二次函數(shù)與平行四邊形含矩形菱形正方形的存在性問題（教師版）

專題10二次函數(shù)與平行四邊形含矩形菱形正方形的存在性問題（解析版）

第一部分德國荊析+變穴訓殊

類型一二次函數(shù)與平行四邊形的存在性問題

典例1（2022?攀枝花）如圖，二次函數(shù)），=/+法+（:的圖象與x軸交于O（O為坐標原點），A兩點，且二

次函數(shù)的最小值為-1,點他）是其對稱軸上一點，y軸上一點8（0,I）.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點P,連結(jié)以，PB,設(shè)點P的橫坐標為K△以B的面積為S,

求S與r的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在二次函數(shù)圖象上是否存在點N,使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，

直接寫出所有符合條件的點N的坐標，若不存在，請說明理由.

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意知，二次函數(shù)頂點為（1,-1）,設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-1）2-1,將點

B（010）代入得，a-1=0,即可得出答案；

（2）連接OP,根據(jù)題意得點A的坐標，則S—S/^AOB+SAOAP-S^OBP，代入化簡即可；

（3）設(shè)N（小“2一2”），分4B或AN或AM分別為對角線，利用平行四邊形的性質(zhì)和中點坐標公式,

分別求出〃=的值，進而得出答案.

解：（1）?.,二次函數(shù)的最小值為-1,點M（1,〃?）是其對稱軸上一點，

.?.二次函數(shù)頂點為（1,-1）,

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-1）2-1,

將點。（0,0）代入得，a-1=0,

Ay=(x-1)2-1=/-2x；

，x=0或2,

??.A(2,0),

點P在拋物線y=7-2x上，

???點P的縱坐標為尸-2，，

S=SJ^AOI^-S^OAP-SM)BP

=^x2x1+^x2(-?+2f)—i/

=-?+]+1;

(3)設(shè)N(%/-2〃)，

當4?為對角線時，由中點坐標公式得，2+0=1+小

n=\r

：.N(1,-1),

當AM為對角線時，由中點坐標公式得，2+1="0,

：.N(3,3),

當AN為對角線時，由中點坐標公式得，2+〃=0+1,

.,.n--1>

：.N(-I,3),

綜上：N（1,-1）或（3,3）或（-1,3）.

總結(jié)提升：本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，平行四邊形

的性質(zhì)等知識，運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

變式訓練

1.（2022?貴港模擬）如圖，拋物線丫=0?+以+6與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,已知點A坐標

為（-2,0）,點8坐標為（6,0）.對稱軸/與x軸交于點F,P是直線上方拋物線上一動點，連接

PB,PC.

（1）求拋物線的表達式；

（2）當四邊形ACPB面積最大時，求點尸的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接PF,E是x軸上一動點，在拋物線上是否存在點。，使得以F、P、E、Q

為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，說明理由.

備用圖

思路引領(lǐng)：（1）用待定系數(shù)法即可得拋物線的表達式為

（2）連接AC、OP,過P作軸于從在產(chǎn)一#+2x+6中得C（0,6）,設(shè)P（m,-獷+2而+6）,

S四邊影ACPB=S/\AOC+SACOP+SABOP=—楙（〃[-3）2+孕，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)及得答案：

115

（3）設(shè)E（〃，0）,Q（b—才+2什6）,又P（3,一）,分三種情況：

22

（2+九=￡+31r

①當ER尸。為對角線時，￡尸、尸。的中點重合，乙工15,解得Q（歷+2,一三）

（U十U=一十十b十~2~/

或（-VH+2,一芋）；

（2+t=n+315

②當FQ、EP為對角線時，F(xiàn)Q、EP的中點重合，1,2-A15,解得Q（1,?。?；

（-2t十十b二U十2

f2+3=n+tis

③當FP、EQ為對角線時，L,15_1.2解得。（1，—

（U十—u—2t■十十O2

解：(1)將A(-2,0),B(6,0)代入yn/+fer+G得:

(4a—2b+6=0,解得k=T,

(36Q+6b+6=0

U=2

???拋物線的表達式為尸-吳+%6；

(2)連接AC、OP,過P作尸軸于H,如圖:

在y=-52+2￥+6中，令x=0得y=6,

AC(0,6),

VA(-2,0),B(6,0),

，OC=6,04=2,08=6,

設(shè)尸(〃?，—^/??2+2/n+6),

:?S四邊形

]1]]

