清華第五數(shù)值第章課件

第四章數(shù)值積分和數(shù)值微分為什么要數(shù)值積分？要求被積函數(shù)f(x)?有解析表達(dá)式；?f(x)的原函數(shù)F(x)為初等函數(shù)．問題1)f(x)沒有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式

e.g.

x12345f(x)44.5688.52)f(x)有表達(dá)式，但原函數(shù)不是初等函數(shù)e.g.，它們的原函數(shù)都不是初等函數(shù)。2x

edx-ò解決辦法1)我們用不同的辦法近似可得到不同的積分公式。2）用簡單曲線的積分代替復(fù)雜曲線的積分。求積公式舉例1）梯形公式2）中矩形公式3）一般公式

求積節(jié)點(diǎn)，求積系數(shù)，也稱為節(jié)點(diǎn)的權(quán)，權(quán)僅與節(jié)點(diǎn)的選取有關(guān)，不依賴于被積函數(shù)的具體形式。這種數(shù)值積分方法稱為機(jī)械求積，特點(diǎn)是積分問題轉(zhuǎn)變?yōu)楸环e函數(shù)值的計(jì)算。求積公式的代數(shù)精度定義

若求積公式對所有次數(shù)不超過m的代數(shù)多項(xiàng)式都精確成立，而對于某個(gè)m+1次多項(xiàng)式不能精確成立，則稱此求積公式具有m次代數(shù)精度.上述定義等價(jià)于：若求積公式對f(x)=1,x,x2,…,xm均精確成立，而對f(x)=xm+1不精確成立,則稱此求積公式具有m次代數(shù)精度.求積公式的代數(shù)精度概念是衡量公式逼近好壞的標(biāo)準(zhǔn)之一.例1

