深入淺出數(shù)字信號處理（上部1-5章）

深入淺出數(shù)字信號處理上部（1-5章）目錄\h第1章數(shù)字信號處理概述\h1.1數(shù)字信號處理是什么\h1.1.1數(shù)字信號處理的興起\h1.1.2主要研究內(nèi)容\h1.1.3常用術語\h1.2為什么是數(shù)字信號處理\h1.2.1數(shù)字信號處理的優(yōu)點\h1.2.2數(shù)字信號處理的缺點\h1.3生活中的數(shù)字信號處理\h1.3.1移動通信\h1.3.2音樂休閑\h1.3.3健康檢查\h1.4觸摸數(shù)字信號處理大廈的基石\h1.4.1數(shù)字信號處理大廈的入口\h1.4.2理解數(shù)字信號處理的三把鑰匙\h1.5信號處理雜談：數(shù)字信號處理與數(shù)字信號處理器\h第2章離散時間信號\h2.1信號的基本概念\h2.1.1什么是信號\h2.1.2信號的分類\h2.2信號的時域描述\h2.2.1信號的時域表示\h2.2.2典型信號\h2.2.3信號的基本運算\h2.2.4一種特殊的信號\h2.3信號的頻域描述\h2.3.1離散時間傅里葉變換\h2.3.2典型信號的DTFT\h2.4從模擬信號到數(shù)字信號\h2.4.1采樣\h2.4.2量化\h2.4.3編碼\h2.5信號數(shù)字化過程中的參數(shù)選擇\h2.5.1抗混疊濾波器\h2.5.2采樣頻率\h2.5.3量化位數(shù)\h2.6從數(shù)字信號到模擬信號\h2.7信號處理雜談：香農(nóng)與奈奎斯特\h2.8本章小結\h第3章線性時不變系統(tǒng)\h3.1系統(tǒng)的基本概念\h3.1.1系統(tǒng)的定義\h3.1.2系統(tǒng)的分類\h3.1.3系統(tǒng)的互聯(lián)\h3.2LTI系統(tǒng)的時域描述\h3.2.1差分方程\h3.2.2單位沖激響應\h3.2.3兩類最常用的LTI系統(tǒng)\h3.3LTI系統(tǒng)的特征信號\h3.3.1復正弦信號\h3.3.2對單位沖激響應的再理解\h3.4LTI系統(tǒng)的分析\h3.4.1Z變換的定義\h3.4.2系統(tǒng)傳遞函數(shù)\h3.4.3零極圖\h3.4.4系統(tǒng)頻率響應\h3.4.5LTI系統(tǒng)的向量理解\h3.4.6兩種特殊LTI系統(tǒng)的分析\h3.5應用實例及其MATLAB實現(xiàn)\h3.6信號與系統(tǒng)的同一性\h3.7信號處理雜談：人體與線性系統(tǒng)\h3.8本章小結\h第4章信號與系統(tǒng)的相互作用\h4.1卷積的描述\h4.1.1卷積的定義\h4.1.2卷積的深入理解\h4.1.3卷積的邊界效應\h4.1.4從卷積的性質(zhì)看系統(tǒng)互聯(lián)\h4.1.5卷積的頻域描述\h4.2卷積的應用實例及其MATLAB實現(xiàn)\h4.3相關的描述\h4.3.1相關的定義\h4.3.2相關的深入理解\h4.3.3相關的頻域描述\h4.3.4從相關的角度看噪聲\h4.3.5從相關的角度看最佳接收系統(tǒng)\h4.4相關的應用實例及其MATLAB實現(xiàn)\h4.5卷積與相關的比較\h4.6信號處理雜談：牛頓與譜\h4.7本章小結\h第5章離散傅里葉變換\h5.1DFT的定義\h5.2DFT的深入理解\h5.2.1DFT結果頻率的理解\h5.2.2DFT結果幅度和相位的理解\h5.3DFT的特性\h5.3.1周期性\h5.3.2循環(huán)卷積特性\h5.4常用信號的DFT\h5.4.1單位沖激信號\h5.4.2復正弦信號\h5.4.3脈沖信號\h5.5DFT的卷積理解\h5.6DFT與其他常用變換之間的關系\h5.6.1各種傅里葉分析之間的簡要關系\h5.6.2DFT與DTFT\h5.7現(xiàn)實應用中應考慮的問題\h5.7.1泄漏\h5.7.2加窗\h5.7.3分辨率\h5.7.4補零\h5.7.5增益\h5.8應用實例及其MATLAB實現(xiàn)\h5.8.1雷達回波的頻譜分析\h5.8.2用DFT計算卷積\h5.9信號處理雜談：傅里葉的貢獻\h5.10本章小結第1章數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理（DigitalSignalProcessing,DSP）是當前科學和工程領域最為熱門的技術之一，廣泛應用于通信、雷達、聲納、醫(yī)學成像和音視頻壓縮等許多領域，對人們的生產(chǎn)和生活帶來了許多革命性的變化和影響。本章主要是概述性地介紹了數(shù)字信號處理的一些基本概念和基本框架。1.1節(jié)簡略地解釋了數(shù)字信號處理是什么，包括其歷史發(fā)展的回顧、主要研究內(nèi)容及常用術語。1.2節(jié)主要比較了數(shù)字信號處理相對模擬信號處理的優(yōu)缺點。1.3節(jié)給出了數(shù)字信號處理的主要應用領域。1.4節(jié)介紹了數(shù)字信號處理的理論基礎及理解數(shù)字信號處理的幾種有效方法。1.5節(jié)以雜談的形式，解釋了數(shù)字信號處理和數(shù)字信號處理器的聯(lián)系與區(qū)別。1.1數(shù)字信號處理是什么對于剛接觸數(shù)字信號處理的人來說，第一個問題很自然地就是問：數(shù)字信號處理是什么？為簡要回答這個問題，先來看看數(shù)字信號處理是怎樣興起的，然后再大致地介紹數(shù)字信號處理研究的主要內(nèi)容。為方便后續(xù)的討論，數(shù)字信號處理中的一些最常用的術語也在本節(jié)進行了簡要的定義。1.1.1數(shù)字信號處理的興起任何攜帶信息的物理量都可稱為信號。自然界中充滿了信號，其中：有些信號是自然的，有些信號是人為的，有些信號是必需的（如語言信號），有些信號是讓人愉悅的（如音樂信號），當然還有些信號是不需要的，甚至是有害的（如飛機起飛時產(chǎn)生的巨大的轟鳴）。因此，從一個錯綜復雜的信號中提取或增強有用的信息，同時抑制其中的有害信息，是信號處理的一種最為直接而簡單的表述形式。更一般地說，信號處理是為提取、增強、存儲和傳輸有用信息而設計的一種運算。信號處理同人類的歷史一樣悠久?？梢哉f，自從有了人類就有了信號處理，千萬年來人類的交流實際上就是信號處理的過程。信號處理的對象就是客觀世界，信號處理接收傳感器是眼耳鼻舌等感官，信號處理“終端”就是人類大腦。但直到17世紀隨著微積分的發(fā)明，人們才開始有意識地用數(shù)學的方式描述信號處理問題。或者說，從那時開始建立信號處理的基本模型和框架。隨著工業(yè)革命的到來和社會的不斷發(fā)展，人們逐步搭建了實用的信號處理系統(tǒng)。直到20世紀50年代，實際的信號處理系統(tǒng)基本上都是模擬系統(tǒng)，實現(xiàn)這些模擬系統(tǒng)多是采用電子線路，甚至還有用機械裝置的。之后，在各種合力的推動下，數(shù)字信號處理技術才開始興起，并不斷地向廣度和深度發(fā)展，成為當今最重要、最熱門的技術之一。概括地講，推動數(shù)字信號處理興起和發(fā)展的主要動因包括以下幾方面。①第一大動因，也是最重要和最基礎的動因是計算機的發(fā)明?？梢哉f，數(shù)字信號處理的任務就是“用計算機來處理現(xiàn)實世界中的信號”，正是計算機的出現(xiàn)，才使得“用DSP技術來感知世界”成為可能。在計算機剛剛問世的20世紀50年代，不管是在商業(yè)場合還是科學實驗室，計算機能力雖然相當有限，但其價格卻異常昂貴。