2023年湖南省衡陽市中考數學真題含解析

2023湖南省衡陽市中考數學一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.中國是最早采用正負數表示相反意義的量、并進行負數運算的國家．若收入500元記作元，則支出237元記作（）A.元 B.元 C.0元 D.元2.下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（）A. B.C. D.3.下面四種化學儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.4.作為中國非物質文化遺產之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從左面看到的圖形的是（）A. B. C. D.5.計算的結果正確的是（）A. B. C. D.6.據共青團中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團團內統(tǒng)計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬．數據7358萬用科學記數法表示為（）A B. C. D.7.對于二次根式的乘法運算，一般地，有．該運算法則成立的條件是（）A. B. C. D.8.如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD，添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A.AB＝CD B.AB∥CD C.∠A＝∠C D.BC＝AD9.《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何．”設有x只雞，y只兔．依題意，可列方程組為（）A. B.C. D.10.某射擊運動隊進行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如下表．甲、乙兩名選手成績的方差分別記為和，則與的大小關系是（）測試次數12345甲510938乙86867A. B. C. D.無法確定11.我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于”．假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于．則三角形的三個內角的和大于，這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．上述推理使用的證明方法是（）A.反證法 B.比較法 C.綜合法 D.分析法12.已知，若關于x的方程的解為．關于x的方程的解為．則下列結論正確的是（）A B. C. D.二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分．）13.在平面直角坐標系中，點所在象限是第________象限．14.一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別．布袋中的球已經攪勻．從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是________．15.已知，則代數式的值為________．16.已知關于x方程的一個根是，則它的另一個根是________．17.如圖，在中，．以點C為圓心，r為半徑作圓，當所作圓與斜邊所在的直線相切時，r的值為________．18.如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數是________個．三、解答題（本大題共8個小題，19~20題每題6分，21~24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19.計算：20解不等式組：21.2023年3月27日是第28個全國中小學生安全教育日，為提高學生安全防范意識和自我防護能力，某學校舉行了校園安全知識競賽活動．現從八、九年級中各隨機抽取15名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，80分及以上為優(yōu)秀，共分成四組，A：；B：；C：；D：），并給出下面部分信息：八年級抽取的學生競賽成績在C組中的數據為：84，84，88．九年級抽取的學生競賽成績?yōu)椋?8，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年級抽取的學生競賽成績統(tǒng)計表年級平均數中位數眾數優(yōu)秀率八87a98九8786bc根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：________，________，________．（2）該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數．22.如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點A．（1）求點A的坐標．（2）分別以點O、A為圓心，大于一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線，交x軸于點D．求線段的長．23.隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應用于生產生活，如代替人們在高空測量距離和高度．圓圓要測量教學樓的高度，借助無人機設計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學樓底部米的C處，遙控無人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．（1）求教學樓的高度．（2）若無人機保持現有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線．24.如圖，是的直徑，是一條弦，D是的中點，于點E，交于點F，交于點H，交于點G．（1）求證：．（2）若，求的半徑．25.（1）[問題探究]如圖1，在正方形中，對角線相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接．①求證：；②將線段繞點P逆時針旋轉，使點D落在的延長線上的點Q處．當點P在線段上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；③探究與的數量關系，并說明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數量關系，并說明理由．26.如圖，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C，連接，過B、C兩點作直線．（1）求a的值．（2）將直線向下平移個單位長度，交拋物線于、兩點．在直線上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線的距離最大，若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．（3）拋物線上是否存在點P，使，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．

