全等三角形的綜合應(yīng)用

全等三角形的綜合應(yīng)用學生/課程年級初一學科數(shù)學授課教師日期時段核心內(nèi)容全等三角形的性質(zhì)與判定課型教學目標掌握全等三角形的性質(zhì).會運用性質(zhì)進行全等三角形的判定.掌握全等三角形性質(zhì)與判定的綜合運用.重、難點重點:全等三角形的判定定理的靈活應(yīng)用難點:全等三角形的性質(zhì)以及判定的綜合運用課首溝通直角三角形全等的判定,一般三角形的全等的判定定理都有哪些?你喜歡哪一種?使用的時候有什么不同?課首小測[單選題]如圖，AB=AD，BC=CD，那么全等三角形的對數(shù)是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4如圖，OP平分∠MON,PE⊥OM于E, PF⊥ON于F,OA=OB,則圖中有 對全等三角形.如圖，將等腰直角三角形ABC的直角頂點置于直線l上，且過A，B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為D，E，圖中找出一對全等三角形，并寫出證明它們?nèi)鹊倪^程．[單選題]下面一定是全等三角形的是 （ ）A.周長相等的兩個三角形 B.面積相等的兩個三角形C.三個角分別相等的兩個三角形 D.能夠完全重合的兩個三角形5.如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，CE垂直于BD的延長線，若BD=12．則CE= 知識梳理導(dǎo)學一：全等三角形的性質(zhì)與判定例1.如圖，△ABC≌△ADE，∠B=40°，∠E=30°，∠BAE=80°，則∠BAC= 、∠DAC= ．例2.如圖，已知∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E在AB上，連接CE、DE請你找出與點E有關(guān)的所有全等的三角形．選擇（1）中的一對全等三角形加以證明．例3.如圖，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，點F是CD的中點．求證：AF⊥CD．我愛展示如圖，點B在線段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求證：∠A=∠E如圖，AC=AE，AB=AD，∠1=∠2.求證：BC=DE如圖，D、E分別是等邊三角形ABC的邊AB、AC上的點，且AE=BD，CD、BE交于點P.（1）求證：BE=CD；（2）求∠BPC的度數(shù).導(dǎo)學二：倍長中線例1.如圖，△ABC中，D為BC的中點．求證：AB+AC＞2AD；若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍．例2.如圖，在△ABC中，AD交BC于點D，點E是BC中點，EF∥AD交CA的延長線于點F，交EF于點G，若BG=CF，求證：AD為△ABC的角平分線.例3.已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF。我愛展示閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求證：AB=CD．如圖已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC求證:EF＝2AD已知：如圖，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，過D作交AE于點F，DF=AC.求證：AE平分。導(dǎo)學三：角平分線的性質(zhì)例1.如圖，DB是△ABC的高，AE是角平分線，∠BAE=26°，求∠BFE的度數(shù)．例2.已知：如圖，BP，CP是△ABC的外角平分線，證明：點P一定在∠BAC的角平分線上．例3.等邊三角形ABC中，點E在AB上，點F在AC上EDF=45，DB=DC，BDC=120。請問現(xiàn)在EF、BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？并證明我愛展示1.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC.求證：AC+CD=AB2.如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求證：AB=AC+CD.3.如圖，已知△ABC是等邊三角形，∠BDC＝120o，說明AD=BD+CD的理由導(dǎo)學四：全等三角形的綜合應(yīng)用例1.已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB與點E，CF⊥AD與點F，且BC=DC，你能說出BE與DF的數(shù)量關(guān)系嗎？為什么？例2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD﹣BE；當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．我愛展示1.如圖，AD是的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且(1)求證：∠B與∠AHD互補；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，請?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明.限時考場模擬：15分鐘[單選題]如圖，△中，AB=AC，D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點E、O、F，則圖中全等三角形的對數(shù)是( )A.1對 B.2對 C.3對 D.4對已知：如圖，AB∥CD，E是AB的點，CE=DE．(1）∠AEC=∠BED；(2）AC=BD．如圖，∠A=90°，∠D=90°，AC與BD相交于點E，BE=EC．求證：△ABC≌△DCB．如圖，△EFG的三條邊相等，三個內(nèi)角也相等，且EH=FI=GJ，找出圖中一對全等三角形，并說明理由．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，CD是∠ACB的平分線．求證：BC=CD+AD．課后作業(yè)[單選題]如圖所示是兩個全等三角形，由圖中條件可知，∠α=（ ）A．65° B．30° C．