時間序列方法之卡爾曼濾波

1第十三章卡爾曼濾波在本章中，我們介紹一種被稱為卡爾曼濾波的十分有用的工具。卡爾曼濾波的根本思想是將動態(tài)系統(tǒng)表示成為一種稱為狀態(tài)空間表示的特殊情形?？柭鼮V波是對系統(tǒng)線性投影進行序列更新的算法。除了一般的優(yōu)點以外，這種算法對計算確切的有限樣本預(yù)測、計算GaussARMA模型確實切似然函數(shù)、估計具有時變參數(shù)的自回歸模型等，都提供了重要方法?！?3.1動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示我們已經(jīng)介紹過一些隨機過程的動態(tài)表示方法，下面我們在以前的假設(shè)根底上，繼續(xù)分析動態(tài)系統(tǒng)的表示方法。13.1.1繼續(xù)使用的假設(shè)切假設(shè)千表示匙時刻潮觀測允到的斃n訓(xùn)維隨熟機向懇量，挨一類式非常簡豐富腿的描謹(jǐn)述待動態(tài)衣性的罪模型專可以愧利用餡一些旬可能歷無法錫觀測喊的被繪稱為鐵狀態(tài)碗向量加(s允ta混te娛v徹ec綿to芬r)拴的還r問維向泡量捐表示念，因蝦此表京示盈動態(tài)悠性的仗狀態(tài)沸空間形表示褲(s光ta技te財-s歲pa世ce甲r忠ep趴re噸se簡nt質(zhì)at槳io糖n)核由下呼列方蒼程系訴統(tǒng)給進出：恰狀態(tài)廊方程土(s煉ta既te神m深od坊el總)慌究編曉贈巨豈勝昨賠(1攏3.西1)膜量測顯方程友(o侍bs誦er中va性ti仆on壤m(xù)鄙od叢el破)誤免與用龍句(同13跪.2杯)廳這耗里特，期和翁分別葛是階殲數(shù)為報，揮和醒的參熔數(shù)矩企陣，質(zhì)是顛的外圍生或侵者前曉定變飽量。肉方內(nèi)程(護13閱.1叔)被饅稱為昌狀拐態(tài)方竄程(僅st特at伶e醒mo乓de虧l)獄，方莖程(衣13濁.2德)被階稱為估量測六方程匙(o木bs計er紹va往ti漲on城m噴od種el刪)，雪維向垮量獨和勿維向鳴量渠都是尖向量粘白噪饞聲，內(nèi)滿足究：幻黑念筑三墳港存詠竭匹敗鋪討衛(wèi)罵所懸追天板曉寇矮丸臉(冶13勉.3津)雙桑炕襪脂荷泥臘劇抖渠功坐紹團仆使香倘哥襪雹類教倚惑(拖13獲.4萄)減這里惠和培是斥和辮階矩赴陣。沸假設(shè)惹擾動邪項兩和矩對于喇所有綿階滯酸后都妄是不赴相關(guān)閱的，濃即對撤所有促和防，有臉：真(1離3.淘5)彎是外剩生或維者前政定變狂量的欺假定曲意味釣著，鵲在除蕩了包顫含在系內(nèi)的翼信息紛以外預(yù)，湯沒有眾為餓和掀(奏)提館供任撞何新阻的信斬息。別例如瞇，府可以灣包括語的滯寺后值服，也漂可以銹包括緞與序和飄(任乒意粗)不爺相關(guān)零的變狐量。校方程稍系統(tǒng)織中方俯程(基13劉.1低)至旗方程翠(1洪3.勤5)慰可以飯表示額有限鹽觀測洋值的燈序列瞎，這騙時需菊要狀撓態(tài)向貪量初洗始值燃。假梳設(shè)朱與塑和完的任肥何實媽現(xiàn)都始不相站關(guān)：襖，對染任意輝輸鹿夏安將后么造清勺秘閣快蜂曠響小代(1織3.秋6)東，對面任意悠歷茫(估13慈.7椒)味狀態(tài)慣方程球(1萄3.宋1)雀說明鞋，績可以作表示撐成為踐的線銜性函墾數(shù)：囑，賞賽桶匹保容樂蠟(英13雁.8絮)加因此慶，方挑程(像13旱.6禍)和殿方程擊(1筐3.鄉(xiāng)3)威意味恰著巴與所捎有騙的滯紫后值聲都是議不相妨關(guān)的舅：瘋，堤腫傅萍訓(xùn)遍促界富胡版穗與棒魂從熟戶膏炮穩(wěn)議(精13字.9椅)此類似每地，嫌可以字得到勤：桶，色(1捧3.綢10崗)氧，香斥彎榨住(君13三.1和1)央，難稅垃刃曬塞略嗎清劇河或既版代萬杯撒泥鬧遲濁(1業(yè)3.銹12否)毯上述裁系統(tǒng)欠是相拜當(dāng)靈性活的沸，它唱的一杠些結(jié)繞論也攻可以搞推廣近到響與投相關(guān)凡的系逗統(tǒng)中貪，而釣且系多數(shù)矩唇陣腿也可寬以是御時間拘的函另數(shù)陪。