2023湖南省衡陽市中考數學一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.中國是最早采用正負數表示相反意義的量、并進行負數運算的國家．若收入500元記作元，則支出237元記作（）A.元 B.元 C.0元 D.元【答案】B【解析】【分析】根據相反意義的量的意義解答即可．【詳解】∵收入500元記作元，∴支出237元記作元，故選B．【點睛】本題考查了相反意義的量，正確理解定義是解題的關鍵．2.下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊判斷即可．【詳解】A.，不符合題意；B.，不符合題意；C.，不符合題意；D.，符合題意，故選D．【點睛】本題考查了是否構成三角形，熟練掌握三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關鍵．3.下面四種化學儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C．是軸對稱圖形，故本選項合題意；D．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．4.作為中國非物質文化遺產之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識．如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從左面看到的圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據左視圖定義從左向右看得到的圖形，從左面看看到壺嘴，畫的全身，看不見弧把手，對各選項進行分析判斷即可．【詳解】A.是從上向下看得到的圖形為俯視圖，故選項A不合題意；B.是從左向右看得到的圖形為左視圖，故選項B符合題意；C.是從下往上看得到的圖形是仰視圖，故選項C不合題意；D.是從前往后看得到的圖形是主視圖，故選項D不合題意．故選擇B．【點睛】本題考查物體的三視圖，掌握三視圖的定義是解題關鍵．5.計算的結果正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運用積的乘方法則、冪的乘方法則即可得出結果．【詳解】解：，故選：B．【點睛】本題考查了積的乘方法則、冪的乘方法則，熟練運用積的乘方法則、冪的乘方法則是解題的關鍵．6.據共青團中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團團內統(tǒng)計公報，截至2022年12月底，全國共有共青團員7358萬．數據7358萬用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正數；當原數的絕對值時，是負數．據此可得出結果．【詳解】7358萬，故選：A．【點睛】此題主要考查科學記數法的表示方法．正確確定的值以及的值是本題的關鍵．7.對于二次根式的乘法運算，一般地，有．該運算法則成立的條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結果．【詳解】解：根據二次根式有意義的條件，得，，故選：D．【點睛】二次根式有意義的條件，及解不等式組，掌握二次根式有意義的條件是被開方數為非負數是本題的關鍵．8.如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD，添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A.AB＝CD B.AB∥CD C.∠A＝∠C D.BC＝AD【答案】A【解析】【分析】依據平行四邊形的判定，依次分析判斷即可得出結果．【詳解】解：A、當BC∥AD，AB＝CD時，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；B、當AB∥CD，BC∥AD時，依據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；C、當BC∥AD，∠A＝∠C時，可推出AB∥DC，依據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；D、當BC∥AD，BC＝AD時，依據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；故選：A．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定，解決問題的關鍵要熟記平行四邊形的判定方法．9.《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何．”設有x只雞，y只兔．依題意，可列方程組為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據等量關系“雞的只數兔的只數”和“2雞的只數兔的只數”即可列出方程組．【詳解】解：設有x只雞，y只兔，由題意可得：，故選：C．【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解題的關鍵是找出等量關系．10.某射擊運動隊進行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績如下表．甲、乙兩名選手成績的方差分別記為和，則與的大小關系是（）測試次數12345甲510938乙86867A. B. C. D.無法確定【答案】A【解析】【分析】先分別求出甲、乙的平均數，再求出甲、乙的方差即可得出答案．【詳解】解：甲的平均數為，甲的方差為，乙的平均數為，乙的方差為，∵，∴．故選：A．【點睛】此題主要考查了平均數及方差的知識．