85° D．30°或65°已知：∠B=∠C，AD是△BAC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于求證：BE=CF．[單選題]下列命題：①有兩個角和第三個角的平分線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；②有兩條邊和第三條邊上的中對應(yīng)相等的兩個三角形全等；③有兩條邊和第三條邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等．其中正確的是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC與DE相交于點F，連接CD，EB．形，并證明它．已知CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB。E、F分別是直線CD上兩點（不重合），且∠BEC＝∠CFA＝∠α。若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請解決下面問題：①若∠BCA＝90°，∠α＝90°，請在圖1中補全圖形，并證明：BE=CF，EF＝|BE-AF|；②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，∠α+∠BCA＝180°，求證△BCE≌△CAF。如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，試探究EF、BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系，并證明．如圖,在△ABC中,分別以AB、AC為邊,向△ABC外作正三角形、正四邊形、正五邊形,BE、CD相交于點O。如圖甲,求證:△ABE≌△ADC；探究:如圖甲,∠BOC的度數(shù)為 如圖乙,∠BOC的度數(shù)為 ；如圖丙,∠BOC的度數(shù)為 ；1、總結(jié)一下本節(jié)課的重難點知識2、完成老師規(guī)定的作業(yè)，制定相應(yīng)的學習安排3、做好下一階段的學習筆記課首小測1.C解析:先根據(jù)SSS推出△ABC≌△ADC，推出∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)SAS即可推出△ABO≌△ADO，△CBO≌△CDO．2.3解析:∵∠POE=∠POF,∠PEO=∠PFO=90°OP=OP,∴△POE≌△POF(AAS),又OA=OB,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△POA≌△POB(AAS), ∴PA=PB,∵PE=PF,∴Rt△PAE≌Rt△PBF(HL). ∴圖中共有33.△ADC≌△CEB證明：∵AD⊥CD，BE⊥CE，AC⊥BC∴∠ACD+∠CAD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∠ADC=∠CEB=90°∴∠CAD=∠BCE在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）4.D5.6解析: 解：延長CE、BA交于O，∵∠BAC=90°，∴∠CAO=∠BAD=90°，∵CE⊥BE，∴∠BEO=∠BEC=90°，∴∠O+∠OCA=90°，∠O+∠DBA=90°，∴∠OCA=∠DBA，在△BAD和△CAO中，∠DBA＝∠OCA，BA＝AC，，∠BAD＝∠CAO∴△BAD≌△CAO（ASA），∴BD=OC=12，∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠OBE，在△CBE和△OBE中，∠CBE＝∠OBE，BE＝BE，∠BEC＝∠BEO，∴△CBE≌△OBE（ASA），∴CE=OE=1/2，CO=1/2×12=6．故答案為：6．導(dǎo)學一例題1.1.解析:2.（1）△ACE≌△ADE，△BCE≌△BDE；（2）在RT△ABC和RT△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（HL），∴∠CAB=∠DAB，在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（SAS）．解析:（1）找出圖中E為頂點的全等三角形即可解題；（2）易證△ABC≌△ABD可得∠CAB=∠DAB，根據(jù)邊角邊證明三角形全等方法即可求得△ACE≌△ADE．3.證明：連接AC、AD，在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS）．∴AC=AD．又∵點F是CD的中點，∴CF=DF又∵AF=AF∴△ACF≌△ADF（SSS）∴∠AFC=∠AFD∴AF⊥CD．我愛展示1.如圖，∵BC∥DE，∴∠ABC=∠BDE．在△ABC與△EDB中，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A=∠E．2.3.導(dǎo)學二例題1.證明：由BD=CD，再延長AD至E，使DE=AD，∵D為BC的中點，∴DB=CD，在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC，在△ABE中，∵AB+BE＞AE，∴AB+AC＞2AD；（2）1＜AD＜42.解析:3.證明：如圖，延長AD到點G，使得AD=DG，連接BG．∵AD是BC邊上的中線（已知），∴DC=DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD=∠G，BG=AC又∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G，∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，∴AF=EF．我愛展示1.方法一：作BF⊥DE于點F，CG⊥DE于點G．∴∠F=∠CGE=90°．又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，∴△BFE≌△CGE．∴BF=CG．在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，∴△ABF≌△DCG．∴AB=CD．方法二：作CF∥AB，交DE的延長線于點F．∴∠F=∠BAE．∴∠F=∠D．∴CF=CD．∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，∴△ABE≌△FCE．∴AB=CF．∴AB=CD．方法三：延長DE至點F，使EF=DE．又∵BE=CE，∠BEF=∠CED，∴△BEF≌△CED．∴BF=CD，∠D=∠F．又∵∠BAE=∠D，∴∠BAE=∠F．∴AB=BF．∴AB=CD．解析:證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證AB=CD，造全等三角形或等腰三角形．2.3.證明：如圖，延長FE到G，使EG=EF，連接CG．在△DEF和△CEG中，∴△DEF≌△CEG．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠G=∠CAE．∴∠BAE=∠CAE．即AE平分∠BAC導(dǎo)學三例題∵AE是角平分線，∠BAE=26°，∴∠FAD=∠BAE=26°，∵DB是△ABC的高，∴∠AFD=90°﹣∠FAD=90°﹣26°=64°，∴∠BFE=∠AFD=64°．過點P分別作AM、BC、AN的垂線PE、PF、PD，E、F、D為垂足，∵CP是∠MCB的平分線，∴PE=PD．同理：PF=PD．∴PE=PF．∴點P在∠BAC的平分線上．EF=BE+CF解析:證明：延長AB到G,使BG=CF,連接DG∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=∠ACB=60°∵DB=DC,∠BDC=120°∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠DBE=∠DCF=90°則∠DBG=90°=∠DCF又∵DB=DC,BG=CF∴△DBG≌△DCF（SAS）∴DG=DF,∠BDG=∠CDF∵∠EDF=60°∴∠BDE+∠CDF=60°∴∠BDE+∠BDG=60°即∠EDG=60°=∠EDF又∵DE=DE,DG=DF∴△EDG≌△EDF（SAS）∴EF=EG=BE+BG=BE+CF我愛展示證明：過D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD是∠A的平分線，∴DE=DC，由勾股定理得：AE2=AD2-DE2，AC2=AD2-DC2，∵AD=AD，DE=DC，∴AE=AC，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠EDB=45°=∠B，∴BE=DE=DC，∴AB=AE+BE=AC+CD，即AC+CD=AB．證明：方法1：在AB上取AE=AC，連接DE，∵AE=AC，∠1=∠2，且AD=AD，∴△ ≌△ （ ），∴ED=CD，∠ 又∵∠ =∠B+∠ ，∴∠B=∠ ，∴=ED，即△D為等腰三角形．∴=ED=CD，∴AB=AE+=AC+CD．方法2：延長AC到E，使=CD，連接則∠ =∠E∴∠ACB=∠ +∠E=2∠E∵∠ACB=2∠B∴∠B=∠E∵∠1=∠2，AD=AD∴△ ≌△AED∴AB=AE=AC+CD．延長BD到E點,使DE=DC,∵∠BDC=120度∴∠CDE=60°∴△CDE是等邊三角形∴∠ECD=60度,CD=CE∵∠BCE=∠ACD,又∵△ABC是等邊三角形,∴AC=BC,∴ACD≌△BCE∴AD=BE=BD+DE=BD+CD導(dǎo)學四例題1.解：∵∠1=∠2，CE⊥AB，CF⊥AD，又∵AC=AC，∴RT△ACF和RT△ACE∴CF=CE在RT△DCF和RT△ECB中，，∴RT△DCF≌RT△ECB（HL），∴BE=DF．2.（1）證明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中， ，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；證明：在△ADC和△CEB中， ，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；DE=BE﹣AD．易證得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．我愛展示1.(1)：∠B與∠AHD互補；(2)AG＝AH＋HD解析:證明：（1）在AB上取一點M,使得AM＝AH,連接DM.∵∠CAD＝∠BAD,AD＝AD,∴△AHD≌△AMD.∴HD＝MD,∠AHD＝∠AMD.∵HD＝DB,∴DB＝MD.∴∠DMB＝∠B.∵∠AMD＋∠DMB＝180(,∴∠AHD＋∠B＝180(.即∠B與∠AHD互補.（2）由（1）∠AHD＝∠AMD,HD＝MD,∠AHD＋∠B＝180(.∵∠B＋2∠DGA＝180(,∴∠AHD＝2∠DGA.∴∠AMD＝2∠DGM.∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.∴2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴∠DGM＝∠GDM.∴MD＝MG.∴HD＝MG.∵AG＝AM＋MG,∴AG＝AH＋HD.限時考場模擬1.D解析:試題分析：根據(jù)已知條件“AB=AC，D為BC中點”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分線分別交AC、AD、于點E、O、F，推出△AOE≌△EOC，從而根據(jù)“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到難，不重不漏．試題解析：∵AB=AC，D為BC中點，∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；2.證明：（1）∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，∵CE=DE，∴∠ECD=∠EDC，∴∠AEC=∠BED；(2）∵E是AB的點，∴AE=BE，在△AEC和△BED，，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC=BD．3.證明：∵BE=EC∠A=∠D=90°又∵∠AEB=∠DEC∴△AEB≌△DEC(AAS)∴AB=DC在△ABC和△DCBAB=DCBC=BC∴△ABC≌△DCB（HL）．4.△EHJ≌△FIH，理由：∵△EFG的三條邊相等，三個內(nèi)角也相等，∴∠E=∠F，EF=FG=EG，∵EH=FI=GJ，∴EJ=HF，在△EHJ和△FIH中，，∴△EHJ≌△FIH（SAS）