因此，數(shù)字信號處理最先在如下一些關鍵的領域得到應用和發(fā)展：事關國防安全的雷達和聲納領域、能夠帶來巨大經(jīng)濟效益的石油勘探領域、數(shù)據(jù)獲取極為困難的太空探索領域及事關生命的醫(yī)學成像領域。同樣還是在50年代，計算機對信號處理的影響以另外一種方式顯現(xiàn)——計算機仿真。也即是說，利用計算機的靈活性，在一種新的信號處理算法或系統(tǒng)在工程化之前先進行計算機的仿真，確認滿足要求之后再用模擬器件實現(xiàn)。因為在那個時代，模擬器件在處理速度、成本和體積大小方面較數(shù)字器件都有非常明顯的優(yōu)勢。②第二大動因是FFT算法的出現(xiàn)。FFT算法也稱為快速傅里葉變換算法。顧名思義，這是一種計算傅里葉變換的高效算法。為什么這樣一種快速算法具有這么重大的影響呢？實際上，早在18世紀，人們就認識到信號在時域和頻域展現(xiàn)不同的特性。有些信號在時域的特征非常清楚，有些信號則在頻域更容易被理解。傅里葉變換就是信號從時域通向頻域的橋梁。但在很長時間內(nèi)，人們往往還是只能在時域對信號進行處理。因為通常得到的信號絕大多數(shù)是時域信號，而傅里葉變換的運算量又實在是太大。也即是說，傅里葉變換的處理速度成為信號處理的一個瓶頸。FFT算法將傅里葉變換的處理速度提高了幾個數(shù)量級，這使得一些復雜信號處理算法的實現(xiàn)在其處理時間內(nèi)允許與系統(tǒng)之間進行在線交互試驗。再者，F(xiàn)FT算法事實上可以用專用數(shù)字硬件來實現(xiàn)，這樣從前很多曾被認為是不切實際的信號處理算法開始顯露出具體實現(xiàn)的可能。時至今日，絕大部分的實時處理算法是以FFT為基礎的，而且FFT算法的運行時間也成為衡量數(shù)字信號處理器等專用芯片性能的重要標準。由此不難理解FFT算法對推動數(shù)字信號處理發(fā)展的革命性、歷史性貢獻。③第三大動因在于微電子學和半導體工業(yè)的迅猛發(fā)展。以DSP芯片為代表的微處理器的發(fā)明及其在數(shù)量上的激增為數(shù)字信號處理的實現(xiàn)鋪平了道路。1958年美國德州儀器（TI）公司的杰克·基爾比研制成功歷史上第一個集成電路，由此揭開了人類“數(shù)字革命”的大幕?；鶢柋纫惨虼双@得2000年的諾貝爾物理學獎。為表彰他在數(shù)字信號處理方面的杰出貢獻，美國國際電子與電氣工程師協(xié)會（IEEE）將該協(xié)會信號處理方面的最高獎以他的名字命名。從1979年貝爾實驗室第一款單芯片數(shù)字信號處理器開始，數(shù)字信號處理的專用芯片隨著集成電路技術的發(fā)展也得到了飛速發(fā)展，這使得許多復雜的數(shù)字信號處理算法能夠在廉價高速的專用芯片上很方便地實現(xiàn)，由此也反過來推動了數(shù)字信號處理理論和算法研究的進一步深入，并逐步滲透到生產(chǎn)和生活的各個方面。1.1.2主要研究內(nèi)容前面已經(jīng)提到，數(shù)字信號處理就是用“數(shù)字計算機來處理現(xiàn)實世界中的信號”。國際上，一般把1965年快速傅里葉變換（FastFourierTransform,FFT）算法的問世作為數(shù)字信號處理這一新學科的開端。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，數(shù)字信號處理自身已基本上形成一套較為完整的體系。概括地說，數(shù)字信號處理的主要研究內(nèi)容包括如下10個方面：①信號的采集，包括模／數(shù)變換技術、采樣定理等。②離散時間信號的分析，包括時域及頻率分析、離散傅里葉變換等。③離散系統(tǒng)的分析，包括差分方程、單位沖激響應、頻率響應、Z變換等。④信號處理中的快速算法，包括快速傅里葉變換、快速卷積與相關等。⑤數(shù)字濾波技術，包括各種濾波器的設計與實現(xiàn)等。⑥信號的建模，包括MA、AR及ARMA等各種模型。⑦信號的傳輸與存儲，包括信號的各種調(diào)制方式、壓縮算法等。⑧信號的檢測與估計，包括信號的參數(shù)估計、波形估計、各種檢測算法等。⑨數(shù)字信號處理的實現(xiàn)，包括軟件實現(xiàn)與硬件實現(xiàn)。⑩數(shù)字信號處理的應用。當然，數(shù)字信號處理的理論體系并不僅僅局限于上述10個方面。因為數(shù)字信號處理是一門實踐性的學科，伴隨著電子技術、通信技術及計算機技術的飛速發(fā)展，數(shù)字信號的理論也在不斷豐富和完善，各種新算法和新理論正在不斷推出。但無論理論與技術如何發(fā)展，對于試圖了解數(shù)字信號處理的人來說，有一些基礎知識是必需的，比如說信號的采集、離散時間及系統(tǒng)的分析、離散傅里葉變換及快速傅里葉變換及有限沖激響應（FIR）濾波器與無限沖激響應（IIR）濾波器等。作為一本數(shù)字信號處理入門級的讀物，這些內(nèi)容正是本書要討論的主要問題。而作為一本應用型的圖書，本書對數(shù)字信號處理的應用也給予了大量的關注，這也與數(shù)字信號處理作為應用驅動型的學科的內(nèi)核是一致的。1.1.3常用術語如同別的學科一樣，數(shù)字信號處理也有很多自己的術語。數(shù)字信號處理中的很多術語與模擬信號處理中的術語相差不大。在了解數(shù)字信號處理之前，應有一定的信號與系統(tǒng)方面的基本知識。本書對模擬信號處理的內(nèi)容不作介紹，但為了方便后續(xù)的討論，這里先簡單介紹一些常用術語。①信號：攜帶有信息的物理量或物理現(xiàn)象。②系統(tǒng)：能夠完成某些特定功能的整體。在信號處理的背景下，系統(tǒng)定義為對輸入信號進行某種處理、實現(xiàn)某種功能的物理結果。此時的系統(tǒng)也稱為信號處理系統(tǒng)。③濾波器：通常情況下與信號處理系統(tǒng)等價。④頻率：指的是信號每單位時間變化的次數(shù)，單位為赫茲（Hz）。頻率是描述信號周期性的物理量。與時間一樣，是信號處理中最基本的一個物理量。⑤時域：以時間為自變量來描述信號或系統(tǒng)，此時的分析稱為時域分析。⑥頻域：以頻率為自變量來描述信號或系統(tǒng)，此時的分析稱為頻域分析。時域與頻域是通過傅里葉變換聯(lián)系起來的。⑦頻譜：信號的頻域表示也稱為頻譜，它描述了信號各頻率分量的幅度及相位。某個具體頻率點的頻譜也稱為譜線。1.2為什么是數(shù)字信號處理我們知道，現(xiàn)實世界的絕大多數(shù)信號都是模擬信號，比如語音、溫度、電磁波、腦電圖、心電圖等。為了要對這些信號進行數(shù)字化處理，必須要先將現(xiàn)實世界的模擬信號轉換成數(shù)字信號，然后再進行濾波、頻譜分析等各種各樣的數(shù)字處理。在處理完成之后，還可能要再將數(shù)字信號還原成模擬信號。比如在激光唱盤播放系統(tǒng)中，先要將聲音信號變成數(shù)字信號存儲在激光唱盤上，在回放的時候又要重新還原成模擬信號。典型的數(shù)字信號處理系統(tǒng)框圖如圖1.1所示。模／數(shù)轉換器（AnalogtoDigitalConverter,ADC）將模擬信號變?yōu)閿?shù)字信號，數(shù)字信號處理系統(tǒng)完成數(shù)字信號的各種處理，輸出的數(shù)字信號經(jīng)數(shù)／模轉換器（DigitaltoAnalogConverter,DAC）還原成模擬信號。在有的應用場合，無需輸出模擬信號，這時可以省略DAC。為了保證信號在經(jīng)過ADC轉換后沒有混疊，還要加上一個抗混疊濾波器?；陬愃频牡览?，在DAC之后要加上一個抗鏡像濾波器。