圓錐曲線的最值問題常見類型及解法

關(guān)于圓錐曲線的最值問題常見類型及解法第1頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三類型一:兩條線段最值問題利用圓錐曲線的定義求解根據(jù)圓錐曲線的定義，把所求的最值轉(zhuǎn)化為平面上兩點之間的距離、點線之間的距離等，這是求圓錐曲線最值問題的基本方法。關(guān)鍵：用好圓錐曲線的定義第2頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例1、已知點F是雙曲線的左焦點，定點A（1，4），P是雙曲線右支上動點，則的最小值為

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思維導(dǎo)圖：根據(jù)雙曲線的定義，建立點A、P與兩焦點之間的關(guān)系兩點之間線段最短FAPyx第3頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例1、已知點F是雙曲線的左焦點，定點A（1，4），P是雙曲線右支上動點，則的最小值為

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解析：設(shè)雙曲線右焦點為F/FAPyx第4頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例2：如圖，由橢圓的定義：橢圓上的點到兩個定點之間的距離為定值|MF|+|MF’|=10|MF|+|MA|=10-|MF’|+|MA|=10+(|MA|-|MF’|)≤10+|AF’|因此，當(dāng)|AF’|最大時，|MA|+|MF|是最大值。具體解題過程如下：已知橢圓的右焦點F，且有定點A（1，1），又點M是橢圓上一動點。問|MA|+|MF|是否有最值，若有，求出最值并指出點M的坐標(biāo)分析：第5頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三則F’的坐標(biāo)為(－4,0)解：設(shè)橢圓的左焦點為F’由橢圓的定義得：|MF|+|MF’|=10|MF|+|MA|=10-|MF’|+|MA|連AF’，延長交橢圓于M’則||MA|-|MF’||≤|AF’|當(dāng)且僅當(dāng)M,A,F’三點共線時，等號成立。∴|MA|-|MF’|的最大值為|AF’|，這時M與M’

重合∵|AF’|=∴|MF|+|MA|的最大值為要使|MF|+|MA|最大，即要使|MA|-|MF’|最大，問題：本題解題到此結(jié)束了嗎？最小值為第6頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三變式訓(xùn)練：已知P點為拋物線上的點，那么P點到點Q（2，-1）的距離與P點到拋物線焦點的距離之和的最小值為___，此時P點坐標(biāo)為_.Qxy第7頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三類型二：圓錐曲線上點到某條直線的距離的最值切線法當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上點到某條直線的距離的最值時，可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩平行線間的距離就是所求的最值，切點就是曲線上去的最值時的點。第8頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例1：在圓x2+y2=4上求一點P，使它到直線L：3x-2y-16=0的距離最短。略解：圓心到直線L的距離d1=所以圓上的點到直線的最短距離為d=d1-r思考：例1是否還有其他解題方法？問題：直線L的方程改為3x-2y-6=0，其結(jié)果又如何？第9頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三∴圓上的點到直線的最短距離即為兩平行直線間的距離另解：設(shè)平行于直線L且與圓相切的直線方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0∵直線與圓相切∴△=36m2-52(m2-16)=0m=±∴m2=52，代入圓x2+y2=4整理得：第10頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例2、求橢圓上的點到直線的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標(biāo).思維導(dǎo)圖：求與平行的橢圓的切線切線與直線的距離為最值，切點就是所求的點.xyo第11頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例2、求橢圓上的點到直線的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標(biāo).解：設(shè)橢圓與平行的切線方程為第12頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三變式訓(xùn)練：

動點P在拋物線上，則點P到直線的距離最小時，P點的坐標(biāo)為_________.第13頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例3求點到橢圓上點的最大距離，并求出此時橢圓上的點的坐標(biāo)。本題可以根據(jù)橢圓的方程設(shè)出滿足條件的點的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點間的距離公式借助于二次函數(shù)求出此最大值，并求出點的坐標(biāo)。分析：類型三：圓錐曲線上點到x軸（Y軸）上某定點的距離的最值第14頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三此時，所以的最大值為即此時Q的坐標(biāo)為：設(shè)點Q(x,y)為橢圓上的任意一點，則又因為x2=4-4y2所以（－1≤y≤1）解：例3求點到橢圓上點的最大距離，并求出此時橢圓上的點的坐標(biāo)。第15頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三思考題：第16頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三變式訓(xùn)練：