判別下列求積公式的代數(shù)精度例2

試確定一個(gè)具有3次代數(shù)精度的公式解：由條件可得下列方程組例剖設(shè)例有求造積公純式求A0，A1，A2，使深其代傾數(shù)精睡度盡希量高垂，并河問此抬時(shí)求暫積公奏式的億代數(shù)氧精度解：詞（3券個(gè)未啦知系脹數(shù)需回三個(gè)姻方程恭）令求也積公大式分其別對f(x)淹=畢1、x、x2準(zhǔn)確趙成立拉。即解之夾得A0=A2=紛1/什3，A1=助4/崗3，即有又易蒙知求小積公勞式對f(x)疏=x3也準(zhǔn)趙確成扇立：但所以列該求真積公父式具蔥有3次代雖數(shù)精鉗度。容易止驗(yàn)證:梯形榮公式1次代并數(shù)精相度中矩近形公爛式1次代角數(shù)精敗度求積堆公式劇的構(gòu)侵造1）若應(yīng)已經(jīng)扶選定捆求積徒節(jié)點(diǎn)則解附線性宣方程醒組2）若路系數(shù)唯和節(jié)舊點(diǎn)都旬不確否定，韻則解孫關(guān)于鄰和銀的非抗線性散方程甜組。3）用個(gè)簡單劈燕函數(shù)謠的積潛分代蛾替被祥積函區(qū)數(shù)的電積分氏。定理求積異公式從至少赤具有n次代捕數(shù)精骨度的雀充分全必要找條件同是它宵是插傘值型李的。證明軍：1）2）求積垃公式蓮的余漏項(xiàng)，假收斂刷性，當(dāng)穩(wěn)定濾性若求胳積公膏式代潤數(shù)精吼度為艙，則秒可設(shè)求出K即可社。K不依配賴于恒函數(shù)f。令得到梯形黨公式避余項(xiàng)中矩眉形公荷式余冷項(xiàng)例：勿求纖余靜項(xiàng)解：1）確登定代械數(shù)精顛度是2.2）設(shè)3）令求得收斂絡(luò)性定朽義在中，穩(wěn)若則稱哨求積梅公式名是收翻斂的誦。穩(wěn)定除性定哄義設(shè)對任勁給逮若洲存在版，只格要就有則稱貪求積葬公式刑是穩(wěn)痰定的紹。定理墾：若負(fù)，塑則求改積公妄式穩(wěn)殊定。證明將區(qū)岸間[a,棉b]分成n等分,步長,特殊抗的求困積公本式——掠Ne老wt懂on暴-C脆ot刊es公式若記則于是中有草求積腫分公剛式(2轉(zhuǎn))當(dāng)n=1時(shí)，Ne民wt鋸on構(gòu)-C進(jìn)ot羽es公式(2君)為梯粒形公潛式當(dāng)n=２時(shí)餅，Ne肥wt寺on遙-C驚ot雞es公式(2砌)為辛覽普森煤（Si網(wǎng)mp而so月n）公停式Co每te繳s系數(shù)衫性質(zhì):(1農(nóng))對稱慈性,即(2塊)Co獸te柜s系數(shù)動(dòng)之和械等于1,即證明席：令諷代校人求芳積公烈式倆窮邊得條到。3）當(dāng)揉柯特誓思系累數(shù)出齊現(xiàn)負(fù)娃值。對于n階的Ne蛛wt緒on煩-C使ot卻es求積肺公式當(dāng)n為奇績數(shù)時(shí)品，至恩少具趁有n次代注數(shù)精惡度；瞞當(dāng)n為偶徒數(shù)時(shí)史，至壟少具拳有n+1次代數(shù)迅精度.因?yàn)榭急环e舉函數(shù)旺為奇灰函數(shù)床。梯形精公式惰的余泥項(xiàng)定理若f(x)C2[a,b],則梯紙形公吧式余北項(xiàng)為Si祥mp浴so垃n公式的余魄項(xiàng)定理若f(x)C4[a,b],則Si梯mp封so級n公式盈余項(xiàng)菊為證明凳：1）確挨定代尋數(shù)精怠度為3.2）令3）柯特盟思公垂式余克項(xiàng)例用梯妖形公亡式和Si會(huì)mp估so沾n公式焰計(jì)算購積分,并估黨計(jì)誤禁差.解薯記a=0蛛,b=1話,f(x)=e-x,則f微'(x)=嶼-e-xf'校'(x)=e-x,f'主''(x)=駕-e-x,f(4寶)(x)=e-x復(fù)合服求積落法當(dāng)積糟分區(qū)靠間較借大時(shí)慚，直躲接使叉用牛篩頓-柯特洲斯公詞式所涂得積超分近尚似值習(xí)的精生度是切很難墳得到難保證侮的。言因此炸在實(shí)鞠際應(yīng)陜用中斃，為緒了既載能提屈高結(jié)練果的滴精度剖，又切使算誦法簡厚便且楊易在哄計(jì)算泥機(jī)上總實(shí)現(xiàn)皂，往酒往采標(biāo)用復(fù)斷合求擱積的壩方法烈。將區(qū)毒間[a零,b者]適當(dāng)膀分割疏成若丹干個(gè)疫子區(qū)覺間，返對每融個(gè)子印區(qū)間使用糞低階存求積雪公式，構(gòu)挨成所趨謂的腔復(fù)合紐奉求積泄公式躲，這盲是提危高積逢分精訊度的盛一個(gè)曲常用啦的方茂法。復(fù)合輝梯形郵公式將區(qū)椅間[a,b]分成n等份框，其狀分點(diǎn)違為xi=a+ih(i=0傻,1嘩,2被,…n),步長h=(b-a)/n.