=2x2X6+2x6m+2X6(-2〃?2+2〃?+6)

3

=6+3加一9+6/〃+18

39

=-+9/〃+24

3/2J5

=一)\tJi~3?+-2~，

3

V-^<U,

75

???當"2=3時，S四邊形ACP8取最大值，最大值是三;

1r1?>

此時一2m+6=—2x3~+2X3+6=

工)的坐標為(3,—)；

2

(3)在拋物線上存在點。，使得以廣、/，E、。為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：

由拋物線y=-1?+2x+6與x軸交于力(-2,0),B(6,0)兩點可得對稱軸是直線廣二空=2,

?22

AF(2,0),

115

設(shè)￡(〃，0),Q6—1+02什6),又P(3,—),

22

①當E尺P。為對角線時，EF、的中點重合，

(2+九=t+3

',[0+0=—^t24-2t+6+竽'

角軍得u歷+2或,=-V31+2,

Q(—31+2,-苧^或(-V3C+2,-"^)；

②當"2、E尸為對角線時，F(xiàn)Q、EP的中點重合，

(2+￡=n+3

?，(-#+2t+6=0+導

解得/=1或，=3(與尸重合，舍去)，

15

:Q(L萬)；

③當/P、EQ為對角線時，F(xiàn)P、E。的中點重合，

(2+3=ri+t

"(0+y=0-1t2+2t+6，

解得/=1或/=3(舍去)，

15

??Q(1,——)，

2

綜上所述，。的坐標是(同+2,-苧)或(-V31+2,一學)或(1,y).

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法、四邊形面積、平行四邊形性質(zhì)及應用等，解

題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點坐標和相關(guān)線段的長度.

類型二二次函數(shù)與矩形存在性問題

典例2(2022?綏化)如圖，拋物線y=a/+〃x+c交y軸于點A(0,-4),并經(jīng)過點C(6,0),過點A作

軸交拋物線于點B,拋物線的對稱軸為直線x=2,。點的坐標為(4,0),連接A。，BC,BD.點

E從A點出發(fā)，以每秒企個單位長度的速度沿著射線A。運動，設(shè)點E的運動時間為〃?秒，過點E作

EF1AB于F,以E尸為對角線作正方形EGFH.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點G隨著E點運動到達3c上時，求此時，”的值和點G的坐標；

(3)在運動的過程中，是否存在以8,G,C和平面內(nèi)的另一點為頂點的四邊形是矩形，如果存在，直

接寫出點G的坐標，如果不存在，請說明理由.

備用圖

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=2,可得出拋物線與x軸的另一個交點的坐標為(-2,0),

列出交點式，再將點A(0,-4)可得出拋物線的解析式；

(2)根據(jù)可得出是等腰直角三角形，再根據(jù)點E的運動和正方形的性質(zhì)可得出點H,F,G的坐

標，根據(jù)點8,C的坐標可得出直線BC的解析式，將點G代入直線BC的解析式即可；

(3)若存在，則△BGC是直角三角形，則需要分類討論，當點8為直角頂點，當點G為直角頂點，當

點C為直角頂點，分別求解即可.

解：⑴?..拋物線的對稱軸為直線x=2,C(6,0),

.?.拋物線與x軸的另一個交點為(-2,0),

二拋物線的解析式為：y=a(x+2)(x-6),

將點A(0,-4)解析式可得，-12。=-4,

._1

一3"

二拋物線的解析式為：y=i(x+2)(jc-6)=ii-2-1r-4.

(2)軸，A(0,-4),

???點8的坐標為(4,-4).

?.,￡>(4,0),

且

：.AB=BD=4fNABD=90°,

???△ABO是等腰直角三角形，ZBAD=45°.

AZAFE=90°,

???△AEF是等腰直角三角形.

VAE=yj2tn,

.\AF=EF=m,

:.E(m,-4+m),F(m,-4).

???四邊形EGFH是正方形，

??.AEHF是等腰直角三角形，

,NHEF=NHFE=45°,

???/7/是N4FE的角平分線，點”是AE的中點.

11、31

:?H(-m,-4+RH),G(-m,-4+-^m).

2222

?:B(4,-4),C(6,0),

???直線8C的解析式為：y=2x-12.

