二輪復(fù)習(xí)梳理糾錯預(yù)測學(xué)案十一不等式（理）

專題11不等式

命題趨勢

不等式在高考當(dāng)中的考查主要是作為選考內(nèi)容，考查的重點(diǎn)為不等式的證明，絕對值不等式的解法，絕對

值三角不等式的應(yīng)用，恒成立問題，利用比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法證明不等式，柯西不等式

的應(yīng)用等，有時也會作為工具應(yīng)用在解題當(dāng)中，總體而言難度不大.

⑥一

考點(diǎn)潸單

知識點(diǎn)1.含絕對值不等式的解法

1.絕對值三角不等式

(1)定理1：如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a+b|4|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab20時，等號成立；

⑵性質(zhì)：|詞一聞<\a+b\<\a\+\b\;

(3)定理2:如果a,b,c是實(shí)數(shù),則|a-c|<\a-b\+\b-c\,當(dāng)且僅當(dāng)(a—b)(b—c)20時，等號成立.

2.絕對值不等式的解法

(1)含絕對值不等式閉<a,|x|>a的解法

不等式a>0a=0a<0

|x|<a{x\—a<x<a]00

\x\>a{x\x>a或x<—a]{x\xER,且無W0}R

(2)\ax+b\<c(c>0)和|ax+b\>c(c>0)型不等式的解法

①|(zhì)ax+b\<c—c<ax+b<c;

②|ax+b\>c^>ax+b>c或ax+b<-c.

(3)|x-a|+|x-b|>c(c>0)和-a|+|x-h|<c(c>0)型不等式的解法

解法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

解法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想；

解法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想.

知識點(diǎn)2:不等式的證明方法

1.基本不等式

定理一：設(shè)a,b€R,則a2+b222ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

定理二：如果a,b為正數(shù)，則巴心NJ茄，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

2

定理三：如果a,b,c為正數(shù)，則“+”+%正立,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立.

3

2.不等式的證明方法

(1)比較法

①作差比較：a>h<=>a—b>0,a<b<^>a—b<0;

②作商比較：a>b>Oo->l,a<b<0=%<1.

bb

(2)分析法：從待證的不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的

不等式；

(3)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理證明，推導(dǎo)出所要證明的不等式成

立；

(4)反證法

①作出與所證不等式相反的假設(shè)；

②從條件出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)論，否定假設(shè)，從而證明原不等式成立.

(5)放縮法：要證a<b,可尋找合適的中間量c有a<c,c<b,從而證得a<b.

寰

精題集訓(xùn)

(70分鐘)

?經(jīng)典訓(xùn)練題

一、選擇題.

I.若a,b&R,則“a+b>4”是“a,人至少有一個大于2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)a+b>4時，假設(shè)%人都不大于2,即aS2,b<2,

則a+bW4,這與a+b>4矛盾，

所以“a+b>4”是“a,b至少有一個大于2”的充分條件；

但是，當(dāng)人至少有一個大于2,如a=3,b=l,a+b=4,

所以“a+b>4”不是“a,b至少有一個大于2”的必要條件，故選A.

【點(diǎn)評】本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：

(1)若.是q的必要不充分條件，貝叼對應(yīng)集合是P對應(yīng)集合的真子集;

(2)若"是q的充分不必要條件，則p對應(yīng)集合是q對應(yīng)集合的真子集;

(3)若〃是q的充分必要條件，則〃對應(yīng)集合與q對應(yīng)集合相等;

(4)若〃是q的既不充分又不必要條件，則/，對的集合與q對應(yīng)集合互不包含.

2.(多選)若0<x<y<l,則下列結(jié)論正確的是。

A-logj一+一B-

(x”2

C.x"<y",〃GN"D.log*y>k)g.v*

【答案】ABC

l<-<-,所以‘+,>2

【解析】因?yàn)?<x<y<l,所以。<xy<l,2,

yxxy

11.2=log孫2-log9而=logQ2-1,故A正確;

所以log-+-

(xy)

因?yàn)?cx<y<l,所以x>0>x-y,所以故B正確；

因?yàn)?<x<y<l,所以0<xn<yn<l,neN*,故C正確；

因?yàn)?cx<y<l,所以0<logxy<log》％=1,logyx>log、y=1,

所以logxy<1<logyY,故D錯誤，

故選ABC.

