數(shù)學講稿與作業(yè)中科大數(shù)學系

1§7.3微積分的根本定理定理7.6假設函數(shù)在有限閉區(qū)間上可積,那么定義在上的函數(shù)(通常稱為的變上限的積分)必滿足Lipschitz條件,因而是連續(xù)函數(shù).證:記.,有,故.□定理7.7假設函數(shù)在有限閉區(qū)間上可積,在處連續(xù),那么定義在上的函數(shù)在處可導,并且.證明:,使得當時成立,故當時成立,容即究盆.候□泰定理酬7.鞭8(屈微積葛分的禮根本軟定理體)竟假設函噴數(shù)段在區(qū)猛間巡上連鄉(xiāng)續(xù)查,吐固定遵,使那么定皮義在言上的毀函數(shù)錘是腸的原墊函數(shù)抖.些證:冬侍由定骨理7日.7填.躺□屆定理蜻7.抹9淺(微故積分景根本稠定理燈的休另一呢形式逼)另假設設是區(qū)索間沉上的秤可導突函數(shù)繼,并削且傳的變爺上限朱的積戴分存皇在垃,樸固定至,那么歪都成綿立.辱證:漸由私定理它7.從1的致推廣簽.旦□緊注記簡堵通常業(yè)也將叔Ne隔wt牽on擾-L烏ei眉bn菊iz郵公式全稱為球微積截分的純根本及定理峽.微否積分乓的基困本定嶺理表田明:至一屢、位區(qū)間男上的稼連續(xù)生函數(shù)費一定透有原然函數(shù)嚼,并語且原果函數(shù)珍之一留就是暗變上腸限的仙積分獵；雙二、關區(qū)間酸上的娛可導賣函數(shù)恐可以挨通過訪其商導函桃數(shù)的鬧變上窩限徹的娛積分醉來表擁示紐(假醋定導倍函數(shù)漆的變異上限卵的豆積分削存在知).玉命題百假設懼是迫區(qū)間通上美的抱連續(xù)樓函數(shù)惠,肆是捉區(qū)間策上懲的可溉導函活數(shù),順滿足玩,那么假設定義杜在煙上的少函數(shù)惠是可弓導函妥數(shù),過并且.境證:閘竿固定暗,記侮,那么,微故絲堪陣要.超□國例批設函艷數(shù)顫在醬上連盲續(xù)可杠導移(意伏思是悼)填,輪,并捧且悄.求籃證:爽志.寇證:蜻令呢,那么銜.再錘令度,那么謙.注襪意到舅,便四知脆.再推注意梅到斗,效便知石,猜因而鄭在膀上遞章增斯.派□褲練習灣題7漢.3姨(斬)法1(哨2,趴3)谷,3斬,4蹄,5于,6差,7招.視問題凳7.矮3(趙)鏡1,事3,佳4,圖7.幸§貴7.圖4運分部匙積分冰法滅與換叼元豐積分茶法溝命題紡1(其分部技積分鑄法)潮名假設六函數(shù)養(yǎng)都在存有限靈閉區(qū)余間偵上可嫌導,亮并且蒼都在斃上可亭積,黃那么.蒼證:齡長由N飾ew裁to儀n-條Le愈ib辨ni左z公疊式,滔對棋兩邊挑積分尼便得.□駝例1搏求死郵,揀,憐.肚解:臺強記盲,新顯然鵝桃.色當蚊時有.制故帥慈偵膛.掘從而筍縫錘；.□劍定理歐7.律10稼(帶復積分盲余項揚的T才ay摟lo而r定陵理亡)們假設陣函數(shù)含在胞區(qū)間塌上柱階可許導德,貼并且姨的變趟上限妄的積峽分存斷在,送固定色,饑那么女,成濃立等偉式.表稱燃為積綁分余虛項.證:.□更注記枯7.喚帶夫積分成余項鄰的T巾ay型lo塵r定扶理也淺可看棵作是月一種鴨變形絹的帶閣Ca噸uc亞hy風余項犯的T呆ay炊lo哈r定娛理.叛(對嶄滿足積介值勤定理塊的封函數(shù)閉和虧不變棵符號絡的函漠數(shù)折應用瀉第一去積分孔中值露定理泉,定).薄定理斃7.三11怨(能靈推廣惱到多毀元函番數(shù)的敲換元蕉積分炕法)朵境假設函促數(shù)辭在區(qū)沖間暑上連麻續(xù),粉函數(shù)商在認上嚴攻格遞擴增,均并且技,那么.撇證:穩(wěn)由蜂的分切割殺,廳,可自動俊地捐確定廁了瑞的分惠割社,榜,其敏中婦.顯馳然當押時必恩有役.由勞La崇gr親an鉆ge針中值碰定理屯,可惠取宅使得,.周由量嚴格櫻遞增績可知里,總.孝于是票,在歉等式邪的兩混邊同是時等令陶便得坑到,包即逢王專.姜□峽定理來7.略1瘦(互僅對界1豆元函滑數(shù)駕有效袍的換郊元積害分法茅)杜假設記是尚區(qū)間際上垂的連云續(xù)函男數(shù)疫,正是伯上平的備函數(shù)但,并組且勝,那么.持證:很任泡取值在匪上的米原函社數(shù)舊,那么芒有.□塌命題販2說假設函組數(shù)械在避上連榮續(xù),饞那么感(1鑄)怨；(巖2)柱季.花證:霉(1狂)徹作變買換具,那么航有.眾(2飽)惡作變井換釣,那么柳有.章故庸問.象□員命題耕3劉假設奴是以掘正數(shù)炕為周庸期的堆連續(xù)騾函數(shù)渣,那么意,成脖立等雪式.談證:壞作頂變換薪,那么路有.□準命題欣4毛奶(1箭)生假設牧是壞上的陡連續(xù)達奇函些數(shù),凱那么糞；背(2展)捷假設切是碧上的惠連續(xù)賓偶函銜數(shù),漿那么展.新證:月作變竄換株,那么獻有氧(1當)矛.蹤(2術).□貌例盆2(畏一個綱錯誤販的證射明)售設塘是開耐區(qū)間堆上的色連續(xù)耗函數(shù)念,委,求虎證:巴.穗證:交(1治)汗(錯壩誤的迷).皂(2坦)(挨正確該的)糊任侵取焦在劈上的顯原函伙數(shù)患,作險變換看,數(shù)那么優(yōu)有,故.劫