圖1.1數(shù)字信號處理基本流程1.2.1數(shù)字信號處理的優(yōu)點因為涉及信號要不斷在模擬域與數(shù)字域之間轉換，聽起來用數(shù)字信號處理系統(tǒng)還挺麻煩，為什么不直接采用模擬信號處理的方法呢，這樣還可以省去信號在模擬域與數(shù)字域之間的轉換？在電子技術發(fā)展的早期，確實都是采用模擬信號處理的方法。那么為什么現(xiàn)在卻是數(shù)字信號處理大行其道？數(shù)字信號處理的優(yōu)勢到底在哪里呢？1．靈活性高當模擬系統(tǒng)的功能和性能發(fā)生改變時，必須重新進行系統(tǒng)設計，至少需要改變系統(tǒng)中的某些器件或參數(shù)，然后再重新裝配和調(diào)試，這是非常費時費力的。數(shù)字信號處理系統(tǒng)的性能取決于系統(tǒng)參數(shù)，這些參數(shù)存儲在存儲器中，很容易被改變。通過改變系統(tǒng)參數(shù)，可以很容易地改變系統(tǒng)性能，甚至把系統(tǒng)變成另外一種完全不同的系統(tǒng)。也就是說，數(shù)字信號處理系統(tǒng)可以在不改變硬件平臺的情況下，實現(xiàn)完全不同的系統(tǒng)功能。這是模擬信號處理系統(tǒng)所無法比擬的。2．可重復性好數(shù)字系統(tǒng)本身就具有很好的可重復性。兩臺字長相同的計算機，在任何不同的時間，計算同一個數(shù)學模型，得到的結果一定是一樣的。但用同樣的信號送入兩個配置相同的模擬系統(tǒng)，輸出的結果是不會一樣的。即便是對同一個模擬系統(tǒng)，在不同的時間或不同的環(huán)境下進行相同的處理，其結果也是不一樣的，而數(shù)字信號處理系統(tǒng)則無此問題。3．性能優(yōu)良數(shù)字系統(tǒng)可以方便地對數(shù)字信號進行存儲和運算，因此系統(tǒng)可以獲得高性能指標。這一優(yōu)點使得數(shù)字信號處理不再只限于對模擬系統(tǒng)的逼近上，它還可以完成許多模擬系統(tǒng)無法完成的任務。比如，有限長沖激響應數(shù)字濾波器可以實現(xiàn)精確的線性相位特性，這在模擬系統(tǒng)中是很難達到的。再比如對于應用日益廣泛的自適應算法，因為需要不斷改變系統(tǒng)的參數(shù)，這在模擬信號處理系統(tǒng)中是不可能完成的任務。4．穩(wěn)定性好模擬電路中的電阻、電容、電感和運算放大器等器件的特性，都會隨著環(huán)境的改變而改變，也會隨著時間的改變而改變。也就是說，當時間改變和環(huán)境改變時，模擬系統(tǒng)的性能就會發(fā)生改變，而且可能是比較大的改變。與此相比，數(shù)字系統(tǒng)的穩(wěn)定性要好得多。5．抗干擾性能好信號在處理和傳輸過程中不可避免要受到噪聲的干擾。要在被干擾的模擬信號中完全去除噪聲非常困難，甚至是不可能的。數(shù)字信號抗干擾性能大大優(yōu)于模擬信號。以“0”和“1”所表征的數(shù)字信號也會受到噪聲的干擾，但只要能夠正確地識別“0”和“1”，并將其再生，則可以完全消除噪聲的影響。此外，迅速發(fā)展的各種數(shù)字糾錯編解碼技術，能夠在極為復雜的噪聲環(huán)境中，甚至信號完全被噪聲所淹沒的情況下，正確地識別和恢復原有的信號，抗干擾能力很強。6．易于大規(guī)模集成隨著微電子科學與技術的發(fā)展，集成電路雖然不再是數(shù)字電路的專利。但從可選擇的種類、集成度、功能與性能、性價比等諸多方面而言，模擬集成電路和模擬／數(shù)字混合集成電路還是遠不能和超大規(guī)模數(shù)字集成電路相比。建立在超大規(guī)模集成電路基礎上的數(shù)字信號處理系統(tǒng)，具有體積小、質(zhì)量輕、成本低、可靠性強等特點，從而具有更廣闊的應用空間。1.2.2數(shù)字信號處理的缺點由前面所述的這些優(yōu)點可以看出，數(shù)字信號處理得到迅速的發(fā)展是有其內(nèi)在原因的。但這是否是說模擬信號處理就一無是處，很快要被時代所拋棄呢？顯然也不是這樣的，相比模擬信號處理，數(shù)字信號處理也有一些自身的缺點。1．處理帶寬比較小前面已經(jīng)提到，自然界的大多數(shù)信號是模擬信號，在進行數(shù)字處理之前先要經(jīng)過A/D變換。由于大帶寬的ADC一方面是價格非常昂貴，另外一方面是分辨率不足，這使得數(shù)字信號處理的帶寬相對較小。而有些實際的信號帶寬非常大，這時采用模擬信號處理效果可能更好。比如說在射頻端，由于信號的帶寬太大，射頻端的處理（如混頻、解調(diào)等）都是通過模擬器件來處理完成的。2．動態(tài)范圍不夠大動態(tài)范圍是系統(tǒng)能通過的最大信號與系統(tǒng)內(nèi)在噪聲之比。以數(shù)字系統(tǒng)和模擬系統(tǒng)同樣完成放大運算為例來比較兩者的動態(tài)范圍。如圖1.1所示，數(shù)字系統(tǒng)的前端為ADC，ADC的動態(tài)范圍決定了整個數(shù)字系統(tǒng)的動態(tài)范圍。常用ADC的量化位數(shù)為12位，它能表示的最大數(shù)為4095，量化噪聲的均方根一般為0.29。于是這個模／數(shù)轉換器的動態(tài)范圍約為14000。比較而言，一個標準的運算放大器飽和電壓為20V，內(nèi)部噪聲約為2μV，其動態(tài)范圍為一千萬。模擬系統(tǒng)的動態(tài)范圍遠大于數(shù)字系統(tǒng)。有時候為了分析方便，動態(tài)范圍也定義為系統(tǒng)能通過的最大信號與最小信號之比。以這個定義來衡量，模擬系統(tǒng)同樣明顯優(yōu)于數(shù)字系統(tǒng)。3．處理速度有待提高很多的應用場合對信號處理的實時性要求非常高。數(shù)字信號處理本質(zhì)上是通過計算來實現(xiàn)的。盡管數(shù)字信號處理系統(tǒng)的速度在很快地提高，但總會在很多情況下不能達到實時的要求；而模擬信號處理系統(tǒng)則從根本上說是實時的。同樣由于處理速度的原因，如果前端的ADC采樣頻率太高的話，那么在實時系統(tǒng)中也會由于來不及處理而導致數(shù)據(jù)的擁塞。1.3生活中的數(shù)字信號處理了解了數(shù)字信號處理的基本研究內(nèi)容及數(shù)字信號處理的優(yōu)點之后，對于剛接觸信號處理的人來說，很自然地還會問：信號處理有哪些應用呢？離我們的實際生活有多遠？表1.1簡要列出了數(shù)字信號處理的一些應用領域。表1.1數(shù)字信號處理應用舉例當然還有很多的應用在表1.1中并沒有列出。即便是從表1.1所列出的有限應用來看，數(shù)字信號處理離我們的生活很近。下面舉幾個日常生活中觸手可及的具體應用，來感性地認識數(shù)字信號處理。1.3.1移動通信我們都知道，人類是群居動物，除了最基本的衣食住行，人們還需要不斷地與外界和他人進行聯(lián)系和溝通，這就是通信。在現(xiàn)代社會，常用的通信工具包括：采取有線通信方式的固定電話、采用無線通信方式的電臺及綜合應用無線和有線通信方式的移動電話等。特別是現(xiàn)在，移動電話已成為必不可少的工具，相應地，移動通信也成為目前世界上增長最快的領域。數(shù)字信號處理是使移動電話革命成為可能的關鍵技術之一。先來看移動通信中的第一項數(shù)字信號處理技術：數(shù)字調(diào)制。在移動通信中，主叫方的手機首先是向附近的基站發(fā)送信息，基站將此信息通過控制中心發(fā)送到被叫方附近的基站，最后再傳送到被叫方的手機中。以語音通信為例，人類能聽得見的聲音頻率范圍是20～20000Hz，但這個頻率范圍的信號傳播距離很近，如果手機將人們的聲音信號變成對應頻率的電信號后直接發(fā)送的話，可能根本就到不了基站。