在每牲個(gè)小褲區(qū)間[xk-幻玉1,xk]鞏(k=1肚,2啊,…n)上利用梯旬形公妻式則稱為復(fù)卵合梯錫形公替式復(fù)合廳梯形頂公式償?shù)恼`病差定理蕉：若,則證()由于f(x)C2[a,b]，利投用閉皂區(qū)間驢上連策續(xù)函局?jǐn)?shù)的船介值脆定理臨知存六在一獄點(diǎn)[a,b],使因?yàn)橐汕蠓e鳳系數(shù)融為正黑，所弄以復(fù)嶄合梯體形公雨式穩(wěn)亮定。復(fù)合袍辛甫異生公商式復(fù)合Si傘mp由so東n公式復(fù)合Si蘿mp看so堡n公式托的截漏斷誤拘差定理若f(x)C4[a,b],則可以刃看出介，復(fù)卡合Si巡壽mp窗so返n公式橋是收肥斂的羞。證明(貓)()實(shí)際吉上，越只要f(卷x)可積踢，就貍可得偶到收繪斂性賢。復(fù)合剖辛普雙森公部式計(jì)酒算穩(wěn)渾定。例：鼻用n=睬8的復(fù)合米梯形柴公式貿(mào)和復(fù)抄合Si忌mp衛(wèi)so努n公式餅計(jì)算解：=3.勵(lì)138逃98覺84爽94=3.麻14話15掃9250希2結(jié)論叫：相同把節(jié)點(diǎn)魔個(gè)數(shù)肯時(shí)，綢辛甫界生求碧積公丘式的衫精度巨更高第三枝節(jié)肢龍貝陪格(R陪om咱be酬rg要)算法一.梯形右法的由步長描逐次飼分半族算法將[a扔,b奴]分成n等分,有復(fù)著合梯星形公球式將[a足,b貌]分成2n等分,有復(fù)竹合梯伐形公被式即由以上遞推努公式獻(xiàn)可以哀看出樣，在分已經(jīng)吩算出Tn的基戀礎(chǔ)上點(diǎn)再計(jì)講算T2沃n時(shí)，匯只要園計(jì)算n個(gè)新衡分點(diǎn)郊上的勞函數(shù)氏值就劑行了霧。與滿直接化利用掛復(fù)合補(bǔ)梯形乒公式座求T2柔n相比狗較，咱計(jì)算接工作昆量幾且乎節(jié)幻玉省了銷一半。為編姜程方免便,常取,則有例:計(jì)算幅積分苗值k12345Tn0.93979330.94451350.94569090.94598500.9460596k678910Tn0.94607690.94608150.94608270.94608300.9460831不斷吧二分墓可得池下表尊：二分10次得間到的猾近似努值0.姑94稼60妨83導(dǎo)1具有7位有鉛效數(shù)艇字，許要計(jì)在算10汁25沿=靜+騾1個(gè)分棉點(diǎn)的縱值，秋計(jì)算拜量較吳大隸。外推琴技巧定理荒：設(shè)勢，濱則有其中鑒與遣無扇關(guān)。龍貝曾格算諷法算法臣過程［例贈(zèng)］用Ro板mb昨er鬧g公式恨計(jì)算血積分解：按Ro瘦mb施er征g公式的求谷積步坊驟進(jìn)屆行計(jì)衣算，毫結(jié)果哨如下軟：龍貝爸格算拔法例禍題龍貝懇格算茅法例多題(續(xù)1）龍貝某格算住法例濟(jì)題(續(xù)2）至此擁得，因此肌積分§3數(shù)值望微分其中h為一牌增量盼，稱糊為步段長。爽中心狐差商比公式曲實(shí)際閉上是治前兩叮種方雹法的誘算術(shù)織平均社，但貞是它夠的誤拘差階狼卻由O(逢h)提高哪到O(托h^茫2)。誤差蹄分析插值淡型求歷導(dǎo)公產(chǎn)式對于擱列表扮函數(shù)y=f(栗x).Xx_0x_1x_2…x_nyy_0y_1y_2…y_n運(yùn)用慰插值傭原理朋，可供以建柜立差婚值多私項(xiàng)式y(tǒng)=Pn(x)作為凱它的撓近似銳，由趨于多固項(xiàng)式夫求導(dǎo)涂比較蜘容易宣。取錘作為槳的近蛛似。但是悲即使f(驕x)與y=Pn賴(x)的值材相差替不大價(jià)，但鴿是導(dǎo)麻數(shù)的瞧近似磚值仍卸然可中能相英差很總大，鼻因此奴誤差魯分析蜂非常系重要間。對于染任意病給出亡的x，該乞項(xiàng)無園法估裙計(jì)，弱但是鞭對于集某個(gè)浴節(jié)點(diǎn)巷上的桐導(dǎo)數(shù)敬值，館第二鈔項(xiàng)為倍零。誤差民估計(jì)1.兩點(diǎn)內(nèi)公式2.三點(diǎn)君公式中心只差商常公式在實(shí)晌際應(yīng)猾用中雪常使畫用中慈點(diǎn)公贈(zèng)式。小從截虛斷誤危差的反角度備來看包，h越小誦誤差錢越小稻，但剃是從栽舍入滑誤差強(qiáng)的角卡度來墻看，h越小扇，分受子的稈有效故數(shù)位私越少責(zé)。因稍此在膠實(shí)際性應(yīng)用窄中常哥采用坦變步紡長的聞方法知，如敞果用艷某一攀步長距算出助的導(dǎo)闊數(shù)的認(rèn)近似覺值之鹿后變湊步長呆之后若再算卻一次豆，如趴果前然后兩沖次計(jì)句算的進(jìn)誤差泳已經(jīng)炮滿足究要求如