已知雙曲線C：，P為C上任一點，點A（3，0），則|PA|的最小值為________.第17頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例1：已知拋物線y2=4x，以拋物線上兩點A(4,4)、B(1,-2)的連線為底邊的△ABP，其頂點P在拋物線的弧AB上運動，求：△ABP的最大面積及此時點P的坐標(biāo)。

動點在弧AB上運動，可以設(shè)出點P的坐標(biāo)，只要求出點P到線段AB所在直線AB的最大距離即為點P到線段AB的最大距離，也就求出了△ABP的最大面積。要使△ABP的面積最大，只要點P到直線AB的距離d最大。設(shè)點P()解：由已知：

|AB|=2x-y-4=0直線AB：*解題過程如下：*分析：類型四第18頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三d=由已知：－2＜y＜4∴dmax=此時，y=1,x=d=∴點的坐標(biāo)為(，1)∴Smax=第19頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三我們可以連接AB，作平行AB的直線L與拋物線相切，求出直線L的方程，即可求出直線L與AB間的距離，從而求出△ABP面積的最大值和點P的坐標(biāo)。分析：y2-2y+2m=0設(shè)直線L與拋物線y2=4x相切，直線AB：2x-y-4=0直線L的方程為：2x-y+m=0（*）△=4-8m=0,m=此時，y=1,x=∴直線L的方程為：2x-y+=0兩直線間的距離d=另解：把（*）代入拋物線的方程得其他過程同上。第20頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三回顧反思與能力提升：1、此法用了哪種數(shù)學(xué)思想方法？2、有沒有別的辦法？3、要注意畫出草圖，根據(jù)圖形確定何時取最大值，何時取最小值.第21頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三類型五:基本不等式法先將所求最值的量用變量表示出來，再利用基本不等式求這個表達(dá)式的最值.這種方法是求圓錐曲線中最值問題應(yīng)用最為廣泛的一種方法.第22頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例4、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點A（2，0）、B（0，1）是它的兩個頂點，直線與橢圓交于E、F兩點，求四邊形AEBF面積的最大值.AFEBxy思維導(dǎo)圖：用k表示四邊形的面積根據(jù)基本不等式求最值第23頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例4、設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點A（2，0）、B（0，1）是它的兩個頂點，直線與橢圓交于E、F兩點，求四邊形AEBF面積的最大值.解析：依題意設(shè)得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為直線AB、EF的方程分別為設(shè)第24頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三根據(jù)點到直線距離公式及上式，點E、F到AB的距離分別為∴四邊形AFBE的面積為第25頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三第26頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三變式訓(xùn)練：

已知橢圓的左右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓于B、D兩點，過F2的直線交橢圓于A、C兩點，且AC⊥BD，求四邊形ABCD面積的最小值.第27頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三方法四:函數(shù)法把所求最值的目標(biāo)表示為關(guān)于某個變量的函數(shù)，通過研究這個函數(shù)求最值，是求各類最值最為普遍的方法.關(guān)鍵：建立函數(shù)關(guān)系式第28頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三例5、點A、B分別是橢圓的長軸的左右端點，F(xiàn)為右焦點，P在橢圓上，位于x軸的上方，且PA⊥PF若M為橢圓長軸AB上一點，M到直線AP的距離等于|MB|.求橢圓上點到點M的距離的最小值.xyABFMP思維導(dǎo)圖：把所求距離表示為橢圓上點的橫坐標(biāo)的函數(shù)求這個函數(shù)的最小值第29頁，講稿共33頁，2023年5月2日，星期三解析：由已知可得點A(-6，0)、F(4,0),設(shè)點P(x,y)，則由(1)、(2)及y>0得∴A