這時候，必須要對聲音信號進行調(diào)制，使其變?yōu)檫m合于無線傳輸?shù)男盘栃问?。換句話說，調(diào)制就是把信息基帶信號變?yōu)檫m合傳輸?shù)母哳l帶通信號的處理過程。實際上，調(diào)制是各種通信都必不可少的最基本內(nèi)容，但不同的通信系統(tǒng)和通信環(huán)境有不同的調(diào)制和解調(diào)技術。移動通信的通信條件和通信環(huán)境可以說是各種通信方式中最苛刻、最惡劣的，這就要求使用先進的數(shù)字調(diào)制技術，能在低接收信噪比條件下提供低誤比特率解調(diào)性能，還要使發(fā)射頻譜盡量窄，并能提供較高的傳輸速率。在移動通信中，由于移動電話操作的不利環(huán)境，常常還會遇到多路徑傳播的問題。所謂的多徑是指無線電信號從發(fā)射天線經(jīng)過多個路徑抵達接收天線的傳播現(xiàn)象。比如說基站發(fā)出的信號有一部分是直接到達移動電話；另外有一小部分可能經(jīng)過了某個高層建筑，然后再經(jīng)反射后才到達移動電話，這在高樓林立的現(xiàn)代都市是非常普遍的情況。由于從基站到移動電話之間的信號經(jīng)過了多條路徑傳播，不同路徑的信號在移動電話中疊加之后，其幅度和相位起伏會比較大，影響通信的質(zhì)量。具體情況則取決于多徑的特性和移動電話的運動。多徑傳播的解決依靠的是另一種數(shù)字信號處理技術：數(shù)字均衡。通常的做法是發(fā)射一個26位長的已知序列以規(guī)則間隔發(fā)射，在接收機末端，均衡器使用訓練序列調(diào)整數(shù)字濾波器的系數(shù)來估計多徑的特性，在此基礎上來消除數(shù)據(jù)多路徑的影響。回聲消除是數(shù)字信號處理在移動通信中的另外一個重要應用。很多朋友可能有過這樣的體會，在打電話的過程中，自己能從手機中聽到自己剛才所說的話，這就是回聲。實際上，在固定電話中，回聲的問題同樣存在。造成回聲的原因很多，比如說手機設計過程中收發(fā)隔離度不好會導致回聲，線路繁忙也可能會造成回聲。在電信網(wǎng)絡中，各種原因造成的回聲通常可分為電氣回聲和聲學回聲。對人耳來說，如果延時時間超過10ms，就能明顯地感覺到回聲的存在，從而導致通話質(zhì)量下降。如何降低或消除回聲呢？通常的做法是利用一個回聲估計器監(jiān)視接收路徑，并動態(tài)構建一個與回聲產(chǎn)生線路數(shù)學模型有關的濾波器。這個濾波器與接收路徑上的話音流進行卷積，得到一個回聲的估計值。疊加有回聲的有用信號通過一個減法器減掉回聲的估計值，就可以從發(fā)送路徑線路中減去回聲的線性部分。通過不斷調(diào)整濾波器系數(shù)，可以使回聲的估計值收斂于回聲，也就是達到消除回聲的目的。1.3.2音樂休閑音樂改變生活，千百年來音樂一直就是人們休閑娛樂的一項主要內(nèi)容。當然不僅如此，音樂還能凈化心靈，提升修養(yǎng)，甚至在某些特定的場合還能激發(fā)出無以倫比的力量。從黑膠薄膜唱片到盒式錄音機，從隨身聽到CD唱機，人們能很容易感覺到的是科技的進步目不暇接地改變了人們的聆聽方式。人們不太能輕易感覺到的是數(shù)字信號處理在其中發(fā)揮的巨大作用。下面就以CD唱機為例來認識數(shù)字信號處理在其中的應用。聲音是連續(xù)變化的信號，即模擬信號，在制作CD唱片的過程中，首先是要把模擬信號轉換成數(shù)字信號。人耳能聽到的聲音信號頻率范圍是20～20000Hz，為了避免高于20000Hz的高頻信號干擾采樣，在進行采樣之前，需要對輸入的聲音信號進行濾波。考慮到濾波器在20000Hz的地方大約有10％的衰減，所以可以用22000Hz的2倍頻率作為聲音信號的采樣頻率。有的音頻發(fā)燒友可能會要問，CD唱片的采樣率不是44100Hz嗎？確實是的，按上面的計算應該是44000Hz，但是在實際中為了能夠與電視信號同步，PAL電視的場掃描為50Hz，NTSC電視的場掃描為60Hz，所以取50和60的整數(shù)倍，選用了44100Hz作為激光唱盤聲音的采樣標準。聲音轉換成用“1”和“0”表示的數(shù)字信號之后，并不是直接把它們記錄到盤上。物理盤上記錄的數(shù)據(jù)和真正的聲音數(shù)據(jù)之間需要做變換處理，這種處理統(tǒng)稱為通道編碼。通道編碼不只是光盤需要，但凡在物理線路上傳輸?shù)臄?shù)字信號都需要進行通道編碼。在激光唱盤中，常用的通道編碼有RS編碼和EFM編碼。經(jīng)過通道編碼后的數(shù)字信號稱為信道比特流，在進一步處理后用來控制激光波束，使數(shù)字信息記錄到正在旋轉的唱盤的光敏層上。利用照相的顯影過程在主盤上產(chǎn)生凹痕圖案，有凹痕的表示“1”，沒有凹痕的表示“0”。這樣就將聲音記錄在唱盤上了。在CD播放器的重放過程中，為了讀出記錄的信息，當唱盤以8轉／秒和大約3.5轉／秒之間的速度旋轉時，唱盤上的軌道以1.2m/s的恒定速度進行光學掃描。來自唱盤上的數(shù)字信息首先被解調(diào)，然后對數(shù)據(jù)進行檢測，看是否有錯誤。制造上的缺陷、損壞、指印或者唱盤上的灰塵都有可能引起錯誤。如果有錯誤的話，則盡可能加以校正；如果錯誤是不可校正的，則通過用鄰近的正確抽樣值經(jīng)內(nèi)插來取代錯誤的值；如果錯誤不止一個采樣值，則將其設為0（靜音）。在誤差校正或者隱藏以后，得到的數(shù)據(jù)是一串16位的字，每一個字表示一個音頻信號的抽樣值。這些抽樣值可以直接送往16位的數(shù)／模轉換器（DAC），然后進行模擬的低通濾波再驅動揚聲器或音響。然而這對模擬器的性能要求非常高，實現(xiàn)非常困難。為了避免這一點，通常是讓數(shù)字信號通過工作在音頻抽樣頻率44.1kHz的4倍的數(shù)字濾波器，從而得到進一步的處理。增加抽樣頻率的效果就是使DAC的輸出更加光滑，從而降低對后續(xù)模擬濾波器的要求。應用數(shù)字濾波器能夠保證相位的線性性，減少交叉調(diào)制的機率，從而得到一個具有隨時鐘頻率變化特性的濾波器，使得音樂播放的效果對唱盤的旋轉速度不敏感。1.3.3健康檢查隨著社會的發(fā)展，生活水平的提高，人們越來越注重健康了，定期或者經(jīng)常性的體檢即是其具體的表現(xiàn)之一。在體檢中，有很多項目主要是依靠醫(yī)療電子設備來完成的，比如B超、心電圖、X光機等。在這些醫(yī)療電子設備的背后，幾乎都活躍著數(shù)字信號處理的身影。這里以心電圖檢查為例來介紹數(shù)字信號處理在醫(yī)療方面的應用。心電圖檢查是體檢中最經(jīng)常的項目了，可以說做過體檢的人都做過心電圖檢查。整個的過程很簡單，躺在床上，醫(yī)生拿幾個吸球吸在胸部，幾個夾子夾住手腕和踝部，打開檢查儀，過幾十秒就可以了。別看心電圖做起來很簡單，但作用可不簡單，在冠心病、心絞痛、心肌梗死、心律失常的診斷中有確診或者非常大的幫助診斷的作用。心電圖指的是心臟在每個心動周期中，由起搏點、心房、心室相繼興奮，伴隨著心電圖生物電的變化，通過心電描記器從體表引出多種形式的電位變化的圖形（簡稱ECG）。由于人體的心電信號是低頻微弱信號，因而干擾非常敏感。最主要的干擾來自電源頻率所在的50Hz干擾，也稱為50Hz工頻干擾，它會使系統(tǒng)的信噪比下降，甚至會淹沒微弱的有用心電信號。因此，設計數(shù)字濾波器消除工頻干擾是心電圖檢測的最重要而且最基礎的工作之一。除了在時域觀察和分析，還經(jīng)常要將心電圖信號進行頻譜分析。心電圖信號不同的頻率成分都有其確切的生理意義，表征了人體的健康機能，選取不同頻段的信號進行不同的病理分析。比如，研究表明，心率變異信號的頻率范圍為0～0.5Hz。