Q1

當點G隨著E點運動到達BC上時，W2x1/n-12=-4+1/n.

解得m=竽.

24I?

：.G(—,一容.

55

(3)存在，理由如下：

31

VB(4,-4),C(6,0),G(-/?b-4+%).

22

：.BG2=2+(-m)2,

22

BC?=(4-6)2+(-4)2=20,

Cd=(6-|/T7)2+(4-排)2.

若以B,G,C和平面內(nèi)的另一點為頂點的四邊形是矩形，則aBGC是直角三角形,

分以下三種情況：

①當點B為直角頂點時，BG2+Bd=CG2,

(4—Iwi)2+(―m)2+20=(6—薪)2+(4—i/n)2,

2222

解得m=

，G(￡,一郡；

②當點。為直角頂點時，BC2+CG2=BG2,

?**20+（6一堤，九）？+（4-）2=（4-（―，〃）1

2222

解得"?二卷；?G（羨，-1）；

③當點G為直角頂點時，BG2+CG2=BC2,

：?（4—xw）~+（一m）~+（6—號％）2+（44—i/w）2=20,

2222

解得“=9或2,

、—368

.'.G（3,-3）或（一，一三）；

5$

綜上，存在以B,G,C和平面內(nèi)的另一點為頂點的四邊形是矩形，點G的坐標為（昔，-當）或（與，

-1）或（3,-3）或（拳-|）.

總結(jié)提升：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)與判定，矩形的

性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，分類討論等知識，解題關(guān)鍵是由點E的坐標得出點H,F,

G的坐標.本題第（3）問當點8和點C為直角頂點時，也可通過一次函數(shù)和幾何結(jié)合求解.

變式訓練

1.（2022?黔西南州）如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點A（4,0）的直線A8與y軸交于點8（0,4）.經(jīng)

過原點O的拋物線y=-7+bx+c交直線AB于點A,C,拋物線的頂點為D.

（1）求拋物線y=-^+bx+c的表達式；

（2）M是線段AB上一點，N是拋物線上一點，當MN〃y軸且MN=2時，求點M的坐標；

（3）P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內(nèi)一點.是否存在以點A,C,P,。為頂點的四邊形是

矩形？若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)將點4、。的坐標分別代入拋物線解析式，解方程即可；

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=fcv+〃，利用待定系數(shù)法求出解析式，再表示出MN,然后根據(jù)MN=2解

方程可得答案；

(3)分AC為邊和對角線兩種情況進行討論：根據(jù)平移的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)和判定，兩點的距離

公式可得結(jié)論.

解：(1)：拋物線y=-r+bx+c過點A(4,0)和O(0,0),

.(-16+4b+c=0

'*tc=0'

解得：?=2

(c=0

二拋物線的解析式為：y=-f+4x；

(2)?.?直線AB經(jīng)過點A(4,0)和8(0,4),

直線A8的解析式為：y=-x+4,

軸，

設(shè)-r+4),N(t,-r+4t),其中0WfW4,

當M在N點的上方時

MN=-f+4

當用在N點下方時

MN=-r+4t-(-/+4)=-r+5t-4=2,

解得：fl=2,〃=3,

:.Mi(2,2),M3(3,1),

5-V173+-717

綜上，滿足條件的點M的坐標有三個(------，------)或(2,2)或(3,1)；

22

(3)存在，

①如圖2,若AC是矩形的邊，

設(shè)拋物線的對稱軸與直線4B交于點R,且R(2,2),

過點C,A分別作直線AB的垂線交拋物線于點Pi,P2,

'：C(1,3),D(2,4),

/.CD=J(2—+(4-3/=72,

同理得：C/?=V2,RD=2,

.,.CN+CR^DR2,

.*.Z/?CD=90o,

二點Pl與點。重合,

當CP1〃AQ,CPi=AQi時，四邊形ACPQ是矩形，

VC(1,3)向右平移1個單位，向上平移1個單位得到P(2,4),

(4,0)向右平移1個單位，向上平移1個單位得到(5,1),

此時直線PiC的解析式為：y=x+2,

:直線尸2A與尸C平行且過點A(4,0),

直線P2A的解析式為：y=x-4,

:點P2是直線y=x-4與拋物線y=-X2+4X的交點,

-x1+4x—x-4,

解得：x\--[,X2=4（舍）,

:.Pi(-I,-5),

當AC〃P20時，四邊形ACQP2是矩形，

VA(4,0)向左平移3個單位，向上平移3個單位得到C(1,3),

：.Pl(-I,-5)向左平移3個單位，向上平移3個單位得到02(-4,-2)；

②如圖3,若4c是矩形的對角線，

設(shè)心-nr+Am)

