常微分方程恰當(dāng)方程

關(guān)于常微分方程恰當(dāng)方程第1頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三本節(jié)課我們討論另外一類可用初等解法求解的方程類型，為此將一階微分方程的正規(guī)形式（顯式方程形式）改寫成或更加一般的微分形式:這種形式的優(yōu)點(diǎn)是既可以把y看成未知函數(shù)，x看成自變量；也可以把x看成未知函數(shù)，y看成自變量；即變量x、y在方程中的地位是平等對(duì)稱的，因此微分形式的方程也被稱為對(duì)稱形式微分方程。注：在實(shí)際解題過(guò)程中，x、y經(jīng)常被看成一個(gè)二元函數(shù)的兩個(gè)自變量，其地位平等。第2頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三一、恰當(dāng)方程的定義及條件如果我們恰好碰見了方程就可以馬上寫出它的隱式解第3頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三定義1則稱微分方程是恰當(dāng)方程.如是恰當(dāng)方程.1恰當(dāng)方程的定義第4頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三需考慮的問(wèn)題(1)方程(1)是否為恰當(dāng)方程?(2)若(1)是恰當(dāng)方程,怎樣求解?(3)若(1)不是恰當(dāng)方程,有無(wú)可能轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程求解?2方程為恰當(dāng)方程的充要條件定理1為恰當(dāng)方程的充要條件是第5頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三證明“必要性”設(shè)(1)是恰當(dāng)方程,故有從而故第6頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三“充分性”即應(yīng)滿足第7頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三因此事實(shí)上第8頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三故(8)注:若(1)為恰當(dāng)方程,則其通解為第9頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、恰當(dāng)方程的求解1不定積分法例1

驗(yàn)證方程是恰當(dāng)方程,并求它的通解.第10頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三解:故所給方程是恰當(dāng)方程.第11頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三即積分后得:故從而方程的通解為第12頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三2分組湊微法

采用“分項(xiàng)組合”的方法,把本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出來(lái),再把余的項(xiàng)湊成全微分.---應(yīng)熟記一些簡(jiǎn)單二元函數(shù)的全微分.如第13頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三第14頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2

求方程的通解.解:故所給方程是恰當(dāng)方程.把方程重新“分項(xiàng)組合”得即或?qū)懗晒释ń鉃?第15頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3

驗(yàn)證方程是恰當(dāng)方程,并求它滿足初始條件y(0)=2的解.解:故所給方程是恰當(dāng)方程.把方程重新“分項(xiàng)組合”得即第16頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三或?qū)懗晒释ń鉃?故所求的初值問(wèn)題的解為:第17頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三3線積分法定理1充分性的證明也可用如下方法:由數(shù)學(xué)分析曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定理知:第18頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三從而(1)的通解為第19頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三例4

求解方程解:故所給方程是恰當(dāng)方程.第20頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三故通解為:第21頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、積分因子非恰當(dāng)方程如何求解?對(duì)變量分離方程:不是恰當(dāng)方程.是恰當(dāng)方程.第22頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三對(duì)一階線性方程:不是恰當(dāng)方程.則是恰當(dāng)方程.可見,對(duì)一些非恰當(dāng)方程,乘上一個(gè)因子后,可變?yōu)榍‘?dāng)方程.第23頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三1定義例5解:對(duì)方程有第24頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三由于把以上方程重新“分項(xiàng)組合”得即第25頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三也即故所給方程的通解為:2積分因子的確定即第26頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三盡管如此,方程還是提供了尋找特殊形式積分因子的途徑.第27頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三變成即第28頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三此時(shí)求得一個(gè)積分因子第29頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三第30頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三3定理微分方程第31頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三第32頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三例6

求微分方程的通解.解:由于故它不是恰當(dāng)方程,又由于第33頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三利用恰當(dāng)方程求解法得通解為

積分因子是求解積分方程的一個(gè)極為重要的方法,絕大多數(shù)方程求解都可以通過(guò)尋找到一個(gè)合適的積分因子來(lái)解決,但求微分方程的積分因子十分困難,需要靈活運(yùn)用各種微分法的技巧和經(jīng)驗(yàn).下面通過(guò)例子說(shuō)明一些簡(jiǎn)單積分因子的求法.第34頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三例7

求解方程解:方程改寫為:或:易看出,此方程有積分因子第35頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三即故方程的通解為:例8

求解方程解:故方程不是恰當(dāng)方程,第36頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三方法1:即故方程的通解為:第37頁(yè)，講稿共40頁(yè)，2023年5月2日，星期三方法2:方程改寫為:容易看出方程左側(cè)有積分因子:故方程的通解為:第38