低頻心率變異信號（0.04～0.15Hz）反映了交感神經(jīng)的活動情況，高頻心率變異信號（0.15～0.5Hz）反映了迷走神經(jīng)的調(diào)節(jié)情況。通過對心電圖信號不同頻率成分的研究，可以很好地檢查人體潛在的一些不健康因素，對盡早發(fā)現(xiàn)并預防多種疾病有重要的意義。1.4觸摸數(shù)字信號處理大廈的基石如果把數(shù)字信號處理的體系比作一棟摩天大樓的話，那么這棟大樓的基石是什么？它的入口在哪里？是否有萬能的鑰匙打開各個房間的小門？本節(jié)將簡要介紹經(jīng)典數(shù)字信號處理的兩大基礎及理解數(shù)字信號處理的三把鑰匙。1.4.1數(shù)字信號處理大廈的入口以FFT算法的出現(xiàn)為標志，數(shù)字信號處理作為一門獨立的學科開始登上科學的舞臺。其后在通信、雷達、聲納、語音、圖像、地震、航天及生物醫(yī)學工程等許多應用領域數(shù)字化處理需求的推動下，伴隨著微電子學系統(tǒng)復雜性和先進程度地不斷提高，數(shù)字信號處理的理論和實現(xiàn)都取得了飛躍式的發(fā)展，并且反過來以自己的方式推動著某些應用領域的革命性變化。比如說在通信領域，數(shù)字信號處理技術、微電子技術和光纖傳輸技術的結合，正以一種真正革命的方式改變著通信系統(tǒng)的面貌。經(jīng)過近半個世紀的蓬勃發(fā)展，數(shù)字信號處理已經(jīng)建成了一座高聳入云天的摩天大廈，其包涵的內(nèi)容之龐雜、算法之豐富、應用之廣泛，即便是最優(yōu)秀的信號處理專家，還難以窺探其全貌，更何況還在信號處理大廈外躑躅徘徊、尋找大門的信號處理新人。透過信號發(fā)展的歷史，從18世紀的熱傳導到傅里葉分析的誕生，從20世紀五六十年代的航空航天到數(shù)字信號處理學科的建立，從20世紀80年代的通信到數(shù)字信號處理的迅猛發(fā)展，數(shù)字信號處理處理的每一步跨越發(fā)展都緊扣著那個時代科學發(fā)展的脈搏。由此我們也有理由相信，現(xiàn)在生物技術的廣泛應用同樣會引領著數(shù)字信號處理繼續(xù)昂首向前。面對這么一座宏偉的數(shù)字信號處理大廈，想要躋身其內(nèi)的人們不禁要問，這座大廈的入口在哪里呢？我們能夠進得去嗎？答案是肯定的。雖然數(shù)字信號處理是一個不斷更新和飛速發(fā)展的領域，但是它的基礎已經(jīng)日臻完善。構筑經(jīng)典數(shù)字信號處理的兩大基石是線性時不變系統(tǒng)和高斯白噪聲，由此出發(fā)，可以逐步掀開卷積、相關、濾波和離散傅里葉變換等數(shù)字信號處理基礎理論的神秘面紗，為理解數(shù)字信號處理的廣泛應用提供必要的知識，并為將來在數(shù)字信號處理的發(fā)展中大展宏圖奠定堅實的基礎，這就是本書的目標和任務。1.4.2理解數(shù)字信號處理的三把鑰匙在數(shù)字信號處理大廈中，有許許多多的小房間，有的門上寫著“DFT”，有的門上寫著“濾波”，有的門上寫著“卷積”，有的門上寫著“相關”，等等。每一個房間都藏著知識的秘密，每一個房間都要用屬于自己的鑰匙才能打開。但就整體上來說，理解數(shù)字信號處理有三把“萬能”的鑰匙：時域與頻域的相互切換、向量和MATLAB軟件。充分應用這三把鑰匙，能為深入理解數(shù)字信號處理提供有力的幫助。1．時域與頻域的相互切換深入理解數(shù)字信號處理的第一把鑰匙是時域與頻域的相互切換。時域與頻域之間聯(lián)系的橋梁是傅里葉變換。學過高等數(shù)學的人都知道，傅里葉分析是數(shù)學分析的一個重要分支。傅里葉變換也是信號處理最重要的理論基礎之一，因而也有人說信號處理其實就是數(shù)學分析的一個分支，這點更因絕大多數(shù)的信號處理圖書充斥著數(shù)學公式而得到強化。誠然，數(shù)學公式的嚴密性是信號處理的理論基礎，但正是信號或系統(tǒng)在頻域所具有的明確的物理意義使信號處理與數(shù)學分析有所區(qū)別，正是要不斷地在時域與頻域來回切換導致了信號處理與數(shù)學分析成為兩個不同的學科。當給定一個信號的時候，信號處理專家的做法是先在時域觀察其特征，再到頻域觀察其特征，或者更高級的是在時—頻聯(lián)合域上觀察信號的特征。在信號處理的過程中，在頻域上濾波之后要觀察時域的變化，在時域處理后要觀察頻域的影響。而對一個數(shù)學專家來說，其思路可能就是建立模型，提出猜想，然后再推導證明。對于很多信號處理的初學者來說，經(jīng)過一段時間的學習后能夠從數(shù)學公式上理解信號和系統(tǒng)，但卻很少從物理意義的角度上去理解信號和系統(tǒng)，這導致了對數(shù)字信號處理普遍的畏難情緒。還有很多人能夠從時域分析信號和系統(tǒng)，也能夠從頻域分析信號和系統(tǒng)，但卻不易在時域與頻域之間來回切換，而是將時域與頻域孤立開來，從而不能更深地理解信號和系統(tǒng)。更多地在時域與頻域之間來回切換，理解其中的物理意義，可以說是數(shù)字信號處理的一種基本思維方式。2．向量向量，或者說矢量，只不過是一根帶有箭頭的線段，如圖1.2（a）所示。它看起來非常簡單，但這種簡單的工具卻可以讓我們拋開繁雜的數(shù)學公式，直觀地理解數(shù)字信號處理中許多看似深奧的概念。圖1.2復正弦信號的向量表示及其加法運算在后面的討論中將會看到，復正弦信號在信號處理中有著特殊的作用。對于幅度為A、頻率為f、初始相位為φ0的復正弦信號：s（n）＝Aej（2πnf/f＋φ）可以非常直觀方便地用一個旋轉的向量來表示，如圖1.2（a）所示。其中向量的長度表示了信號的幅度，旋轉的速度表示了信號的頻率。相加是最基本的運算。對于兩個頻率相同但初始相位不同的復正弦信號的相加，如果用數(shù)學公式的話，要先用歐拉公式展開，然后再進行三角函數(shù)的運算，比較麻煩。但是利用向量圖，則只需要以兩個向量為邊做一個平行四邊形，所得的對角線即是相加的結果，如圖1.2（b）所示，非常直觀。向量雖然也是一種數(shù)學工具，但這種工具簡單而又直觀，能幫助我們重新發(fā)現(xiàn)被數(shù)學公式的浪潮所淹沒的信號處理的實質(zhì)，是深入淺出理解數(shù)字信號處理的最有力的工具之一。在后續(xù)章節(jié)中，我們將會逐步展示向量在信號處理中的價值。3．MATLAB軟件MATLAB是美國Mathworks公司開發(fā)的一種面向科學與工程數(shù)值計算的計算機軟件，它編程簡單，易學易懂，號稱是“草稿紙”式的計算機語言；而且這種軟件的圖形顯示能力非常強大，非常適合抽象概念的理解。MATLAB最初只是教學輔助軟件，但由于強大的功能和一系列顯著的特點，其應用早已超出了輔助教學，已經(jīng)廣泛用于實際的科學研究和工程應用中。在信號處理方面，MATLAB也已經(jīng)成為國際信號處理界公認的數(shù)值計算和算法開發(fā)的標準平臺。MATLAB編程簡單，故初學者很快就能上手，將信號處理的基本概念和方法轉化為實際的代碼，在交互式的學習實踐中提高對基本概念的理解。雖然在MATLAB中，本書將要涉及的數(shù)字信號處理的基本內(nèi)容幾乎都可以直接調(diào)用現(xiàn)成的函數(shù)，但初學者在理解概念的過程中，最好是自己編寫代碼而不是直接調(diào)用函數(shù)，這樣的理解才能更深入。因為其計算能力強大，對一些要用到的比較深奧復雜的數(shù)學公式的信號處理方法，比如濾波器的系數(shù)計算及有限字長影響的分析，用MATLAB能夠簡單方便地得到所需的結果，可以大幅提高效率。MATLAB圖形顯示功能豐富，故很多概念都可以方便地用具體的圖形來演示，可以增強直觀的理解。