北京市通州區(qū)2023屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試卷

202202X年終總結(jié)ANNUALREPORT通州區(qū)2023年高三年級(jí)模擬考試數(shù)學(xué)試卷2023年4月本試卷共4頁，共150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知全集，集合，則（A） （B） （C） （D）（2）已知復(fù)數(shù)．則（A） （B） （C）（D）（3）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（A）（B）（C）（D）（4）在的展開式中，的系數(shù)為（A）（B）（C）（D）（5）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（A） （B） （C） （D）（6）如圖，某幾何體的上半部分是長方體，下半部分是正四棱錐，，，，則該幾何體的體積為（B）（C）（D）（7）聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）滿足.一般噪音的聲強(qiáng)級(jí)約為，正常交談的聲強(qiáng)級(jí)約為，那么一般噪音的聲強(qiáng)約為正常交談的聲強(qiáng)的（A）倍（B）倍（C）倍（D）倍（8）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式為（A） （B）（C） （D）已知a，b為兩條直線，，為兩個(gè)平面，且滿足，，，，則“a與b異面”是“直線b與l相交”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（10）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，A為線段BC中點(diǎn)，P為圓任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）已知向量，，若，則x=．（12）已知等差數(shù)列的公差，且，則的前5項(xiàng)和．（13）拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到直線的距離是線段長度的倍，則．（14）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為；若函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．（15）兩個(gè)數(shù)互素是指兩個(gè)正整數(shù)之間除了1之外沒有其他公約數(shù).歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如.關(guān)于歐拉函數(shù)給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②，恒有；③若m，n（）都是素?cái)?shù)，則；④若，其中為素?cái)?shù)，則.（注：素?cái)?shù)是指除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)，且大于1的正整數(shù).）則所有正確結(jié)論的序號(hào)為.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在△中，角A,B,C的對(duì)邊分別為，.（Ι）求的值；（П）若，從下列三個(gè)條件中選出一個(gè)條件作為已知，使得△存在且唯一確定，求△的面積．條件①：；條件②：；條件③：△的周長為9．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（17）（本小題14分）如圖，已知三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的正方形，，為的中點(diǎn)，D為棱BC上一點(diǎn)，平面.（Ⅰ）求證：D為BC中點(diǎn)；（Ⅱ）求直線BC與平面所成角的正弦值.（18）（本小題13分）某企業(yè)有7個(gè)分行業(yè)，2020年這7個(gè)分行業(yè)的營業(yè)收入及營業(yè)成本情況統(tǒng)計(jì)如下表：營業(yè)情況分行業(yè)營業(yè)收入單位（億元）營業(yè)成本單位（億元）分行業(yè)14138分行業(yè)2129分行業(yè)382分行業(yè)465分行業(yè)532分行業(yè)621分行業(yè)70.80.4（一般地，行業(yè)收益率一般指：.）(Ⅰ)任選一個(gè)分行業(yè)，求行業(yè)收益率不低于50%的概率；(Ⅱ)從7個(gè)分行業(yè)中任選3個(gè)，設(shè)為選出的收益率高于50%的分行業(yè)的個(gè)數(shù)，求的分布列及期望；(Ⅲ)設(shè)7個(gè)分行業(yè)營業(yè)收入的方差為，營業(yè)成本的方差為，寫出與的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)（19）（本小題15分）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，設(shè)與平行的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于，兩點(diǎn)．求證四邊形APBQ為菱形.（20）（本小題15分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)請(qǐng)判斷是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，說明理由；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意，不等式恒成立，求的取值范圍.（21）（本小題15分）設(shè)集合為含有個(gè)元素的有限集．若集合的個(gè)子集滿足：①均非空；②中任意兩個(gè)集合交集為空集；③.則稱為集合的一個(gè)m階分拆.(Ⅰ)若，寫出集合的所有2階分拆（其中與為集合A的同一個(gè)2階分拆）；(Ⅱ)若，為的2階分拆，集合所有元素的平均值為，集合所有元素的平均值為,求的最大值；(Ⅲ)設(shè)為正整數(shù)集合的3階分拆.若滿足任取集合中的一個(gè)元素構(gòu)成，其中，且與中元素的和相等.求證：為奇數(shù).