黑龍江省哈爾濱市華夏中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

黑龍江省哈爾濱市華夏中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，則?的值為(

)A．1 B．﹣1 C． D．﹣參考答案：A【考點】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計算題；對應(yīng)思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】運(yùn)用數(shù)量積公式則?=||?||COS60°求解即可．【解答】解：∠A=60°，||=2，||=1，則?=||?||COS60°=2×1×=1故選：A【點評】本題考察了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于簡單計算題，關(guān)鍵記住公式即可．2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=|1﹣i|+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z為（）A．﹣i B．+i C．1 D．﹣1﹣2i參考答案：A【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的模的計算公式、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足=|1﹣i|+i=+i，則復(fù)數(shù)z=﹣i．故選：A．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的模的計算公式、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.已知為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且對于任意恒成立，則A.B.C.D.參考答案：A略4.“關(guān)注夕陽、愛老敬老”—某馬拉松協(xié)會從2013年開始每年向敬老院捐贈物資和現(xiàn)金.下表記錄了第x年與捐贈的現(xiàn)金y(萬元)的對應(yīng)數(shù)據(jù)，由此表中的數(shù)據(jù)得到了y關(guān)于x的線性回歸方程，則預(yù)測2019年捐贈的現(xiàn)金大約是(

)34562.5344.5

A.5萬元 B.5.2萬元 C.5.25萬元 D.5.5萬元參考答案：C【分析】由已知求出，代入回歸直線的方程，求得，然后取，求得的值，即可得到答案.【詳解】由已知得，，所以樣本點的中心點的坐標(biāo)為，代入，得，即，所以，取，得，預(yù)測2019年捐贈的現(xiàn)金大約是萬元.【點睛】本題主要考查了線性回歸方程以及應(yīng)用，其中解答中熟記回歸直線的方程經(jīng)過樣本中心點是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)為非零向量，則以下說法不正確的是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．“”是“存在，使得”的充分不必要條件D．“”是“”的既不充分也不必要條件參考答案：C6.設(shè)，若集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集，若命題：，則A．：

B．：C．：

D．：參考答案：C7.函數(shù)，集合，，則右圖中陰影部分表示的集合為

（

）A.

B.

C.D.參考答案：D8.設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．參考答案：D9.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B10.二項式展開式中的常數(shù)項是A．第7項

B．第8項

C．第9項

D．第10項參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)f（x）=kx2﹣kx，g（x）=，若使得不等式f（x）≥g（x）對一切正實數(shù)x恒成立的實數(shù)k存在且唯一，則實數(shù)a的值為

．參考答案：2【分析】根據(jù)題意：g（x）=lnx（x≥1），圖象過（1，0），所以二次函數(shù)圖象過（1，0），即k=1，可得函數(shù)f（x）=x2﹣x，當(dāng)0＜x＜1時，要使f（x）對一切正實數(shù)x恒成立，即x2﹣x≥﹣x3+（a+1）x2﹣ax．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：由題意：函數(shù)f（x）=，g（x）=，當(dāng)g（x）=lnx（x≥1），圖象過（1，0），使得不等式f（x）≥g（x）對一切正實數(shù)x恒成立的實數(shù)k存在且唯一，即kx2﹣kx﹣lnx≥0，令m（x）=kx2﹣kx﹣lnx≥0則m′（x）=2kx﹣k﹣≥0．實數(shù)k存在且唯一，當(dāng)x=1時，解得k=1．即k=1．可得函數(shù)f（x）=x2﹣x．當(dāng)0＜x＜1時，要使f（x）≥g（x）對一切正實數(shù)x恒成立，即x2﹣x≥﹣x3+（a+1）x2﹣ax．令h（x）=x2﹣ax+a﹣1≥0，∵對一切正實數(shù)x恒成立且唯一，∴△=a2﹣4（a﹣1）=0，解得：a=2．故答案為：2．12.橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個交點發(fā)射的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光先經(jīng)過橢圓的另一個交點，現(xiàn)設(shè)有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程，點A和B是它們的兩個交點，當(dāng)靜止的小球放在點A處，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點A時，小球經(jīng)過的路程是

參考答案：2或18或2013.設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對任意，若經(jīng)過點的直線與軸的交點為，則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為，例如，當(dāng)時，可得，即為的算術(shù)平均數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，為的幾何平均數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)時，為的調(diào)和平均數(shù)；（以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可）參考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)

（或填(Ⅰ)；(Ⅱ)，其中為正常數(shù)均可）14.已知函數(shù)，則參考答案：由題意，，表示以原點為圓心,以為半徑的圓的一段弧與軸所圍成的圖形的面積,其面積為.

15.如果將函數(shù)f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的圖象向左平移個單位所得到的圖象關(guān)于原點對稱，那么φ=．參考答案：【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得φ的值．【解答】解：將函數(shù)f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的圖象向左平移個單位，所得到y(tǒng)=sin[3（x+）+φ]=sin（3x++φ）的圖象，若所得圖象關(guān)于原點對稱，則+φ=kπ，k∈Z，又﹣π＜φ＜0，∴φ=﹣，故答案為：．【點評】本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．16.在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，則b=_______。參考答案：417.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是________(用“<”連接)

參考答案：∵，，∴；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式；（Ⅱ）若函數(shù)的最大值為M，設(shè)，且，求的最小值.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值為2【分析】（Ⅰ）采用零點分段的方法解不等式；（Ⅱ）計算出的最大值，再利用基本不等式求解的最小值.【詳解】（Ⅰ）由題意當(dāng)時，，可得，即.當(dāng)時，，可得，即.當(dāng)時，，可得，即.綜上，不等式的解集為.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函數(shù)的最大值，且，即，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立，可得，即，因此的最小值為2.【點睛】（1）解絕對值不等式，最常用的方法就是零點分段：考慮每個絕對值等于零時的值，再逐段分析；（2）注意利用，求解最值.19.選修4—1：幾何證明選講如圖，已知直線與圓相切于點，經(jīng)過點的割線交圓于點和點，∠的平分線分別交，于點和。（Ⅰ）證明：∠=∠；（Ⅱ）若,求的值。

參考答案：∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．

………9分在Rt△ABC中，=,∴=．

………10分

20.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)證明：參考答案：（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d.

由即d=1.所以即

………6分（2）證明：，

………12分21.已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】計算題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．【分析】（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，讓其大于0求出增區(qū)間，小于0求出減區(qū)間即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）先求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)函數(shù)，分情況討論讓其大于0求出增區(qū)間，小于0求出減區(qū)間即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）先把f（x0）＜g（x0）成立轉(zhuǎn)化為h（x0）＜0，即函數(shù)在[1，e]上的最小值小于零；再結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)論分情況討論求出其最小值即可求出a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），當(dāng)a=1時，f（x）=x﹣lnx，，x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）

極小

所以f（x）在x=1處取得極小值1．（Ⅱ），①當(dāng)a+1＞0時，即a＞﹣1時，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，所以h（x）在（0，1+a）上單調(diào)遞減，在（1+a，+∞）上單調(diào)遞增；②當(dāng)1+a≤0，即a≤﹣1時，在（0，+∞）上h'（x）＞0，所以，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（III）在[1，e]上存在一點x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一點x0，使得h（x0）＜0，即函數(shù)在[1，e]上的最大值小于零．由（Ⅱ）可知①即1+a≥e，即a≥e﹣1時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以h（x）的最小值為h（e），由可得，因為，所以；②當(dāng)1+a≤1，即a≤0時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以h（x）最小值為h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；③當(dāng)1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1時，可得h（x）最小值為h（1+a），因為0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+