方差的定義：一般地設n個數據，，，…的平均數為，則方差，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．11.我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于”．假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于．則三角形的三個內角的和大于，這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．上述推理使用的證明方法是（）A.反證法 B.比較法 C.綜合法 D.分析法【答案】A【解析】【分析】根據反證法的步驟分析判斷，即可解答．【詳解】解：假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于．則三角形的三個內角的和大于，這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾．所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．以上步驟符合反證法的步驟．故推理使用的證明方法是反證法．故選：A．【點睛】本題考查了反證法，解答此題關鍵要懂得反證法意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發(fā)推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．12.已知，若關于x的方程的解為．關于x的方程的解為．則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把看做是直線與拋物線交點的橫坐標，把看做是直線與拋物線交點的橫坐標，畫出對應的函數圖象即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，設直線與拋物線交于A、B兩點，直線與拋物線交于C、D兩點，∵，關于x的方程的解為，關于x的方程的解為，∴分別是A、B、C、D的橫坐標，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了拋物線與一元二次方程的關系，正確把一元二次方程的解轉換成直線與拋物線交點的橫坐標是解題的關鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分．）13.在平面直角坐標系中，點所在象限第________象限．【答案】三【解析】【分析】根據各象限內點的坐標特征解答．【詳解】解：的橫坐標為負數，縱坐標為負數，在第三象限，故答案為：三．【點睛】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解題的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．14.一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別．布袋中的球已經攪勻．從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是________．【答案】【解析】【分析】根據公式計算即可．【詳解】∵一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，∴取出紅球的概率是，故答案為：．【點睛】本題考查了根據概率公式計算概率，熟練掌握公式是解題的關鍵．15.已知，則代數式的值為________．【答案】【解析】【分析】先通分，再根據同分母分式的減法運算法則計算，然后代入數值即可．【詳解】解：原式=

故答案為：【點睛】本題主要考查了分式通分計算的能力，解決本題的關鍵突破口是通分整理．16.已知關于x的方程的一個根是，則它的另一個根是________．【答案】5【解析】【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得，根據該方程一個根為，即可求出另一個根．【詳解】解：根據題意可得：，∴，∵該方程一個根為，令，∴，解得：．故答案為：5．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程有兩根為，，則，．17.如圖，在中，．以點C為圓心，r為半徑作圓，當所作的圓與斜邊所在的直線相切時，r的值為________．【答案】【解析】【分析】根據勾股定理，得，根據切線的性質，得到圓的半徑等于邊上的高，根據直角三角形的面積不變性計算即可．【詳解】∵，∴，根據切線的性質，得到圓的半徑等于邊上的高，∴,∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，切線的性質，熟練掌握勾股定理，切線的性質是解題的關鍵．18.如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數是________個．【答案】10【解析】【分析】先求出正五邊形的外角為，則，進而得出，即可求解．【詳解】解：根據題意可得：∵正五邊形的一個外角，∴，∴，∴共需要正五邊形的個數（個），故答案為：10．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質，正多邊形的外角，解題的關鍵是掌握正多邊形的外角的求法．三、解答題（本大題共8個小題，19~20題每題6分，21~24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19.計算：【答案】【解析】【分析】根據求一個數的絕對值，二次根式的性質，有理數的乘法進行計算即可求解．詳解】解：【點睛】本題考查了實數的混合運算，熟練掌握求一個數的絕對值，二次根式的性質，有理數的乘法是解題的關鍵．20.解不等式組：【答案】【解析】【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關鍵．21.2023年3月27日是第28個全國中小學生安全教育日，為提高學生安全防范意識和自我防護能力，某學校舉行了校園安全知識競賽活動．現從八、九年級中各隨機抽取15名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，80分及以上為優(yōu)秀，共分成四組，A：；B：；C：；D：），并給出下面部分信息：八年級抽取的學生競賽成績在C組中的數據為：84，84，88．九年級抽取的學生競賽成績?yōu)椋?8，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．