高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.4空間中的垂直關(guān)系11.4.2平面與平面垂直學(xué)案新人教B版必修第四冊

11．4.2平面與平面垂直課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中平面與平面的垂直的關(guān)系，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明．◆如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.2．從上述定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中平面與平面垂直的關(guān)系，歸納出以下判定定理.◆如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直.3．能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題．4．重點(diǎn)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)知識點(diǎn)一二面角1．二面角的定義從一條直線出發(fā)的____________所組成的圖形叫做二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個(gè)半平面稱為二面角的面．2．圖示與記法圖示記法二面角α-l-β或二面角P-AB-Q或二面角P-l-Q3.二面角的平面角定義圖示在二面角α-l-β的棱上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，分別在半平面α和β內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角4.平面與平面垂直(1)兩個(gè)平面垂直的定義如果兩個(gè)平面α與β______________________，則稱這兩個(gè)平面互相垂直，記作α⊥β.(2)畫法：兩個(gè)互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直．如圖所示．知識點(diǎn)二判定定理文字語言圖形語言符號語言如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條________，則這兩個(gè)平面互相垂直________?α⊥β知識點(diǎn)三平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在____________垂直于它們交線的直線________于另一個(gè)平面符號語言a⊥β，a圖形語言狀元隨筆若定理中的“交線”改為“一條直線”，結(jié)論會(huì)是什么？[提示]相交或平行．基礎(chǔ)自測1．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，二面角C1-BD-C的大小為________．2．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC3．下列四個(gè)命題中，正確的序號有________．①α∥β，β⊥γ，則α⊥γ；②α∥β，β∥γ，則α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，則α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，則α∥γ.4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是________課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1平面與平面垂直的判定例1如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上異于A、B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC.方法歸納證明面面垂直的方法(1)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”；(2)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面．跟蹤訓(xùn)練1如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．求證：平面AEC⊥平面PDB.題型2面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用例2如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是邊長為a的菱形且∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.狀元隨筆(1)菱形ABCD，∠DAB=60(2)要證AD⊥PB，只需證AD⊥平面PBG即可．方法歸納(1)面面垂直的性質(zhì)定理，為線面垂直的判定提供了依據(jù)和方法．所以當(dāng)已知兩個(gè)平面垂直的時(shí)候，經(jīng)常找交線的垂線，這樣就可利用面面垂直證明線面垂直．(2)兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，方法是在其中一個(gè)面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側(cè)面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求證：平面VBC⊥平面VAC.題型3垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【思考探究】試總結(jié)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．[提示]垂直問題轉(zhuǎn)化關(guān)系如下所示：例3(1)如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點(diǎn)，過A，D，N三點(diǎn)的平面交PC于M，E為AD的中點(diǎn)．求證：①EN∥平面PDC；②BC⊥平面PEB；③平面PBC⊥平面ADMN.狀元隨筆①證明EN∥DM；②由AD∥BC可證AD⊥平面PEB；③利用②可證PB⊥平面ADMN.(2)如圖，在多邊形PABCD中，AD∥BC，AB⊥AD,PA＝AB＝AD＝2BC，∠PAD＝60°，M是線段PD上的一點(diǎn)，且DM＝2MP，若將△PAD沿AD折起，得到幾何體P-ABCD.①證明：PB∥平面AMC；②若BC＝1，且平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P-ACM的體積．狀元隨筆①用線面平行的判定定理證明．②一方面要注意由平面PAD⊥平面ABCD推出BA⊥平面PAD；另一方面要注意VP-ACM＝VC-PAM.方法歸納垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化1．在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：2．解決折疊問題的策略(1)抓住折疊前后的變量與不變量，一般情況下，在折線同側(cè)的量，折疊前后不變，“跨過”折線的量，折疊前后可能會(huì)發(fā)生變化，這是解決這類問題的關(guān)鍵．(2)在解題時(shí)仔細(xì)審視從平面圖形到立體圖形的幾何特征的變化情況，注意相應(yīng)的點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系，線段的長度，角度的變化情況．狀元隨筆應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，注意三點(diǎn)：①兩個(gè)平面垂直是前提條件；②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線．跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)．①求證：PA⊥BD；②求證：平面BDE⊥平面PAC.(2)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，將△ABD沿對角線BD折起．設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.給出下面四個(gè)結(jié)論：①A′D⊥BC；②三棱錐A′BCD的體積為22；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC.其中正確的序號是題型4二面角的概念及大小的計(jì)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)例4如圖所示，四邊形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為62.求側(cè)面PAD與底面ABCD狀元隨筆一方面借助側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為62，求底面邊長和棱錐高的關(guān)系，另一方面要作出側(cè)面PAD與底面ABCD方法歸納1．求二面角大小的步驟簡稱為“一作二證三求”．2．作二面角的平面角的方法方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖所示，∠AOB為二面角α-a-β的平面角．