MATLAB雖然功能強大，是理解和應用數(shù)字信號處理的非常有效的工具。但如果有人據(jù)此產(chǎn)生“有了MATLAB再也無需深入了解基本的概念和方法”的觀念，就可能會走入歧途。一方面，如果沒有對基本概念的理解和把握，使用MATLAB時可能會連參數(shù)是什么含義都不知道；另一方面，如果沒有對概念的理解和把握，更無法利用MATLAB這個工具來解決實際的問題。最后再強調(diào)一下，MATLAB既不能告訴我們信號處理基本概念和方法的物理意義，也無法告訴我們面對具體問題時的解決思路，它終究只是一種工具軟件，只有將基本概念的理解與MATLAB的實現(xiàn)聯(lián)系起來，相互印證，才能使MATLAB在理解和應用數(shù)字信號處理中真正起到“萬能”鑰匙的作用。1.5信號處理雜談：數(shù)字信號處理與數(shù)字信號處理器在本章的最后，我們還要說一句多余的話：那就是如何看待數(shù)字信號處理（DigitalSignalProcessing,DSP）與數(shù)字信號處理器（DigitalSignalProcessor,DSP）？兩者的縮寫都是DSP，在其概念內(nèi)涵上有一定的聯(lián)系，但同樣也有比較大的區(qū)別。數(shù)字信號處理是“將信號以數(shù)字方式表示并處理的理論和技術”，這是維基百科的定義。在更多人的理解中，數(shù)字信號處理更多的是指理論方面，比如采樣定理、Z變換、線性時不變理論、濾波器及其設計方法（包括FIR、IIR）、頻譜分析（DFT、FFT）等內(nèi)容。更高級的數(shù)字信號處理內(nèi)容還包括自適應濾波、功率譜估計、多速率信號處理、小波變換等。如果把這個框再擴大一些，如定義所言，凡是以數(shù)字方式處理信號的理論均屬于數(shù)字信號處理的范疇。數(shù)字信號處理器則更多的是指具體的實現(xiàn)技術方面，也即是說是一類專門用于實現(xiàn)數(shù)字信號處理算法的半導體器件。這類器件主要針對數(shù)字信號處理典型算法，如FIR濾波、FFT等，專門優(yōu)化了內(nèi)核硬件結構。比如在尋址方式上提供圓周尋址以更有效地實現(xiàn)FIR濾波；再比如針對FFT算法中的位反轉運算，提供了專門的指令；凡此等等，不一而足。只是因為這些有別于通用處理器的設計，使得數(shù)字信號處理器非常適合數(shù)字信號處理算法應用比較多的場合，比如在通信、語音、視頻、雷達等許多領域。這兩者的聯(lián)系是明顯的。數(shù)字信號處理提供思想武器和理論支持，是高高在上的領導者；數(shù)字信號處理器在理論的指導下，實實在在地實現(xiàn)某個算法的功能，是腳踏實地的實踐者。針對某個特定的應用，如果沒有成熟的算法，即便是DSP硬件電路搭建得再好，DSP的編程語言再熟悉，終究是解決不了問題。反過來說，如果算法成熟，如果沒有設計優(yōu)良的硬件電路，沒有編寫完善的軟件代碼，同樣也解決不了問題。在這個意義上，兩者相互依存，解決實際問題缺一不可。同樣，這兩者的區(qū)別也是明顯的。數(shù)字信號處理更偏重理論的分析和推導，常用的工具是數(shù)學語言；數(shù)字信號處理器更偏重實踐，常用的工具是硬件設計的輔助軟件和專門的編程環(huán)境和編程語言。數(shù)字信號處理更本質(zhì)，具有更大的普遍性，基本的理論永不過時。比如說數(shù)字信號處理基礎的兩大柱石：濾波器設計與頻譜分析，多少年來，一代又一代的人在不斷學習。而數(shù)字信號處理器則具有易變性。隨著半導體技術的不斷發(fā)展，新的芯片層出不窮，今天還是功能強大的新芯片，明天可能就成了過時品，在市面上難覓蹤影。另外，數(shù)字信號處理器只是實現(xiàn)數(shù)字信號處理的一類芯片，除此之外，其他類型的半導體芯片同樣也可以實現(xiàn)數(shù)字信號處理算法，比如FPGA，功能可能更強大，從這個角度更能體現(xiàn)數(shù)字信號處理的普遍性。第2章離散時間信號廣義上講，任何攜帶信息的物理量都可以稱為信號。那么怎樣來描述和分析一個信號呢？而且現(xiàn)實世界中的信號絕大多數(shù)是模擬信號，為了對這些模擬信號進行數(shù)字化處理，很自然地要先將模擬信號變?yōu)閿?shù)字信號。那么，如何進行轉換呢？這當中有哪些需要注意的問題呢？這些是本章要討論的主題。2.1節(jié)簡單介紹了信號的基本概念，包括信號的定義和分類等。2.2節(jié)介紹了信號的時域描述方法，并介紹了一些常用的信號。2.3介紹了信號的頻域描述方法。2.4節(jié)討論了模擬信號的數(shù)字化問題，包括模擬信號的采樣、量化和編碼。2.5節(jié)主要分析了模擬信號數(shù)字化過程中的參數(shù)選擇問題，包括抗混疊濾波器的參數(shù)、采樣頻率及量化位數(shù)等。2.6節(jié)簡要介紹了數(shù)字信號到模擬信號的轉換問題。2.7節(jié)以雜談的形式介紹了香農(nóng)和奈奎斯特在模擬信號數(shù)字化方面的突出貢獻。最后在2.8節(jié)對整章內(nèi)容進行了小結。2.1信號的基本概念信號是我們經(jīng)常遇到的一個概念，不管是在日常的生活中還是在信號處理專業(yè)的學習中。那么，信號是否有確切的定義呢？信號都有哪些分類？本節(jié)將主要介紹這些內(nèi)容。2.1.1什么是信號廣義地說，信號是攜帶有信息的物理量或物理現(xiàn)象?，F(xiàn)實世界中的信號有兩種：一種是自然和物理信號，例如，雷電過程產(chǎn)生的聲、光信號；大腦、心臟運動分別產(chǎn)生的腦電信號和心電信號；地震產(chǎn)生的地震波信號等。另一種是人工產(chǎn)生信號，經(jīng)自然的作用和影響而形成的信號，如雷達信號、通信信號等。更嚴格一些地說，信號通常是隨時間變化的有限的實值函數(shù)。當然，信號也可以是隨空間等其他變量變化的有限實值函數(shù)，比如圖像信號就是典型的空間變量的函數(shù)。但使用最廣泛的還是時間變量。從這個定義也可以看出，信號與函數(shù)在概念的內(nèi)涵與外延上還是有區(qū)別的，盡管我們經(jīng)?；煊?。信號一般是時間變量的函數(shù)，但函數(shù)并不一定都是信號，信號是實際的物理量或物理現(xiàn)象，而函數(shù)則可能只是一種抽象的數(shù)學定義。那么，怎么具體理解信號這個定義呢？概括地說，信號要滿足如下“兩性”：實值性和有限性。（1）實值性所謂的“實值性”就是要求信號的取值都是實數(shù)，而不是整數(shù)或者復數(shù)。這主要是源于現(xiàn)實世界中的信號大部分是模擬信號，如速度、電壓、電流、溫度等信號都是連續(xù)變化的量。這里有一個問題，既然信號的值是實數(shù)，那為什么信號處理中要大量用到復信號呢？對于這個問題，有多種多樣的解釋，但最根本的可能還是為了數(shù)學處理上的方便。本書的后續(xù)章節(jié)也主要以復信號為基礎來討論信號處理問題，相關原因還會再解釋。但要切記，自然界的信號，目前為止都是實數(shù)的，暫時還沒發(fā)現(xiàn)自然的復數(shù)信號。（2）有限性所謂的“有限性”主要是指信號的值必須是有限的，而不能無限大。因為自然界的信號值如果無窮大的話，需要無窮大的能量。因此，從能量守恒的角度看，信號的值也必須有限。當然，這里的有限性還有更多的內(nèi)涵，比如能量的有限性、功率的有限性、帶寬的有限性等。這里暫時不展開說。對于自然界的信號，牢記實值性和有限性，基本上就可以比較深入地理解信號與函數(shù)之間的異同了。當然，為了理論分析的方便，偶爾也會對信號的概念有一些擴展，這點在后續(xù)的討論中還會提及。