姑如果努我們猛僅僅塘關(guān)注賄到上涌述系朝統(tǒng)的崇根本剃形式散，那么拘下面曉的論原述將鍬是十兩分清交晰富的。濤13唇.1究.負(fù)2肆狀態(tài)突空間叼表示腹的例夢子產(chǎn)考慮身一元腎過程領(lǐng)：喝這個彎過程嚴(yán)可以駁表示搭成為康下面壩的狀劫態(tài)空悼間模瓶型形泛式：桌狀態(tài)侮方程識(昏)怪濁臘仗爽陽騙倉條(斃13伶.1衛(wèi)3)焰量測脂方程悠：池宴末凳彼(1醋3.俊14恢)耍對應(yīng)侮地，口我們武指定卵：年，悶，貨，且這里再變量周和參損數(shù)矩梅陣對娛應(yīng)怒為：寬，趣，代，苦，壩，碰注意盛到這愚里的捕狀態(tài)題方程航只是扎一個荷一階啦向量湊自回鼓歸方躬程，典量測雕方程各只是寺一個短簡單現(xiàn)的等搶式。仰因此刑，我疾們已籠經(jīng)看霞到，放狀態(tài)去空間焦表示囑只是蹲總結(jié)夏過程棉的另干外一幼種方塌式欠。將竟過程弦表示油成為趙這種訂方式無的原粘因在籃于，剝這樣銷可以抵獲得館歸納齒過程仆動態(tài)囑性的者適宜布方式昆，這濁是我嬌們對榜任何毒系統(tǒng)詞狀態(tài)籃空間劑表示域感興公趣的拐根本堆原因單。案另外測一個田例子德是，猛我們沉考慮具一元怪過程輛：絕對應(yīng)阿地，曬它可共以表溉示成蓄為狀俯態(tài)空杰間模暴型形奧式為蜘：同狀態(tài)重方程復(fù)(術(shù))：辣量憐測方稠程(文)：皮這里農(nóng)：弓，奴，糞，廳，樓，梁，誠，搜，因?qū)⒔o屋定系疏統(tǒng)表兩示麥成為磁狀態(tài)巡方程喇的成方式振有多慰種痛。例雁如，自可以鎮(zhèn)將物過程惹表示中成為爽下面梅類型墊的狀白態(tài)空喬間模帥型：晚狀態(tài)乎方程退(事)：奶量測買方程蠶(漏)：甚顯然脫上面傲的鳳過程敢、兩喂種狀憤態(tài)空撥間模圓型表曲示都漢是具凳有相圓同特杜征的雄過程浸表示痛，這技三種器表示跟都具穿有相蓄同的汪預(yù)測炊和相喜同的南似然獎函數(shù)飲值，奶也就量無須蛙討論艙哪一省種方吃式更姿為包適宜融?；锔粯O般地位，一漆元欣模型甩可以苦通過黎定義甩進行擴狀態(tài)河空間肌模型被表示肅：涂疤前宮沉綱表(1判3.覆1礎(chǔ)5書)沸這里柔的參索數(shù)約袋束是戚：當(dāng)犁時，掛；當(dāng)棍時，字。羨考慮給以下晨狀態(tài)鑄空間賭模型扶表示扣為：全狀態(tài)班方程獅(溜)：叔害底笑施紛辣寇浙邁置延襯儉趁斑扶(斯13自.1供6鍵)肆量測仇方程番(眼)：博文網(wǎng)本呈吧邁生槽瘦律案倡集揪賢稿屯股雖禍(1荷3.池15廈)閃為了旬驗證律方程稍(1而3.衰1葵6蛛)和鹽方程泰(1住3.略1磚7出)表墓示了蘿系統(tǒng)臺與方燃程(詞13劉.1嫂5援)一漂致，漸假設(shè)池表示壺向量隸的第蠟j老個元屋素，慶因此牌狀態(tài)辟方程召的第弟2行忍表示吹：谷第烈3洲行表憶明遭：羽更一礦般地琴，昌第號j粘行表順示：結(jié)因此浩狀態(tài)術(shù)方程攜的第腿1行飼意味蟻著：各或者揮：挺逼師頂?shù)?租13姨.1收8濤)談量測替方程連說明貨：鼻悉慧休刊朝微河仔羅酸縮它友式設(shè)嫂(1股3.緒1鞏9鮮)扁在方吐程其(1釣3.鑄1堆9叢)兩提端乘厚以算智子多毒項式半，并肥利用摔方程補(1緊3.色1沉8糖)，激可以蒜得到希：案這就剪是原仁來的補模型扮，即彼方口程崗(1蔑3.舅1聽5漿)帳。葬狀態(tài)間空間寫形式揉是描榨述隨叮機過執(zhí)程的蝦和，稼或者豎測量明誤差鄰結(jié)果濱的模密型的埋非常核適宜尺的方骨式。蛋例如韻，鞋F(xiàn)a饒m普a肥和晶Gi鵝bb駁on梢s德(餓19夏82仗)開眠始著辭手研竄究事墓前實議際利宿率(儀ex附a洽nt糊e批re泛al跌i沾nt煉er嫁es刮t使ra根te克)讓行為頭(佳事前傾實際尖利率壩是名逆義利乞率腫減去涌預(yù)期掙通貨多膨脹隨率偉)。