【點(diǎn)評】本題主要考了均值不等式的使用條件，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題.

x+y-2>0

3.若x,y滿足約束條件<x—y+220,則z=x+3y的最大值為

x<2

【答案】14

【解析】由線性約束條件作出可行域如圖，

1z1

由z=x+3y可得y=+作直線=沿可行域的方向平移可知過點(diǎn)A時，

z=x+3y取得最大值，

x-y+2=Qfx=2,、

由《'c，可得《一所以A(2,4),所以Zmax=2+3x4=14,

x=21y=4

故答案為14.

【點(diǎn)評】線性規(guī)劃求最值的常見類型.

(1)線性目標(biāo)函數(shù)求最值：轉(zhuǎn)化為直線的截距問題，結(jié)合圖形求解；

(2)分式型目標(biāo)函數(shù)最值：轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率問題，結(jié)合圖形求解;

(3)平方型目標(biāo)函數(shù)求最值；轉(zhuǎn)為兩點(diǎn)間的距離問題，結(jié)合圖形求解.

三、解答題.

4.已知函數(shù)f(x)=|2x|+|x-l|,x6R.

(1)求〃x)N2的解集；

(2)若/。)=依有2個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)&的取值范圍.

【答案】(1){x|x21或x4—g}；(2)2<k<3.

—3x+1,x<0

x<00<x<1fx>l

【解析】⑴〃x)=?x+l,0<x<1,得4或v

-3x+l>2x+l>2[3x-l>2

3x—l,x>l

解得｛x|xNl或

所以/(x)22的解集是｛x|x21或xW-g｝.

⑵問題轉(zhuǎn)化為y=/(x)與丁=依有兩個交點(diǎn),

2-0

由圖易知：k2,k=k=3,k<k<k,即2<k<3.

OAT^oOBAC0A0B

【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程

的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)

數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解，此時需要根據(jù)零點(diǎn)

個數(shù)合理尋找“臨界”情況，特別注意邊界值的取舍.

5.已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|2%-3|.

(1)當(dāng)。=1時，求f(x)的最小值；

(2)當(dāng)xe?2a-2］時，不等式/(x)4卜+5|恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5(12

【答案】(1)最小值為二；(2)2,—

215

2—3%,x<-\

,3

【解析】⑴當(dāng)a=l時，〃x)=|x+l|+|2x—3|=<4—x,-1<A：<-,

2

3

3尤一2,x>—

2

由解析式可知，f(x)在(一8,-1)和-1,不上單調(diào)遞減，且在》=一1處連續(xù),

在(l，+8)上單調(diào)遞增，

355

故"X)在工=不處取得最小值，且/不二不，所以/(%)的最小值為;.

(2)vxE[a,2a—2],???2Q—2>Q,a>2,

又K€[Q,2a—2],x+a>0,2%—3>0,x+5>0,

???/(%)<|x+5|=>|x4-a|+\2x-3|<|x+5|^x+a+2x-3<x+5.

即aW-2x+8在％€[a,2Q-2]上恒成立，

令y=-2%+8在xw[a,2a-2]上單調(diào)遞減，ymin=-4?+12,

12

ci工-4Q4-12,解得ci<,

綜上，a的取值范圍為(2,弓.

【點(diǎn)評】本題考查分類討論解絕對值不等式，含有絕對值的不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法:

①分離參數(shù)a>/(x)恒成立(a>f(x)max即可)或a<八切恒成立(a<f(x)min即可)；

②數(shù)形結(jié)合(y=/(x)圖象在y=g(x)上方即可)；

③討論最值f(X)min或f(X)max恒成立.

6.已知函數(shù)“"=卜一詈+|2%+1|,記-X)最小值為上

(1)求火的值；

(2)若a,b,c為正數(shù)，且圖+(￡|+]"=1.求證：

J(2+a)(2-a)+J(2+b)(2叫+J(2+c)(2-c)〉口

a+h+c

【答案】(1)2;(2)證明見解析.