2.1.2信號的分類現(xiàn)實世界的信號多種多樣，為了對這些千差萬別的信號進行深入的理解，還需要對信號進行分類。對信號進行分類，初看起來對理解信號的物理實質(zhì)關系不大，但對信號分門別類之后，不僅后續(xù)討論可能會看起來更有章法，而且，從這些不同的分類方法來看待信號，就相當于從多個不同的角度來看待信號，也更容易對信號有全面的認識。因此，從這個角度講，討論信號的分類實際上也是在討論信號的特征。下面介紹幾種比較常見的分類方法。1．確定信號與隨機信號按信號是否為確定性，信號可分為確定信號和隨機信號兩大類。確定信號（deterministicsignal）是指信號隨時間的變化服從某種確定的規(guī)律，能用確定的數(shù)學函數(shù)表達，對任一確定時刻，信號有確定的值；也即是說預先可以知道它的變化規(guī)律，如圖2.1（a）所示。隨機信號（stochasticsignal）則與之不同，不能預知它隨時間變化的規(guī)律，不能用數(shù)學關系式描述；其幅度、相位都只能從概率分布的角度進行描述，如圖2.1（c）所示。圖2.1確定信號與隨機信號在現(xiàn)實中不存在完全的確定性信號，因為現(xiàn)實中的信號，都不可避免地要受到噪聲的污染，如圖2.1（b）所示。因此可以說，確定性信號的研究更多地是理論上的意義。但是從另外一個角度講，因為確定性信號的規(guī)律性及可重復性，使得很多物理過程可以采用確定性信號來進行描述和建模，深入分析確定性信號的特征，有助于更好地從被噪聲污染的信號中提取出有用的信息，這也是信號處理非常重要的任務之一。甚至還可以說，正是噪聲的無處不在，才更彰顯了信號處理的價值。對于確定性信號，可進一步細分為周期信號和非周期信號。所謂的周期性是指信號是否按照某一固定時間重復出現(xiàn)，如果是的話，則為周期信號，否則為非周期信號。對于隨機信號，可進一步細分為平穩(wěn)信號和非平穩(wěn)信號。對于隨機信號的平穩(wěn)性，一種方法是從概率分布的角度講，一種是從均值和方差的角度講。本書所討論的主要是經(jīng)典數(shù)字信號處理的內(nèi)容，其一個重要的假設是噪聲的平穩(wěn)性。對于這些概念更詳細的內(nèi)涵，暫不展開，在后續(xù)相關討論中還會提及。2．連續(xù)時間信號與離散時間信號不論是確定信號還是隨機信號，若從時間變量的取值是否連續(xù)出發(fā)，又可分為連續(xù)時間信號與離散時間信號。在自變量的整個連續(xù)區(qū)間內(nèi)都有定義的信號是連續(xù)時間信號（continuous-timesignal）或時間連續(xù)信號，簡稱連續(xù)信號。需要說明的是，這里的“連續(xù)”指的是定義域，信號的值域，也即信號的幅度取值范圍，可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的。圖2.2（a）給出了一個連續(xù)時間信號的示例。圖2.2連續(xù)時間信號與離散時間信號僅在一些離散的點上才有定義的信號稱為離散時間信號（discrete-timesignal）或時間離散信號，簡稱離散信號。同樣，這里的“離散”指的是定義域，其值域可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的。圖2.2（b）給出了一個離散時間信號的示例。一個時間離散信號f（n），其信號源可能本來就是離散的。例如f（n）表示某一天的平均氣溫，顯然這里自變量n只能是離散的整數(shù)。但在大部分情況下，離散時間信號是由連續(xù)時間信號經(jīng)過采樣后得到的。采樣的過程將是本章后面討論的重點。通常，離散時間信號也可以稱為“序列”。在后續(xù)的討論中，沒有特別指明的情況下，信號指的是離散時間信號。3．模擬信號與數(shù)字信號模擬信號（analogsignal）是指定義域和值域均連續(xù)的信號，也即是說時間及幅度上都連續(xù)的信號。因此，模擬信號肯定是時間連續(xù)信號。對于時間連續(xù)信號而言，幅度上是否連續(xù)通常并不重要，因此，連續(xù)信號和模擬信號這兩個概念，通常情況下并不嚴格區(qū)分，并且時常混用?，F(xiàn)實世界中的絕大多數(shù)信號，如溫度、電壓、電流、壓力等都是模擬信號。數(shù)字信號（digitalsignal）是指在時間及幅度上都不連續(xù)的信號。因此，數(shù)字信號肯定是時間離散信號?，F(xiàn)實世界中也存在一些數(shù)字信號，如記錄股票每天收盤價格的金融信號等。當然，更多的數(shù)字信號是從模擬信號經(jīng)過模／數(shù)轉換而得到，轉換的過程將在2.5節(jié)討論。圖2.3給出了一個模擬信號經(jīng)過轉換得到對應數(shù)字信號的示意圖，圖2.3（a）為模擬信號，圖2.3（b）為轉換后得到的數(shù)字信號。圖2.3模擬信號與數(shù)字信號連續(xù)信號與離散信號，模擬信號與數(shù)字信號，很多朋友對這幾個概念經(jīng)?；煜磺濉１?.1給出了它們之間的關系，區(qū)分的關鍵在于時間及幅度上是否連續(xù)。由表2.1可以看出，模擬信號是連續(xù)信號的一個子集，數(shù)字信號是離散信號的一個子集。表2.14種信號分類之間的相互關系從因果性的角度，信號可以分為因果信號和非因果信號。因果信號指的是只有當n≥0時x（n）才有非零值，否則即為非因果信號。另外，從能量是否有限的角度，信號可以分為能量信號和功率信號；從信號自變量是否多維的角度，信號可以分為一維信號和多維信號等。對信號的分類方法多種多樣，限于篇幅，不再一一介紹。2.2信號的時域描述對于一個離散時間信號，在時域是如何表示的呢？在信號處理中，有哪些常用的信號？這些常用的信號又是通過什么樣的運算方式組合成更復雜的信號？對于噪聲，是否也能看作是一類特殊的信號？本節(jié)主要討論上述這些問題。2.2.1信號的時域表示在前面已經(jīng)提到過，離散時間信號是指那些在離散時間變量時有定義的信號。若它是從模擬信號均勻采樣得到的，則離散信號x（n）可表示為：式中，Ts為采樣周期，n為整數(shù)，下標a表示模擬信號。式（2.1）表明，離散信號僅在t＝nTs時刻有值，而在其他的時刻沒有定義。在數(shù)字信號處理中，xa（nTs）中的采樣周期Ts一般不再示出，而n表示采樣時的序號，所以用x（n）表示第n個離散點的值。采樣的問題會在2.4節(jié)詳細討論。如果離散時間信號x（n）有解析表達式，則可用公式表示。例如，一個三角形信號x（n）可寫為：式中，對∣n∣＞4的x（n）默認其值為0。x（n）的另外一種時域表示方法是表示成按一定次序排列的數(shù)值的集合。從這個意義上講，離散時間信號通常也稱為序列。例如，式（2.2）所示的三角形信號也可表示為：式中，箭頭所指的值表示n＝0時x（n）的值，這里x（0）＝5。n值規(guī)定為自左向右逐一遞增。這種方法能夠表示沒有解析式的x（n），因而使用更多。在時域表示x（n）的第3種方法是圖示法，橫坐標為n，縱坐標為x（n）的值。對于式（2.2）所示的三角形信號，其圖形如圖2.4所示。雖然圖中橫坐標畫成一條連續(xù)的直線，但x（n）只有在n為整數(shù)值時才有定義；對于非整數(shù)值，x（n）是沒有定義的。離散時間信號的圖形表示非常直觀，在分析問題時經(jīng)常使用。圖2.4離散時間信號的圖形表示2.2.2典型信號在了解了信號的基本定義和簡單分類之后，接下來要介紹幾種常用的典型信號。這些信號之所以典型，一方面是因為這些信號具有代表性，它們通常是由不同領域中的物理現(xiàn)象抽象而成，能夠反映不同領域中許多物理現(xiàn)象的變化過程；另一方面是因為這些信號也是一些基本信號，可用來表示或者組合成許多其他的信號。