當NAP3c=90°時，過點尸3作軸于H，過點C作CKLP3”于K,

：.ZP3KC=ZAHP?,=90a,NP3CKjAP3H,

.?.△P3CKSZMP3，，

P3KAH

，

??CK-P3W

.-m2+4m-34-m

m-1-m2+4m1

??,點戶不與點A,C重合，

.?./nWl或

ITT-3m+l=O,

?3±v"5

?.加=一^一,

.3+V^5+V53—5-^5

，如圖4,滿足條件的點尸有兩個，即P3（—―，——）?尸4（――，——），

2222

當尸3C〃AQ3，尸3c=4。3時，四邊形AP3CQ3是矩形,

3+V^等)向左平移竽個單位,向下平移芋個單位得到CU，3),

,：P3(

2

(4,0)向左平移與立個單位,向下平移芳名個單位得到。3(后^，1-遙)

2

當P4C〃AQ4，P4C=AQ4時，四邊形AP4CQ4是矩形,

3^y[S5—\/5-1+V5

VP4()向右平移?個單位，向上平移個單位得到C(1,3),

222

—1+V"^>1+5/5^7+^^1+V5

.??4(4,0)向右平移二一個單位，向上平移一萬一個單位得到。4(―-

7-V51-V5_7+V51+V5

綜上，點Q的坐標為(5,1)或(-4,-2)或(-----,-----)或(-----,-----).

2222

總結(jié)提升：本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相

似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)等知識，正確畫圖，并運用分類討論的思想是

解本題的關(guān)鍵.

類型三二次函數(shù)與菱形的存在性問題

典例3(2022?煙臺)如圖，已知直線)，=$+4與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過

A,C兩點，且與x軸的另一個交點為8,對稱軸為直線x=-l.

(1)求拋物線的表達式:

(2)。是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點。的橫坐標為⑶求四邊形ABCQ面積S的最大值及此時。

點的坐標:

(3)若點尸在拋物線對稱軸上，是否存在點P,Q,使以點A,C,P,Q為頂點的四邊形是以AC為對

角線的菱形？若存在，請求出P,Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)先求得A,C,8三點的坐標，將拋物線設(shè)為交點式，進一步求得結(jié)果；

(2)作￡>F_LA8于F,交AC于E,根據(jù)點。和點E坐標可表示出OE的長，進而表示出三角形AOC

的面積，進而表示出S的函數(shù)關(guān)系式，進一步求得結(jié)果；

(3)根據(jù)菱形性質(zhì)可得力=PC,進而求得點尸的坐標，根據(jù)菱形性質(zhì)，進一步求得點。坐標.

解：(1)當工=0時，y=4,

：.C(0,4),

4

當y=0時，r+4=0,

73

-3,

?"(-3,0),

???對稱軸為直線l=-1,

：.B(1,0),

二?設(shè)拋物線的表達式：y—a(x-1)*(x+3),

A4=-3a,

.4

?"=F

，拋物線的表達式為：)=(x-1)e(x+3)=一表2_++4；

(2)如圖1,

484,

?\D(/%,—oTH2—O/H+4),E(加，一團+4),

333

?4,8/4、4a

—k〃任(一〃？+

??DE=-334-34)=-k3"-4m,

SA/IDC=2DE0A=1*(—-4加)=-2m2-6tn,

11

:S&ABC=^AB?OC=/4x4=8,

〉3、)25

**?S=~2"廣-6/%+8=-2(〃z+])~+-2~9

當zn=-1時,S最大=竽，

當m=-*時，y=-gx(―—1)x(―?+3)=5,

3

D(-2，5)；

(3)存在點尸和點。，使以點A,C,P,Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形，理由如下:

設(shè)P(-1,〃)，

???以A,C,P,。為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形，

：.PA=PC,

即：PA2=PC2,

(-1+3)2+M2=1+(n-4)2,

??"EQ=XA+XC，Q=yA+yc

13IQ

，碩=_3_(-1)=-2,y0=4g-=百，

19

Q(-2,-).