[3131

【解析】⑴當(dāng)xv—大時，/(-^)=—x+——2x—1=—3x+—>—+—=2;

2''2222

,13一「/、3cl515c

2222

331

當(dāng)龍〉2時，f(x)—x—~+2x+1=3x-萬>4.

所以/(%)最小值為2=2.

(2)由題得M+b2+c2=4,

J（2+a）（2-a）+J（2+人）（2/Q+J（2+C）（2C）++

o+b+ca+b+c

________________a+ba+ch+c

揚(yáng)+，2+J/+c2+,/+/、6+O+五=

a+h+ca+b+c

【點(diǎn)評】不等式的證明常用的方法有：(1)比較法；(2)綜合法；(3)分析法；(4)反證法；(5)數(shù)學(xué)歸納法;

(6)放縮法.要根據(jù)已知條件靈活選擇合適的方法證明.

7.設(shè)不等式I|久+1|一氏一1|1<2的解集為人

(1)求集合4

，、一、r\-ClhCI

(2)右a,b,cEA,證明：------>1.

ab-c

【答案】(1)A={x|-l<x<l}；(2)證明見解析.

2,x>1

【解析】⑴由題意得，令〃月=卜+1卜|%—1|=卜乂T<x<L

-2,x—1

由|/(x)|<2,得一1cx<1,即4={巾-1(尤<1}.

（2）要證1￡0>1,只需證|1-abc\>\ab-c\,

ab-c

222222

只需1+片/72c2>ab+c,只需證1-a2b2>c（l-ab）,

只需證（l-a2b2）（1-?2）>0.

2

由a,b,ceA,得a2b2<i,c<1,所以（1-a2b2）（1-c?）>0恒成立,

1-ahc,

綜上,------>1.

ab-c

【點(diǎn)評】本題第二問考查分析法證明不等式，關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為|l-abc|>|ab-c|,兩邊平方后,

分解因式，再利用(1)的結(jié)論證明.

8.已知函數(shù)/'(x)=|2x+1|+|4x-5|的最小值為M.

(1)求“；

(2)若正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=2M,求：(a+1產(chǎn)+(b-2>+(c-3>的最小值.

7

【答案】（1）M=-；（2）3.

2

1

—6x+4,x<——

2

15

【解析】(1)/(x)=-2x+6,——<x<—,如圖所示:

24

6九一4,

77

"f(\x)/mi.n=—2，,M=—2.

(2)由(1)知a+b+c=7,

[(o+1)+(b-2)+(c—?3)]2

=(a+I)2+(b-2)2+(c-3)2+2(a+l)(b—2)+2(a+l)(c—3)+2(b-2)(c—3),

[(a+b+c)-4產(chǎn)<3[(a+1)^+(b—■2)2+(c—3)2],

A[7-4]2<3[(a+l)2+(b-2)2+(c-3)2],

.?.(a+I)2+(b-2)2+(C-3)2>3,當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b=3c=4時值最小,

(a+I)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值為3.

【點(diǎn)評】本題考查絕對值函數(shù)及平方平均數(shù)與算數(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知函數(shù)/(x)=|x-4|-|2x+4].

(I)解不等式〃x)23;

(2)若/(x)的最大值為m,且a+2b+c=m,其中a20,b>0,c>3,求(a+1)(6+l)(c-3)的最大值.

【答案】⑴[-5,-1]；⑵4.

【解析】(1),,/(x)=|x-4|-|2x+4|,/(x)>3,

x>4f-2<x<4x<-2

故，或，或，-5Wx<—1,

-x-8>3—3x23x+823

故不等式的解集為.

(2)由題意知/(%)的最大值為6,故a+2b+c=6,

.?.(〃+l)+(2b+2)+(c-3)=6,

.<7>0,Z?>0,c>3,?,?Q+1>0,4-2>0,c—3>0,

11(a+l)+(20+2)+(c-3)1

.?.(a+l)3+l)(c-3)=5(a+l)(20+2)(c-3)^——小上一，△——L=4,

當(dāng)且僅當(dāng)a+l=2b+2=c-3,即。=1,b=0,c=5時等號成立，

，(a+l)(b+l)(c-3)的最大值為4.

