函數(shù)矩陣與矩陣微分方程

關(guān)于函數(shù)矩陣與矩陣微分方程北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第1頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三稱為函數(shù)矩陣，其中所有的元素都是定義在閉區(qū)間上的實(shí)函數(shù)。函數(shù)矩陣與數(shù)字矩陣一樣也有加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等幾種運(yùn)算，并且運(yùn)算法則完全相同。例：已知北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第2頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三計(jì)算定義：設(shè)為一個(gè)階函數(shù)矩陣，如果存在階函數(shù)矩陣使得對(duì)于任何都有那么我們稱在區(qū)間是可逆的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第3頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三稱是的逆矩陣，一般記為例：已知那么在區(qū)間上是可逆的，其逆為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第4頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三函數(shù)矩陣可逆的充分必要條件定理:階矩陣在區(qū)間上可逆的充分必要條件是在上處處不為零，并且其中為矩陣的伴隨矩陣。定義：區(qū)間上的型矩陣函數(shù)不恒等于零的子式的最高階數(shù)稱為的秩。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第5頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三特別地，設(shè)為區(qū)間上的階矩陣函數(shù)，如果的秩為，則稱一個(gè)滿秩矩陣。注意：對(duì)于階矩陣函數(shù)而言，滿秩與可逆不是等價(jià)的。即：可逆的一定是滿秩的，但是滿秩的卻不一定是可逆的。例：已知北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第6頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三那么。于是在任何區(qū)間上的秩都是2。即是滿秩的。但是在上是否可逆，完全依賴于的取值。當(dāng)區(qū)間包含有原點(diǎn)時(shí)，在上有零點(diǎn)，從而是不可逆的。函數(shù)矩陣對(duì)純量的導(dǎo)數(shù)和積分

定義：如果的所有各元素在處有極限，即北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第7頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三其中為固定常數(shù)。則稱在處有極限，且記為其中北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第8頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三如果的各元素在處連續(xù)，即則稱在處連續(xù)，且記為其中北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第9頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三容易驗(yàn)證下面的等式是成立的：設(shè)則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第10頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三定義：如果的所有各元素在點(diǎn)處(或在區(qū)間上)可導(dǎo)，便稱此函數(shù)矩陣在點(diǎn)處(或在區(qū)間上)可導(dǎo)，并且記為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第11頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第12頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算有下列性質(zhì)：是常數(shù)矩陣的充分必要條件是設(shè)均可導(dǎo)，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第13頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三設(shè)是的純量函數(shù)，是函數(shù)矩陣，與均可導(dǎo)，則特別地，當(dāng)是常數(shù)時(shí)有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第14頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三(4)設(shè)均可導(dǎo)，且與是可乘的，則因?yàn)榫仃嚊]有交換律，所以北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第15頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三(5)如果與均可導(dǎo)，則(6)設(shè)為矩陣函數(shù)，是的純量函數(shù)，與均可導(dǎo)，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第16頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三定義：如果函數(shù)矩陣的所有各元素在上可積，則稱在上可積，且北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第17頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三函數(shù)矩陣的定積分具有如下性質(zhì)：例1

：已知函數(shù)矩陣試計(jì)算北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第18頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三證明：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第19頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三由于，所以下面求。由伴隨矩陣公式可得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第20頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三再求北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第21頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2：已知函數(shù)矩陣北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第22頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三試求例3：已知函數(shù)矩陣試求證明：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第23頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三同樣可以求得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第24頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三例4：已知函數(shù)矩陣試計(jì)算北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第25頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三函數(shù)向量的線性相關(guān)性定義：設(shè)有定義在區(qū)間上的個(gè)連續(xù)的函數(shù)向量如果存在一組不全為零的常實(shí)數(shù)使得對(duì)于所有的等式成立，我們稱，在上線性相關(guān)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第26頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三否則就說(shuō)線性無(wú)關(guān)。即如果只有在等式才成立，那么就說(shuō)線性無(wú)關(guān)。定義：設(shè)是個(gè)定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)向量記北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第27頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三以為元素的常數(shù)矩陣稱為的Gram矩陣，稱為Gram行列式。定理：定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的Gram矩陣為滿秩矩陣。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第28頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三例：設(shè)則于是的Gram矩陣為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第29頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三所以故當(dāng)時(shí)，在上是線性無(wú)關(guān)的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第30頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三定義：設(shè)是個(gè)定義在區(qū)間上的有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)向量，記那么稱矩陣北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第31頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第32頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三是的Wronski矩陣。其中分別是的一階，二階，…，階導(dǎo)數(shù)矩陣。定理：設(shè)是的Wronski矩陣。如果在區(qū)間上的某個(gè)點(diǎn)，常數(shù)矩陣的秩等于，則向量在上線性無(wú)關(guān)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第33頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三例：設(shè)則因?yàn)榈闹葹?，所以與線性無(wú)關(guān)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第34頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三

函數(shù)矩陣在微分方程中的應(yīng)用形如北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第35頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三的線性微分方程組在引進(jìn)函數(shù)矩陣與函數(shù)向量以后可以表示成如下形式其中北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第36頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第37頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三上述方程組的初始條件為可以表示成定理：設(shè)是一個(gè)階常數(shù)矩陣，則微分方程組滿足初始條件的解為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第38頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理：設(shè)是一個(gè)階常數(shù)矩陣，則微分方程組滿足初始條件的解為例1：設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第39頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三求微分方程組滿足初始條件的解。解：首先計(jì)算出矩陣函數(shù)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第40頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三由前面的定理可知微分方程組滿足初始條件的解為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第41頁(yè)，講稿共46頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2：設(shè)求微分方程組滿足初始條件