8

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，勾股定理，菱形性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌

握相關(guān)二次函數(shù)和菱形性質(zhì).

變式訓練

1.(2022?朝陽)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=o?+2x+c與x軸分別交于點A(1,0)和點8,

與y軸交于點C(0,-3),連接BC.

(1)求拋物線的解析式及點8的坐標.

(2)如圖，點尸為線段BC上的一個動點(點P不與點B,C重合)，過點尸作y軸的平行線交拋物線

于點Q,求線段尸。長度的最大值.

(3)動點P以每秒立個單位長度的速度在線段BC上由點C向點B運動，同時動點M以每秒1個單位

長度的速度在線段B。上由點8向點O運動，在平面內(nèi)是否存在點N,使得以點P,M,B,N為頂點的

四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)將A,C兩點坐標代入拋物線的解析式求得a,c的值，進而得出解析式，當y=0時,

求出方程的解，進而求得B點坐標;

(2)由B,C兩點求出BC的解析式，進而設(shè)出點P和點Q坐標，表示出PQ的長，進一步得出結(jié)果;

(3)要使以點P,M,B,N為頂點的四邊形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分為

PM=PB和8P=8M,結(jié)合圖象，進一步得出結(jié)果.

解：（1）山題意得,

(c=-3

IQ+2X1+C=0'

?\y=x^+2x~3,

當y=0時，X2+2X-3=0,

?=1,X2=_3,

:.B(-3,0)；

(2)設(shè)直線8。的解析式為：y=kx+b,

.(b=-3

,，t-3fc4-b=0，

?fk=-1

?4=-3'

...y=-x-3,

設(shè)點尸(孫-M-3),Q("?,/+2"?-3),

39

x2

22-)+-

:?PQ=-(W+2W-3)=-zn-3m=-2z4

QQ

當"?=-2時'PQ坡大=不

：.OB=OC=3,

??./OC3=NOBC=45°,

作軸于。，

Z.CD=PD=PC-sinZOCB=夜tx孝=r,

當8M=PM時，，

：.ZMPB=ZOBC=45°,

,/NPMO=ZPDO=ZMOD=90°,

，四邊形OMPO是矩形,

：?OM=PD=t,

由BM+OM=OB得，

A2r=3,

:?N(-3,-4),

當PM=PB時，作PD±y軸于。，作PE-Lx軸于E,

；.BM=2BE,

可得四邊形PDOE是矩形，

：.OE=PD=t,

：.BE=3-t,

：.t=2(3-r),

Ar=2,

：.P(-2,-1),

：.N(-2,1),

如圖3,

圖3

當尸8=M3時，

3V2-V2t=t,

.,?/=6-3V2,

：.P（3或一6,3-3或），

:.N（0,3-3或），

綜上所述：N（-3,-1）或（-2,1）或（0,3-3V2）.

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的分

類和等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出符合條件的圖形.

類型四二次函數(shù)與正方形的存在性

典例4（2022?修水縣二模）已知二次函數(shù)Ci：y^mx2-2mx+3（m#0）.

（1）有關(guān)二次函數(shù)Ci的圖象與性質(zhì)，下列結(jié)論中正確的有.（填序號）

①二次函數(shù)Ci的圖象開口向上；

②二次函數(shù)Ci的圖象的對稱軸是直線x=l；

③二次函數(shù)Ci的圖象經(jīng)過定點（0,3）和（2,3）；

④函數(shù)值y隨著x的增大而減小.

（2）當機=1時，①拋物線Ci的頂點坐標為:

②將拋物線Ci沿x軸翻折得到拋物線C2,則拋物線C2的表達式為

（3）設(shè)拋物線。與y軸相交于點E,過點E作直線/〃x軸，與拋物線。的另一交點為F,將拋物線

Ci沿直線/翻折，得到拋物線C3,拋物線。，C3的頂點分別記為P,Q.是否存在實數(shù)m,使得以點E,

F,P,。為頂點的四邊形為正方形？若存在，請求出機的值；若不存在，請說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，逐項判斷即可得答案；

(2)當機=1時，y=7-2x+3,①配成頂點式可得拋物線Ci的頂點坐標為(1,2),②求出拋物線C2

的頂點為(1,-2),即得拋物線C2的表達式為y=-(x-1)2-2=-?+2r-3,

(3)求出E(0,3),F(2,3),P(1,3-加，由尸，。關(guān)于直線y=3對稱，得Q(l,3+/n),而EF,

尸?；ハ嗥椒郑琒.EFLPQ,故以點E,F,P,Q為頂點的四邊形為正方形，只需PQ=EF,即有|(3+m)

-(3-m)|=2,可解得答案.