難由于組經(jīng)濟賓計量察學(xué)家囑通過畜證券符市場賴推斷霸的拐預(yù)期厭通貨顛膨脹喚率的勢數(shù)據(jù)傍，因梯此這腎個變泥量不短是可斬以觀呀測的飲。因青此在侵這種蛛應(yīng)用扒中狀郊態(tài)變鋒量是爺一個活標(biāo)量沒，即態(tài)：伸，這單里餡表示頃平均唉事前假實際椅利率夜。恥Fa腎ma徑和培Gi寺bb翠on閑s舞(傲19賀82論)假廊設(shè)事姿前實女際利綁率服淚從葡過程役：辛井解芳埋貼屑吉湊假設(shè)燃嘆沃施檢罷誤離飛聾查泥犧悠慮陷泊醉(疲13女.很20鈔)耀經(jīng)濟株計量且學(xué)家紡可以活觀測響到事要后低實際么利率撐(名悄義利羊率傳減去煌真實亦通貨漢膨脹隙率粘)，魚這可研以表章示為神：配然乖立嗽這庭(汪13各.敘2萌1)陪這里么是人煎們預(yù)督測通泳貨膨信脹率侵時的距誤差績。鉆如果連人們鋼以最姻優(yōu)的臉方式村形成謹(jǐn)通貨即膨脹主率預(yù)集測，世那么易與自廈身的晶滯后禿值和脾事前抬實際胡利率貢是無踏關(guān)的從。因既此方桶程(嫩13荷.械20仗)和木方程泳(1必3.棉2劇1)景是鮮狀態(tài)服空間奔模型夏，這隨里鋤，吩，怒，篇，摧，機。源狀原態(tài)空悟間模答型框猜架的含另外獲一個次有趣披例子尤是S銳to象ck篩和W狹as盲to拖n到(1貍99該1)蹄的研論究，拋他們啄假設(shè)遷存在欺表示婚經(jīng)濟炒周期洗狀態(tài)濫的不坐可觀倚測變己量那么。假售設(shè)耳是憑個可陰以觀妖測的斧宏觀率經(jīng)濟肺變量居，每奶個都加受到棵經(jīng)濟咐周期震的影酷響，震并且銀具有員與弟中移蜜動不相相關(guān)胡的奇五異成顏分(塘表示吉為民)。山如果顏經(jīng)濟哨周期挎和每塵個奇原異成禾分可趁以利姓用一虜元少過程黨描述榜，那么岸維狀細(xì)態(tài)向料量是曠：蘇解泄脆株尋將詢筑澡(1祥3.算2妖2痕)筍該狀默態(tài)變遣量具踢有的懼狀態(tài)揀方程波為：德秋冤柏拐孕貸稿車存醋售漏(栗13弄.2屆3辟)磨量測盆方程牧為：蔬眾聰貫躬(交13早.2倡4攀)競因此餓，參凝數(shù)彈描述糞第個i罰個序瞎列對你經(jīng)濟濾周期欠反響影的敏師感性染。為紫了出怪現(xiàn)和疤描述奶p階階動掀態(tài)性拍，S渾to奴ck菌和W喚as宣to宵n倘(1瀉99肝1)設(shè)將方場程(妹13沖.2楚2英)中倉的音和枯替換秤為獄階向怪量拌和簡，這斯時逼是臟維向午量。促這時第方程蘭(1烏3.并2椅3搜)中很的標(biāo)膛量太需要床利用汽階矩健陣替躁換，季該矩速陣結(jié)棕構(gòu)與魯方程清(1裁3.埋13完)類西似。射還需伙要在命量測輕方程斥(1仇3.帥24償)中錦的列就中加閑入階筍數(shù)為朝的零鵲子塊磨。付§1貨3.置2忍港卡爾勤曼丑濾波昆的推較導(dǎo)領(lǐng)卡爾新曼濾蟻波是圈估計疏狀態(tài)崖空間浙模型存的重胡要方山法，良也是東應(yīng)用嘗廣泛日的參坡數(shù)估舉計方餓法。虧下面廁我們憐介紹就卡爾瓜曼濾雁波的摟有關(guān)史公式闖。激13稠.驕2責(zé).1乎卡爾歐曼濾謎波的骨回憶較O涌ve禁rv哄ie耳w熟of裁t六he優(yōu)K誓al禮ma據(jù)n釘Fi劃lt撥er活考慮會上述記討論戚的狀燃態(tài)空合間模愛型的送一般玩形式仗，為迎了方侮便，知我們新將使啟用的侍一些板關(guān)鍵征方程悉在這淘里重摸復(fù)表猾示如艷下：，訂假設(shè)媽我們責(zé)已經(jīng)靜得到萬了觀曠測值先，冤；一岔個最伯終目完標(biāo)是劑基于睬這些汗觀測恭值估同計系牽統(tǒng)的街所有赴未知底參數(shù)拐。但伍是，復(fù)目前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