（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）2023年2023年4月通州區(qū)2023年高三年級(jí)模擬考試數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)題號(hào)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案DABDBBACCA二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）（13）2（14）或的任意值；（15）①③④說明：（（14）題前3后2；（15）題全選對(duì)5分，漏選3分，其他情況0分。三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分）解：（Ⅰ）在△中，因?yàn)?，所以：，?……………….2分又因?yàn)?所以，……………….4分即：，……………….5分（Ⅱ）選條件①：，且（Ⅰ）中，……………….6分由余弦定理，得.……………….8分所以.……………….10分又由可知，……………….11分所以△的面積.……………….13分選條件eq\o\ac(○,3)：△的周長為9，且（Ⅰ）中，……………….6分，則.……………….8分由余弦定理，得，……………….10分所以.……………….11分所以△的面積.……………13分（17）（本小題14分）（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所?………………2分又因?yàn)檎叫沃?，，所以是平行四邊?所以.……………….3分因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.……………….4分所以為的中點(diǎn).…………5分（Ⅱ）解：因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L為2，所以，.又，，所以，所以.……………….6分因?yàn)?，，所以平?……………….7分連接，所以，所以.……………….8分以D為原點(diǎn)，分別以，，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.………9分則，，，，，.……………….10分設(shè)平面的法向量為，則，則.……………….11分.……………….13分所以直線BC與平面所成角的正弦值為.…………14分（18）（本小題13分）解：（Ⅰ）根據(jù)表格，任選一個(gè)分行業(yè)，行業(yè)收益率不低于50%的有：行業(yè)3、行業(yè)5、行業(yè)6、行業(yè)7，共4個(gè)，設(shè)“，行業(yè)收益率不低于50%”為事件A，則.…………3分（Ⅱ）7個(gè)分行業(yè)中,收益率高于50%的行業(yè)個(gè)數(shù)為3個(gè)，所以的取值為：0,1,2,3.…………4分；…………5分；…………6分；…………7分；…………8分所以X的分布列為：X0123P．…………10分（Ⅲ）.…………13分（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）由題意可知…………3分解得…………4分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.…………5分（Ⅱ）點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B的坐標(biāo)為.…………6分直線的斜率為.…………7分因?yàn)橹本€與平行，設(shè)直線l的方程為.由得.…………8分由，得，且.…………9分設(shè)，，則，.…………10分直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.…………11分同理可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.…………12分.…………14分所以線段中點(diǎn)坐標(biāo)為.又線段中點(diǎn)坐標(biāo)也為，所以線段，垂直且平分.所以四邊形APBQ為菱形.…………15分（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）因?yàn)樗浴?分所以.…………2分，…………3分.…………4分（Ⅱ）…………5分，．…………6分，．，…………7分，．，．所以．…………8分所以．所以．…………9分（Ⅲ）因?yàn)閷?duì)于任意，恒成立,所以對(duì)于任意，恒成立,即對(duì)于任意，恒成立.…………10分,所以.…………11分所以.所以.…………12分.所以．…………13分．…………14分即．…………15分（21）（本小題15分）解：（Ⅰ）{1,2}，{3}；{1,3}，{2}；{2,3}，{1}．…………3分（Ⅱ）不妨設(shè)P>Q，，則|P-Q|=P-Q=．因?yàn)?，所以P-Q=．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)．…………9分（Ⅲ）證法（一）證明：由題意可得：，，元素和相等的集合．設(shè)集合或中元素的和為，集合中的所有元素之和為． 所以．（1）當(dāng)集合中存在元素（）為奇數(shù)時(shí)，因?yàn)?，為偶?shù)，所以為奇數(shù)．對(duì)于任意，均有． 所以此時(shí)集合中的元素均為奇數(shù)．因?yàn)闉槠鏀?shù)，且只有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和為奇數(shù)，所以為奇數(shù)．（2）當(dāng)集合中存在元素（）為偶數(shù)時(shí)，因?yàn)?，為偶?shù)，所以為偶數(shù)．對(duì)于任意，均有． 所以此時(shí)集合中的元素均為偶數(shù)．對(duì)于一個(gè)偶數(shù)，均存在正整數(shù)和奇數(shù)，使得．顯然集合中的元素除以，仍然滿足條件．將集合中的元素不斷除以，直至有一個(gè)奇數(shù)．此時(shí)，由（１）可得為奇數(shù)．綜上所述，為奇數(shù)． …………15分（Ⅲ）證法（二）證明：假設(shè)n為偶數(shù)，則n-1為奇數(shù).由題意對(duì)任意i，中所有元素的和為偶數(shù)，且這些元素分為兩類：（1）全為偶數(shù)；（2）有奇數(shù)個(gè)偶數(shù)與偶數(shù)個(gè)奇數(shù)．若B中元素為奇數(shù)個(gè)偶數(shù)與偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，