方法二：(垂線法)過二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過垂足作棱的垂線，連接該點(diǎn)與垂足，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖所示，∠AFE為二面角A-BC-D的平面角．方法三：(垂面法)過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖所示，∠AOB為二面角α-l-β的平面角．提醒：二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面角的頂點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練4如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1B1的正切值．教材反思1．本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握兩個(gè)平面互相垂直的定義和畫法，理解并掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，并能解決有關(guān)面面垂直的問題．難點(diǎn)是綜合利用線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理解決關(guān)于垂直的問題．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)利用線面垂直的性質(zhì)證明平行問題．(2)應(yīng)用面面垂直的判定與性質(zhì)證明垂直問題．(3)掌握垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化中易出現(xiàn)轉(zhuǎn)化混亂錯(cuò)誤．溫馨提示：請完成課時(shí)作業(yè)(十九)11．4.2平面與平面垂直新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識點(diǎn)一1．兩個(gè)半平面4．所成角的大小為90°知識點(diǎn)二垂線l知識點(diǎn)三一個(gè)平面內(nèi)垂直a?α[基礎(chǔ)自測]1．解析：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接C1O.因?yàn)镃1D＝C1B，O為BD中點(diǎn)，所以C1O⊥BD.因?yàn)锳C⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角，在Rt△C1CO中，C1C＝2，可以計(jì)算出C1O＝22，所以sin∠C1OC＝C1CC所以∠C1OC＝30°.答案：30°2．解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC答案：D3．解析：③④不正確，如圖所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．答案：①②4．解析：因?yàn)棣痢挺?，α∩β＝l，n?β，n⊥l所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.答案：平行課堂探究·素養(yǎng)提升例1【證明】連接AC，BC，則BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A∴BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.跟蹤訓(xùn)練1證明：∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD∩BD＝D∴AC⊥平面PDB.又∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.例2【證明】(1)如圖，在菱形ABCD中，連接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD為正三角形，∵G是AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如圖，連接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G∴AD⊥平面PBG.而PB?平面PBG，∴AD⊥PB.跟蹤訓(xùn)練2證明：∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB.∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B∴VA⊥平面VBC，∵VA?平面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.例3【解析】(1)證明：①∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC.又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又∵N是PB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)．∴MN∥BC且MN＝12BC又∵E為AD的中點(diǎn)，∴MN∥DE，且MN＝DE.∴四邊形DENM為平行四邊形．∴EN∥DM，且EN?平面PDC，DM?平面PDC.∴EN∥平面PDC.②∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵側(cè)面PAD是正三角形，且E為AD中點(diǎn)，∴PE⊥AD，BE∩PE＝E，∴AD⊥平面PBE又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.③由②知AD⊥平面PBE，又PB?平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N為PB的中點(diǎn)，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN又∵PB?平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.(2)①連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接MO.因?yàn)锳D∥BC，所以△BCO∽△DAO，因?yàn)锳D＝2BC，所以DO＝2BO，因?yàn)镈M＝2MP，所以PB∥MO，因?yàn)镻B?平面AMC，MO?平面AMC，所以PB∥平面AMC.②因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝ADAB?平面ABCD,AB⊥AD，所以BA⊥平面PAD.因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD,AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD，則三棱錐C-PAM的高等于點(diǎn)B到平面PAD的距離，即BA＝2，因?yàn)镾△PAM＝13S△PAD＝13×12×AP×AD×sin60°＝33，所以VP-ACM＝VC-PAM＝13S跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)證明：①因?yàn)镻A⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC又因?yàn)锽D?平面ABC，所以PA⊥BD.②因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A所以BD⊥平面PAC.因?yàn)锽D?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.(2)因?yàn)锳D∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，所以∠ADB＝∠ABD＝45°，又因?yàn)椤螧CD＝45°，所以CD⊥BD，又因?yàn)槠矫鍭′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′D，若A′D⊥BC，則A′D⊥平面BCD，顯然不成立，故①錯(cuò)誤，③正確．因?yàn)锳D＝AB＝1，所以BD＝2，CD＝BD＝2，所以VA′-BCD＝VC-A′BD＝13×S△A′BD×CD＝13×12×1×1×2因?yàn)镃D⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B，又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D所以A′B⊥平面CDA′，又A′B?平面A′BC，所以平面A′BC⊥平面A′DC，故④正確．答案：(1)見解析(2)③④例4【解析】取AD中點(diǎn)M，連接MO，PM，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)A＝OD，所以O(shè)M⊥AD，因?yàn)镻O⊥底面ABCD，所以∠POA＝∠POD＝90°，所以△POA≌△POD，所以PA＝PD，所以PM⊥AD，所以∠PMO是側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的平面角，因?yàn)镻O⊥底面ABCD，所以∠PAO是側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，所以tan∠PAO＝62設(shè)正方形ABCD的邊