八、九年級抽取的學生競賽成績統(tǒng)計表年級平均數中位數眾數優(yōu)秀率八87a98九8786bc根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：________，________，________．（2）該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數．【答案】（1）84，100，；（2）200人【解析】【分析】（1）根據中位數的定義得出a為第七名學生和第八名學生成績的平均數；找出抽取的九年級學生的競賽成績中出現次數最多的分數，即可求出b；用抽取的九年級學生的競賽成績中80分以上的個數除以15，即可求出c；（2）用500人乘以抽取的八、九年級學生競賽成績中90分以上的人數所占百分比，即可求解．小問1詳解】解：由頻數分布直方圖可知：第七名學生和第八名學生在C組，∵一共抽取八年級學生15人，∴a為第七名學生和第八名學生成績的平均數，即；∵抽取的九年級學生競賽成績中，100分出現了3次，出現次數最多，∴，∵抽取的九年級學生競賽成績中，80分及以上的有12個，∴；故答案為：84，100，；【小問2詳解】解：根據頻數分布直方圖可得，抽取的八年級學生競賽成績中，90分以上的有6個；根據抽取的九年級學生的競賽成績可得，90分以上的有6個；∴該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上學生人數為：（人），答：該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數為200人．【點睛】本題主要考查了頻數分布直方圖，中位數，眾數，頻率，以及用樣本估計總體，解題的關鍵是熟練掌握相關知識點，并靈活運用，正確從統(tǒng)計圖中獲取需要數據．22.如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點A．（1）求點A的坐標．（2）分別以點O、A為圓心，大于一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線，交x軸于點D．求線段的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解兩個函數聯立組成的方程組即可；（2）由題意可得：垂直平分，連接，如圖，根據線段垂直平分線的性質可得，設，根據兩點間的距離建立方程，解方程即可求出答案．【小問1詳解】解：解方程組，得，∵，∴；【小問2詳解】解：由題意可得：垂直平分，連接，如圖，則，設，則，解得，∴．【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質以及兩點間的距離等知識，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．23.隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應用于生產生活，如代替人們在高空測量距離和高度．圓圓要測量教學樓的高度，借助無人機設計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學樓底部米的C處，遙控無人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．（1）求教學樓的高度．（2）若無人機保持現有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線．【答案】（1）教學樓的高度為米（2）無人機剛好離開視線的時間為12秒【解析】【分析】（1）過點B作于點G，根據題意可得：，米，，通過證明四邊形為矩形，得出米，進而得出米，最后根據線段之間的和差關系可得，即可求解；（2）連接并延長，交于點H，先求出米，進而得出，則，則米，即可求解．【小問1詳解】解：過點B作于點G，根據題意可得：，米，，∵，，，∴四邊形為矩形，∴米，∵，，∴，∴，∴米，∵長為米，∴（米），答：教學樓的高度為米．【小問2詳解】解：連接并延長，交于點H，∵米，米，∴米，∵米，，∴，∴，米，∴（米），∵無人機以米/秒的速度飛行，∴離開視線的時間為：（秒），答：無人機剛好離開視線的時間為12秒．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．24.如圖，是的直徑，是一條弦，D是的中點，于點E，交于點F，交于點H，交于點G．（1）求證：．（2）若，求的半徑．【答案】（1）見解析（2）5【解析】【分析】（1）根據D是的中點，于點E，得到,得到即可得證．（2）根據，設，運用勾股定理，得到，結合，得到，運用勾股定理，得到，從而得到，在中，實施勾股定理計算x即可．【小問1詳解】∵D是的中點，∴，∵，是的直徑，∴，∴，∴，∴．【小問2詳解】∵，是的直徑，∴，∵，設，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，解得，∴，∴的半徑為5．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，正弦函數，熟練掌握垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，正弦函數是解題的關鍵．25.（1）[問題探究]如圖1，在正方形中，對角線相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接．①求證：；②將線段繞點P逆時針旋轉，使點D落在的延長線上的點Q處．當點P在線段上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；③探究與的數量關系，并說明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數量關系，并說明理由．【答案】（1）①見解析；②不變化，，理由見解析；③，理由見解析；（2），理由見解析【解析】【分析】（1）①根據正方形的性質證明，即可得到結論；②作，垂足分別為點M、N，如圖，可得，證明四邊形是矩形，推出，證明，得出，進而可得結論；③作交于點E，作于點F，如圖，證明，即可得出結論；（2）先證明，作交于點E，交于點G，如圖，則四邊形是平行四邊形，可得，都是等邊三角形，進一步即可證得結論．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴；②的大小不發(fā)生變化，；證明：作，垂足分別為點M、N，如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∴四邊