這里介紹的典型信號都是離散信號。1．單位沖激信號單位沖激信號δ（n），通常也稱為單位抽樣信號，或者Kronecker函數(shù)，其波形如圖2.5所示。其數(shù)學定義式如下：圖2.5單位沖激信號的波形這個信號是最簡單、最基本的離散時間信號，也是最重要的離散時間信號之一。δ（n）類似于時域連續(xù)信號中的沖激函數(shù)δ（t），它們的作用是相同的。所不同的是，δ（t）是廣義函數(shù)，在t＝0時刻幅度趨向于無限大，即無幅度可言，只有用面積表示的強度。δ（t）反映一種持續(xù)時間極短、函數(shù)值極大的信號類型，如電學中的雷擊電閃、力學中瞬間作用的沖擊力等。而δ（n）在n＝0時刻有確定的幅度值，即為1。2．單位階躍信號單位階躍信號u（n）的波形如圖2.6所示，其數(shù)學定義式如下：圖2.6單位階躍信號的波形它等效的物理模型是開關的閉合。單位階躍信號的基本特性是單邊性，即在n＜0時u（n）全為0，在n≥0時u（n）全為1。利用這種單邊性可以構成其他許多單邊信號。由δ（n）和u（n）的定義式可以看出，單位沖激信號δ（n）是單位階躍信號u（n）的一次差分，即：單位階躍信號u（n）是單位沖激信號δ（n）的求和，即：或者：3．脈沖信號脈沖信號p（n），有時也稱為矩形信號，其波形如圖2.7所示。其數(shù)學定義式如下：圖2.7脈沖信號的波形式中，N為脈沖寬度。脈沖信號的特點是只有在n＝0到n＝N－1這樣一個長度為N的窗內(nèi)才有值，在其他范圍取值均為0。脈沖信號在雷達、通信等系統(tǒng)中有非常廣泛的應用，而且矩形信號作為一種最基本的窗函數(shù)，幾乎應用于任何的信號處理過程中。4．正弦信號正弦信號的波形如圖2.8所示。其數(shù)學表達式如下：圖2.8正弦信號的波形式中，A表示信號的幅度，ω為數(shù)字角頻率，φ為初始相位。ω通常也稱為數(shù)字頻率，它的單位是弧度，表示信號變化的速率，或者說表示相鄰兩個信號值之間變化的弧度數(shù)。ω是一個非常重要的概念，在后續(xù)章節(jié)的討論中會反復出現(xiàn)，它和通常所說的以Hz為單位的模擬頻率f，既有聯(lián)系又有區(qū)別。有不少學習過數(shù)字信號處理課程的朋友，也可能分不清兩者的區(qū)別。式（2.10）所示的離散的正弦信號可以看作是由如下的模擬正弦信號：經(jīng)采樣得到，即：式中，f為模擬頻率，單位為Hz；Ts為采樣周期，單位為秒（s），Ω＝2πf稱為模擬角頻率，單位為弧度／秒（rad/s）。對比式（2.7）和式（2.9），可以得到模擬頻率f、模擬角頻率Ω和數(shù)字角頻率ω三者的關系如下：式中fs是采樣頻率。式（2.13）表明，凡是經(jīng)模擬信號采樣后得到的離散信號，其模擬頻率和模擬角頻率與數(shù)字角頻率成線性關系?；蛘哒f，數(shù)字角頻率是模擬角頻率對采樣頻率的歸一化頻率。式（2.13）是一個非常重要的關系式，是用數(shù)字信號處理理解很多物理現(xiàn)象的關鍵。現(xiàn)實生活中的很多物理現(xiàn)象都可以用正弦信號來描述，比如交流電源信號、通信載波信號、音頻信號等。正弦信號的復數(shù)形式，即復正弦信號，其數(shù)學定義式如下：這也是非常重要的一種基本信號。因為它不僅是離散信號做傅里葉變換時的基函數(shù)，同時也是線性時不變系統(tǒng)的特征信號，這點在后面還會詳細討論。5．指數(shù)信號指數(shù)信號的數(shù)學表達式如下：式中，a為實數(shù)，當∣a∣＞1時，x（n）隨n的增加而指數(shù)發(fā)散；當∣a∣＜1時，x（n）隨n的增加而指數(shù)收斂；當∣a∣＝1時，x（n）為常數(shù)。如果a是正數(shù)，x（n）的函數(shù)值是單調(diào)變化；如果a是負數(shù)，則x（n）的函數(shù)值是正負交替變化。圖2.9給出了單邊實指數(shù)系列在不同a值下的波形圖。圖2.9實指數(shù)信號的不同波形實指數(shù)信號可以描述許多物理現(xiàn)象。例如，生物的自然繁衍、銀行存款的本金利息、原子核的裂變等都具有指數(shù)增長的特性；而聲音在大氣中的傳播、RC電路的響應、收到污染的生態(tài)環(huán)境質(zhì)量等則是按指數(shù)衰減特性發(fā)生變化。如果a為復數(shù)，可將a寫成a＝re的形式，式中r＞0，ω≠0、π。這樣x（n）就變成復指數(shù)信號，即x（n）＝re。若r＝1，則變?yōu)榍懊嫠f的復正弦信號；若r＜1，則x（n）為衰減的復正弦信號；若r＞1，則x（n）為發(fā)散的復正弦信號。2.2.3信號的基本運算和數(shù)學中函數(shù)運算一樣，對信號也可以進行各種運算。最基本的信號運算包括相加、相減、累加、相乘和移位5種。這些基本運算是最簡單的信號處理方法，也是構成其他更多復雜信號處理方法的基礎。1．相加兩個信號相加的運算框圖如圖2.10所示。其數(shù)學定義式如下：圖2.10信號相加示意圖表示的是將x1（n）和x2（n）在相同時刻n時的值對應相加。2．相減兩個信號相減的運算框圖如圖2.11所示。其數(shù)學定義式如下：圖2.11信號相減示意圖表示的是將x1（n）和x2（n）在相同時刻n時的值對應相減。相減運算可以看作是相加運算的一種特殊情況，即先將x2（n）乘以一個常數(shù)-1，然后再和x1（n）相加。在數(shù)字信號處理的硬件設備中，相加和相減都是用加法器來完成的。3．累加信號累加的運算框圖如圖2.12所示。其數(shù)學表達式如下：圖2.12信號累加示意圖表示的是從n時刻以前某個時刻開始，直到n時刻為止的所有x（n）的值相加，其結果等于信號y（n）在n時刻的值。式（2.18）中是從n－3時刻開始的。實際上，在累加運算中的起始時刻并不是固定的。理論上講，式（2.18）中累加的起始時刻可以是-∞，結束時刻也可以是+∞。在實際中，由于因果性的制約，結束時刻最大為n。4．相乘兩個信號相乘的運算框圖如圖2.13所示。其數(shù)學定義式如下：圖2.13信號相乘示意圖表示的是將x1（n）和x2（n）在相同時刻n時的值對應相乘。信號相乘用“·”表示，有時這個符號也可以省略。特別地，如果x2（n）為一常數(shù)，那么信號的相乘就變成信號x1（n）乘上一個常數(shù)。在數(shù)字信號處理的硬件設備中，相乘是用乘法器來完成的，這是數(shù)字信號處理的特點之一。5．移位給定離散信號x（n），若信號y1（n）和y2（n）分別定義為：那么，y1（n）是整個x（n）在時間軸上右移k個采樣周期得到的新信號。y1（n）也通常被稱為x（n）的延時信號，延時時間為k個采樣周期。類似地，y2（n）是整個x（n）在時間軸上左移k個采樣周期得到的新信號。圖2.14給出了一個簡單的示例，圖中k等于2。圖2.14信號的移位由于現(xiàn)實中因果性的約束，在信號處理中左移的情況比較少。最常用的是信號的右移，也即信號的延時。而在延時運算中，最基本的延時單位為1個采樣周期，這也稱為單位延時，其運算框圖如圖2.15所示。在數(shù)字信號處理硬件設備中，延時是由一系列的移位寄存器來實現(xiàn)的。圖2.15信號的單位延時2.2.4一種特殊的信號在信號處理中還有一種特殊的信號，即噪聲。通常情況下噪聲是有害的，因為它“污染”了信號。如果沒有噪聲的話，信號處理則要簡單得多。可以說，正是因為現(xiàn)實環(huán)境中不可避免地存在噪聲，才推動人們?nèi)ゲ粩嗟亻_發(fā)新的信號處理方法。信號處理發(fā)展的歷史，在某種程度上可以看做是信號與噪聲相互斗爭的歷史。信號處理的主要目標之一即是如何區(qū)分信號與噪聲，或者說如何增強信號而抑制噪聲。噪聲是隨機信號，其描述方法與前面介紹