【點(diǎn)評】本題考查了絕對值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想,

屬于中檔題.

?高頻易錯題

一、填空題.

,____15

1.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝(nGN*)滿足。7=。6+2￡15，若存在兩項(xiàng)%n，%使得Ja,an=4al,則一+一的

nmn

最小值為.

7

【答案】-

4

【解析】丫正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝滿足:。7=。6+2。5，???%q6=ad+2%q4,

又a-O,q>0,解得q=2,

,存在兩項(xiàng)am,a?使得Jam。"=4%,

.a/qm+n-2=i6aj,即2''""2=i6,加+〃=6,

151z/I5/〃、、1(仆In5nl),也

—I—=—I—=—6H---1-->—6+2J-------=1-1-----,

mn6\mn)6vm\mnJ3

A?5

當(dāng)且僅當(dāng)一二—,即一二，5取等號，但此時加，〃任N*.

mnm

又m+n=6,

YI15

當(dāng)一=5,即?n=l,九=5時，一+—=2,

mmn

當(dāng)°=2,即根=2,〃=4時，—+—,

mmn4

1577

則一+一的最小值為:，故答案為了.

m〃44

【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和基本不等式，實(shí)際上應(yīng)用基本不等式是本題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，關(guān)鍵注意當(dāng)兩

個數(shù)字的和是定值，要求兩個變量的倒數(shù)之和的最小值時，要乘以兩個數(shù)字之和，是中檔題.

二、解答題.

b1

2.已知Q+b=l,VQ,bW(O,+8)_+g2|2x-2|+,”恒成立.

b1

(1)若Q>0,h>0,求一+:的最小值；

ab

(2)求無的取值范圍.

-4"

【答案】(1)3;(2)0,-?

【解析】⑴因?yàn)?+；=2+牛=2+￡+122、反+1=3,

ababab\ab

取等號時2=f,即a=b=[,所以2的最小值為3.

ab2ab

b]

(2)因?yàn)閂a,b€(0,+8),一■Fg2|2x-2|+k+l|恒成立，

所以(,+1]|2元一2氏+1，而恒成立，即|2x—2|+|%+1|43,

當(dāng)久<一1時，2-2x-x-l<3,此時無解；

4

當(dāng)x>1時，2x—2+x+l<3,解得1<%(1；

當(dāng)-1WXW1時，2-2x+x+lW3,解得OWxWl,

_41

綜上可知：”的取值范圍為0,-.

【點(diǎn)評】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積

的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求

的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

。精準(zhǔn)預(yù)測題

一、選擇題.

x+y-l>0

l.已知％,y滿足約束條件(x-3y+3Z0,則目標(biāo)函數(shù)z=/+y2的最小值為。

x-y-l<0

J21

A.B.-C.1D.V2

22

【答案】B

-x+y-l>0

【解析】畫出｛x-3y+3NO所表示的可行域如下圖所示：

x-y—1<0

目標(biāo)函數(shù)z=/+y2代表的幾何意義是原點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方,

由圖可知：原點(diǎn)到直線x+y-1=0的距離|0P|最短,

_1-1101

又1,原點(diǎn)到X+丫-1=0距禺。=,=《-,二Zmin=萬，故選B.

【點(diǎn)評】線性規(guī)劃求最值的常見類型.

(1)線性目標(biāo)函數(shù)求最值：轉(zhuǎn)化為直線的截距問題，結(jié)合圖形求解；

(2)分式型目標(biāo)函數(shù)最值：轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率問題，結(jié)合圖形求解;

(3)平方型目標(biāo)函數(shù)求最值；轉(zhuǎn)為兩點(diǎn)間的距離問題，結(jié)合圖形求解.

2.關(guān)于X的不等式|x+log2%|<W+|log2x|的解為()

A.0<x<2B.0<x<1C.x<2D.x>1

【答案】B

【解析】根據(jù)對數(shù)式有意義，可得x>0,

不等式k+logz.<N+|lOg2H等價(jià)于X-log2^<0,

所以log2》<0,解得。<x<l,故選B.

