀察題設(shè)條件，結(jié)合第二步，恰當(dāng)應(yīng)用各個原則或綜合運用幾個原則，以求問題之解決。例1、教室里有5名學(xué)生正在做作業(yè)，這天只有數(shù)學(xué)、英語、語文、地理四科作業(yè)求證：這5名學(xué)生中，至少有兩個人在做同一科作業(yè)。證明：將5名學(xué)生看作5個蘋果

將數(shù)學(xué)、英語、語文、地理作業(yè)各看成一個抽屜，共4個抽屜由抽屜原理1，必須存在一個抽屜，在這個抽屜里至少有2個蘋果。即至少有兩名學(xué)生在做同一科的作業(yè)。例2、木箱里裝有紅色球3個、黃色球5個、藍色球7個，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出多少個球？解：把3種顏色看作3個抽屜

若要貼合題意，則小球的數(shù)目務(wù)必大于3

大于3的最小數(shù)字是4

故至少取出4個小球才能貼合要求

答：最少要取出4個球。例3、班上有50名學(xué)生，將書分給大家，至少要拿多少本，才能保證至少有一個學(xué)生能得到兩本或兩本以上的書。解：把50名學(xué)生看作50個抽屜，把書看成蘋果

根據(jù)原理1，書的數(shù)目要比學(xué)生的人數(shù)多

即書至少需要50+1=51本

答：最少需要51本。例4、在一條長100米的小路一旁植樹101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過1米。解：把這條小路分成每段1米長，共100段

每段看作是一個抽屜，共100個抽屜，把101棵樹看作是101個蘋果

于是101個蘋果放入100個抽屜中，至少有一個抽屜中有兩個蘋果

即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹

例5、11名學(xué)生到老師家借書，老師是書房中有A、B、C、D四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不一樣類的書，最少借一本

試證明：必有兩個學(xué)生所借的書的類型相同

證明：若學(xué)生只借一本書，則不一樣的類型有A、B、C、D四種

若學(xué)生借兩本不一樣類型的書，則不一樣的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種

共有10種類型

把這10種類型看作10個"抽屜"

把11個學(xué)生看作11個"蘋果"

如果誰借哪種類型的書，就進入哪個抽屜

由抽屜原理，至少有兩個學(xué)生，他們所借的書的類型相同

例6、有50名戶外員進行某個項目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝

試證明：必須有兩個戶外員積分相同

證明：設(shè)每勝一局得一分

由于沒有平局，也沒有全勝，則得分狀況只有1、2、3.。。49，只有49