解：(1)當,〃>0時，拋物線y=〃u;2-2,〃x+3的開口向上，故①不一定正確；

拋物線y—mjc2-2mx+3的對稱軸為直線x=—"察^=1,故②正確；

在2??x+3中，x=0時y=3,x=2時y=3,即拋物線-2，〃x+3經(jīng)過定點(0.3)和(2,

3),故③正確；

二次函數(shù)y^mx2-2"a+3的值在對稱軸x=\兩側(cè)的增減性恰好相反，故④不正確；

故答案為：②③；

(2)當，”=1時，y—x2-2x+3.

①力=7-右+3=(%-1)2+2,

二拋物線Ci的頂點坐標為(1,2),

故答案為：(1,2)；

②：將拋物線Ci沿x軸翻折得到拋物線C2，

...拋物線C2的頂點為(1，-2),

拋物線C2的表達式為y=-(X-1)2-2=-7+2r-3,

故答案為：y--x2+2x-3；

(3)存在實數(shù)加，使得以點￡F,P,。為頂點的四邊形為正方形，理由如下:

如圖：

在y=nv?-2s+3中，令x=0得y=3,

：.E(0,3),

,/拋物線y=mx2-2mx+3的對稱軸為直線x=\,

：.F(2,3),

在y—m^~2〃?x+3中，令x=1得y=3-m.

：.P(1,3-M,

,:P,。關(guān)于直線y=3對稱，

Q(1>3+〃？),

由對稱性知EF,PQ互相平分，且所，尸Q,

以點E,F,P,。為頂點的四邊形為正方形，只需尸Q=EF,

(3+m)-(3-m)|=2,

解得m=l或tn--1,

：.m的值為1或-I.

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及翻折變換，正方形等相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的

性質(zhì)和二次函數(shù)相關(guān)的性質(zhì).

第二部分專題理憂別綜

1.(2022春?渝中區(qū)月考)如圖1,在直角坐標系中，拋物線Ci：y=o?+bx+3(a#0)與x軸交于A,8兩

點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點C,已知tan/CAO=2,B(4,0).

(1)求拋物線Ci的表達式；

(2)若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點P作PE〃x軸交BC于點E,求PE的最大值及此時點產(chǎn)

的坐標；

(3)如圖2,點尸是BC上一點，OF平分△COB的面積，將拋物線Ci沿射線CB方向平移，當拋物線

恰好經(jīng)過點時，停止運動，記平移后的拋物線為已知點是原拋物線上的動點，在拋物線

FC2.MCi

C2的對稱軸上是否存在一點M使得以點C、B、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接

(2)過點P作P尸〃y軸交直線8c于點巴利用相似，將PE的最值轉(zhuǎn)化成P尸的最值，再利用配方求

PF的最值即可；

(3)平行四邊形兩定兩動問題，①以MN、BC為對角線，則MN的中點即是8C中點，②以NC、BM

為對角線，則NC中點即是8M中點，③以NB、CM為對角線，分別列方程組即可求解.

解：(1)在中，令x=0得y=3,

：.C(0,3),OC=3,

VtanZC4O=2,

CO

-=2,

AO

3

：.AO=邑

3

2f0)，

?:B(4,0),

，設(shè)y=a(x+RO-4),

將C(0,3)代入得：a=

1Q1C

Ay=-2(^+2)(%-4),即y=-+3,

(2)過點尸作PF〃y軸交直線BC于點E如圖:

?；P￡〃x軸，尸尸〃y軸，

，/PEF=NCBO,ZEFP=/BCO,

：./\CBO^AFEPf

*PEPF

OBOC

(PEPF

??—f

43

4

???PE=1PF,

1c

設(shè)P(?n,-27712+4m+3)，

由3(4,0)、C(0,3)得直線8c解析式為：y=-1x+3,

3

-+

4rn3)