【點(diǎn)評】該題考查的是有關(guān)求不等式的解集的問題，在解題的過程中，注意到“1叱2》<0是解題的關(guān)鍵?

二、解答題.

3.已知函數(shù)f3)=|x+1|.

(1)解不等式/(%)

(2)已知/%+〃=1(加>(),〃>()),若一求證|x+d-/(工)<工+'-2.

mn

【答案】(1)-(2)證明見解析.

【解析】(1)f(x)<4-|2x—1|等價(jià)于|x+l|<4-|2x-1|,

44

當(dāng)》<—1時，原不等式化為一(％+1)<4+(2%—1),即x>一耳，—w<x<—1；

當(dāng)一IWxW」時，原不等式化為％+IV4+(2%-1),即不>-2,.?.一14工工」；

22

1-414

當(dāng)x>—時，原不等式化為％+1V4—2%+1,即x<一,「,一<x<一,

2323

綜上可得，原不等式的解集為

(2)證明：+Q|-/(%)=|久+a|一忱+1|W|(x+a)—Q+1)|=|a-1|,

—13,-2<a—1<2,EP|a-11<2,

|x+a|—/(x)<2,

m+n=l(m>0,H>0),

11m-\-nm+nnm

—+-=----+-----=2+—+—>4A,

mnmnmn

—I---222,+a]—/(X)W—I----2.

mnmn

【點(diǎn)評】本題主要考查了絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.已知函數(shù)/(%)=/一一1|-1,aGR.

(1)當(dāng)a=2時，解不等式/(%)+/(2)卜0;

(2)對任意的xe|,+co^,/(x)Na|x+1H亙成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴(―℃,-1-6][―i+G,+°°)；⑵°0,五,

【解析】(1)當(dāng)a=2時,/(x)=x2-2|x-l|-l,.-./(2)=1,

則不等式/(*)+/⑵之。為#2-2區(qū)一1|NO,

當(dāng)％時，/一2|久一1|NO為2X+2N0恒成立，.?.久之1;

當(dāng)工<1時,/—2|x—1|20為％?—2x+2之0,

解得x<-1-遮或x>-l+V3,

*,.%<-1—或-1+V3<x<1,

綜上，不等式f(x)+f(2)>0的解集為卜j[—l+G,+w).

(2)不等式f(x)>a\x+1|等價(jià)于%2-a|x-1|-1>a\x+1|,

2-l「3、

即a<---xj—：----1對任意的XG二,+Q0H亙成立，

|x-l|+|x+l|12J

即aV—=±J對任意的xG：,+℃)恒成立，

x-l+x+i2x2(x)[2)

■.?函數(shù)y在區(qū)間|■,+oo)上單調(diào)遞增，最小值為:(二一|^=三，

21X)|_2)2(23)12

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(HO,2.

【點(diǎn)評】解絕對值不等式的常用方法：

(1)基本性質(zhì)法：a為正實(shí)數(shù)，|x|<a=-a<x<a,|x|>a<=>x<-a或x>a；

(2)平方法：兩邊平方去掉絕對值，適用于|x-a|<|x-b|或|x-a|>|x-b|型的不等式的求解；

(3)分類討論法(零點(diǎn)分區(qū)間法)：含有兩個或兩個以上絕對值的不等式，可用分類討論法去掉絕對值，將其

轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對值符號的不等式求解；

(4)幾何法：利用絕對值不等式的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離問題求解；

(5)數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中，作出不等式兩邊所對應(yīng)的兩個函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解.

5.已知函數(shù)“盼=優(yōu)-2|+1+2|.

(1)求不等式/。)22%+4的解集；

(2)若f(x)的最小值為k,且實(shí)數(shù)a,b,c,滿足a(b+c)=k,求證：2a2+b2+c2>8.

【答案】(1)(-8,0];(2)證明見解析.

【解析】(1)①當(dāng)》<—2時，不等式即為一2x22久+4,解得xW—l,

②當(dāng)一2<xW2時，不等式即為422x+4,%<0,-2<%<0;

③當(dāng)x>2時，不等式即為2x22x+4,XG0,