4153

2

--+-

324

4128

22222nH

--+2-+-

323Tn3Tn—q(m2-4m)=—q(m2—4m4-4—4)=-^(AH-2)

Q7

:.當m=2時,PEmax=2,此時P(2,分；

(3)存在，理由如下：

；0/平分△C08面積，

；.尸為3c中點，即F(2,1),

由題意可知，拋物線Ci沿射線C8平移，且過點尸，則C平移至點F時，向右平移2個單位，再向下平

移;個單位，

2

二?C2解析式為：y=一：(%—2/+氫％—2)+3—方，即y=—3。+竽4-3,

."2的對稱軸為：X=芋,

...渝(苧，t),M(〃，一32+或+3),而c(0,3),B(4,0),

①以MN、BC為對角線，則MN的中點即是BC中點，如圖:

?'?N弓’-郭

如圖:

39

332

4一

③以NB、CM為對角線，如圖:

.?.綜上所述：滿足條件的N點坐標為：（］，一弱）或（］，一券或N（―,-美）.

總結(jié)提升：此題主要涉及二次函數(shù)的平移，左加右減自變量，上加下減常數(shù)項，二次函數(shù)求線段最值問

題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，列方程組.

2.（2019?荊州）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點A,C的坐標分別為（6,0）,（4,

3）,經(jīng)過B,C兩點的拋物線與x軸的一個交點。的坐標為（1,0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若N4OC的平分線交BC于點E,交拋物線的對稱軸于點F,點P是x軸上一動點，當PE+PF的

值最小時，求點尸的坐標；

（3）在（2）的條件下，過點A作OE的垂線交8c于點H,點M,N分別為拋物線及其對稱軸上的動

點，是否存在這樣的點M,N,使得以點M,N,H,E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫

思路引領(lǐng)：(1)由平行四邊形0A8C的性質(zhì)求點8坐標，根據(jù)拋物線經(jīng)過點B、C、。用待定系數(shù)法求

解析式.

(2)由0E平分NAOC易證得NCOE=NAOE=NO￡C,故有CE=OC,求得點E坐標，進而求得直線

0E解析式.求拋物線對稱軸為直線x=7,即求得點尸坐標.作點E關(guān)于x軸的對稱點點￡,由于點P

在x軸上運動，故有PE=PE,所以當點尸、尸、E在同一直線上時，PE+PF=PE+PF=FE最小.用待

定系數(shù)法求直線EF解析式，即求得EF與x軸交點P的坐標.

(3)設(shè)A”與0E相交于點G,且G的橫坐標為f,即能用f表示OG、4G的長，由AH_LOE于點G,

根據(jù)勾股定理可得AG2+OG2=OA2,把t代入解方程即求得/的值即求得點G坐標.待定系數(shù)法求直線

AG解析式，令尸3時求x的值即為點H坐標.故可得HE=9-5=4,且點H、E關(guān)于直線x=7對稱.由

于以點M,N,H,E為頂點的平行四邊形中，H、E固定，以"E為平行四邊形的邊或?qū)蔷€進行分類

討論.①以HE為邊時，可得MN且MN=”E,故可得點M橫坐標為3或11,代入拋物線解析式

即求得縱坐標.②以HE為對角線時，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得點M在拋物線對稱軸上，求

頂點即可.

解：(【)?.?平行四邊形048C中，A(6,0),C(4,3)

：.BC=OA=6,8(?〃》軸

.".XB—XC+6—10,yB=yc=3,BPB(10.3)

設(shè)拋物線)，=a/+/u+c經(jīng)過點8、C、D(1,0)

1

a=

100a+10b+c=3~9

,14

/?16a+4b+c=3解得h=T

a+b+c=013

c=F

拋物線解析式為＞=-#+呈Lm

(2)如圖1,作點E關(guān)于x軸的對稱點連接E1F交x軸于點P

VC(4,3)

：.OC=V424-32=5

U：BC//OA

：.ZOEC=ZAOE

YOE平分N40C

?,.ZAOE=ZCOE

：.ZOEC=ZCOE

：.CE=0C=5

：.xE=xc+5=9f即E(9,3)

直線OE解析式為y=#

14

???直線OE交拋物線對稱軸于點F,對稱軸為直線：無=--J=7

2x(4)

7

：.F(7,-)

3

???點E與點￡關(guān)于x軸對稱，點尸在x軸上

：.E(9,-3),PE=PE

???當點RP、E在同一直線上時，PE+PF=PE+PF=FE最小

設(shè)直線￡尸解析式為了=履+〃

(9k+h=-3

?”—7解得:k=--

?[?7k+h=可

h=21

???直線￡尸：y=—1x+21

當一氏+21=0時，解得：x=

63

...當PE+PF的值最小時，點尸坐標為(可，0).

(3)存在滿足條件的點M,M使得以點M,N,H,E為頂點的四邊形為平行四邊形.

設(shè)AH與OE相交于點G|f),如圖2

于點G,A(6,0)

ZAGO=90°

：.AG1+OG2^OA2

(6-r)2+(L)2+P+/)2=62

33

...解得：0=0(舍去)，短=等

279

AG(——，一)

55

設(shè)直線AG解析式為y=dx+e

(6d+e=0(

???怛d+et解得：｛:d=-3

e=18

直線AG：y=-3x+18

當y=3時，，-3x4-18=3,解得：x=5

：.H(5,3)

:.HE=9-5=4,點、H、E關(guān)于直線x=7對稱

①當”E為以點用，N,H,E為頂點的平行四邊形的邊時，如圖2

則MN=HE=4

??,點N在拋物線對稱軸：直線l=7上

;?項=7+4或7-4,即XM=11或3

出H1，14）1320

當x—3時，yM=-gx9+x3—g-=可

20320

（3,—）或（11,—）

99

②當HE為以點M,N,H,E為頂點的平行四邊形的對角線時，如圖3

則”E、MN互相平分

?.?直線x=7平分HE,點F在直線x=7上

.?.點M在直線x=7上，即M為拋物線頂點

.114_13.

??加=-gX49+-g-X7--g-=4

：.M（7,4）

2020

綜上所述，點M坐標為（3,一）、（11,一）或（7,4）.

99

總結(jié)提升：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平行線性質(zhì)，角平分線定義，等腰

三角形性質(zhì)，軸對稱求最短路徑，解二元一次方程，勾股定理，解一元二次方程.其中第（2）題由軸對

稱求最短路徑和第（3）題已知平行四邊形的兩頂點固定、求另兩個頂點位置，都是函數(shù)與幾何綜合題里

的?？碱}型.

3.（2022?倉山區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，直線/：）=營-3與x軸交于點A,經(jīng)過點A的拋

物線y=ajr-3x+c的對稱軸是直線x=|.

(1)求拋物線的解析式；

(2)平移直線/經(jīng)過原點0,得到直線〃1,點P是直線機上任意一點，軸于點B,PCJ_y軸于點

C,若點E在線段02上，點F在線段0C的延長線上，連接尸E,PF,且PE=^PF,求證PEPF.

(3)若(2)中的點P坐標為(6,2),點E是x軸上的點，點尸是)，軸上的點，當PELP尸時，拋物

線上是否存在點Q,使得四邊形PEQF是矩形？如果存在，請求出點。的坐標，如果不存在，請說明理

思路引領(lǐng)：(1)求出4(4,0),將點A代入拋物線解析式，再由對稱軸是％求解函數(shù)解析式即可；

PCPB

(2)設(shè)P(3a,a),則PC=3a,PB=a,由題意可得一=——，則NFPC=NEP8,再證明NFPC+N

PFPE

CPE=90°,即可得到尸P_LPE；

(3)分兩種情況討論：①點E在點B的左側(cè)時，設(shè)E(a,0),可求F(0,20-3”)，由矩形的性質(zhì)可

得空生=寫空，Qy^y=§受，求Q點坐標再代入函數(shù)解析式即可求解；②當點E在點B的右

側(cè)時，設(shè)E(a,0),可求F(0,20-3a),求。點坐標再代入函數(shù)解析式即可求解；

14

(1)解：當y=0時，=0,

解得工=4,

AA(4,0),

；拋物線過點4對稱軸是工=|,

(16a—12+c=0

得-3_3,

^2a~2

解得

...拋物線的解析式為y=/-3x-4；

(2)證明：?.?平移直線/經(jīng)過原點。，得到直線加，

直線m的解析式為y=

:點P是直線1上任意一點