2023學年完整公開課版因數(shù)和倍數(shù)

因數(shù)與倍數(shù)義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學五年級下冊利通二小吳金萍地位數(shù)論是數(shù)學的一個分支，是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學問，以嚴格、簡潔、抽象著稱。數(shù)學是“科學的皇后”，而“數(shù)論”則是“數(shù)學的皇后”，由此可見數(shù)論在數(shù)學中的地位。性質(zhì)數(shù)的整除性理論是數(shù)論最基本的理論，對于任意整數(shù)a、b，都存在整數(shù)n、r，使b=na+r(其中r﹤a),當r=0時,我們就說b能被a整除（或a能整除b），此時b=na。本單元所有概念都是建立在數(shù)的整除性的基礎之上的。作用本單元涉及到的因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)及第四單元中的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)均屬于初等數(shù)論的基本內(nèi)容。通過學習，可進一步豐富學生有關整數(shù)的知識，有助于發(fā)展學生的抽象思維。

以往教材把約數(shù)（因數(shù)），倍數(shù)，能被2、5、3整除的數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)，合數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)，最大公約數(shù)（最大公因數(shù)），最小公倍數(shù)等內(nèi)容集中編排在一個單元，主要是為了突顯上述概念的緊密邏輯關系，但也易形成同一單元概念多且集中，抽象程度高的現(xiàn)象，造成學生學習時概念混淆、理解困難的問題。歷來是小學數(shù)學概念教學難點之一。除法除不盡除盡整除約數(shù)倍數(shù)能被2、5、3整除的數(shù)的特征公約數(shù)公倍數(shù)最大公約數(shù)最小公倍數(shù)1質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)因數(shù)分解質(zhì)因數(shù)非0自然數(shù)約數(shù)的個數(shù)互質(zhì)數(shù)是互質(zhì)數(shù)的五種特殊情形短除法（分解質(zhì)因數(shù)法）縮數(shù)法輾轉相除法特殊數(shù)的最大公約數(shù)特殊數(shù)的最小公倍數(shù)短除法（分解質(zhì)因數(shù)法）擴數(shù)法偶數(shù)奇數(shù)能被4、25整除的數(shù)的特征能被8、125整除的數(shù)的特征能被9整除的數(shù)的特征非零自然數(shù)的分類非零自然數(shù)的分類九義教材數(shù)的整除內(nèi)容結構安排因數(shù)與倍數(shù)因數(shù)與倍數(shù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)2、5、3的倍數(shù)的特征

因數(shù)和倍數(shù)的概念（p12頁主題圖）一個數(shù)的因數(shù)的求法（例1）一個數(shù)的因數(shù)的特點（p13頁做一做）一個數(shù)的倍數(shù)的求法（例2）一個數(shù)的倍數(shù)的特點（p14頁做一做2題）2的倍數(shù)的特征（p17頁及做一做）5的倍數(shù)的特征（p18頁及做一做）3的倍數(shù)的特征（p19頁及做一做）P15~16頁練習二1~6題奇數(shù)偶數(shù)P20~22頁練習三1~10題質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念（p23頁及做一做）找100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)P25~26頁練習四1~5題人教版實驗教材內(nèi)容結構安排和九義教材相比，實驗教材按《課程標準》的要求做了如下調(diào)整1.不再出現(xiàn)“整除”概念，直接從乘法算式引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。2.不再正式教學“分解質(zhì)因數(shù)”，只作為閱讀性材料進行介紹。3.公因數(shù)、最大公因數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)移至“分數(shù)的意義和性質(zhì)”單元，作為約分和通分的知識基礎，更突出其應用性。通過四年多的學習，學生已經(jīng)掌握了大量的整數(shù)知識（包括整數(shù)的認識，整數(shù)四則運算）。本單元在已有知識基礎上進一步探索整數(shù)的性質(zhì)。教學目標1．使學生掌握因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，知道有關概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。2．使學生通過自主探索，掌握2、5、3的倍數(shù)的特征。3．逐步培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力。過去：用b÷a＝n表示b能被a整除，b÷n＝a表示b能被n整除?，F(xiàn)在：用na=b直接引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。（1）用2×6＝12給出因數(shù)和倍數(shù)的概念。（2）用3×4＝12進一步鞏固上述概念。（3）讓學生利用因數(shù)和倍數(shù)的概念自主發(fā)現(xiàn)12的其他因數(shù)。（4）可引導學生利用一般的乘法算式a×b=c歸納出因數(shù)和倍數(shù)的概念。（5）說明本單元的研究范圍。注意以下幾點：（1）雖然不出現(xiàn)“整除”一詞，但本質(zhì)上仍是以整除為基礎，因此，乘法算式中的乘數(shù)和積都必須是整數(shù)。（2）因數(shù)和倍數(shù)是一對相互依存的概念，不能單獨存在。（3）注意區(qū)分乘法算式各部分名稱中的“因數(shù)”和本單元中的“因數(shù)”的聯(lián)系和區(qū)別。（4）注意區(qū)分“倍數(shù)”與前面學過的“倍”的聯(lián)系與區(qū)別。（1）可用不同的方法求出18的因數(shù)（列出積是18的乘法算式或列出被除數(shù)是18的除法算式），但應引導學生有序思考。（2）用集合圈表示因數(shù)，為后面求兩個數(shù)的公因數(shù)作鋪墊。一個數(shù)的因數(shù)的特點：（1）最大因數(shù)是其自身，最小因數(shù)是1。（2）因數(shù)個數(shù)有限。（3）此結論通過例1和“做一做”中的特例通過不完全歸納法得出，體現(xiàn)了從具體到一般的思路。一個數(shù)的因數(shù)的求法

一個數(shù)的倍數(shù)的求法

（1）求法：用該數(shù)乘任意非0自然數(shù)所得的積都是該數(shù)的倍數(shù)。（2）用集合圈表示倍數(shù)，為后面求兩個數(shù)的公倍數(shù)作鋪墊。做一做:與例2結合起來，提供了2、5、3的倍數(shù)，為后面探討2、5、3倍數(shù)的特征做準備。一個數(shù)的倍數(shù)的特點：（1）最小倍數(shù)是其自身，沒有最大的倍數(shù)。（2）倍數(shù)個數(shù)無限。（3）此結論通過例2和“做一做”中的特例通過不完全歸納法得出，體現(xiàn)了從具體到一般的思路。因為2、5的倍數(shù)的特征在個位數(shù)上就體現(xiàn)出來了，而3的倍數(shù)涉及到各數(shù)位上的數(shù)字之和，較為復雜，因此后安排3的倍數(shù)的特征。本部分內(nèi)容對于熟練掌握約分、通分、分數(shù)四則運算有很重要的作用。（1）從生活情境“雙號”引入。（2）觀察2的倍數(shù)的個位數(shù)，總結出2的倍數(shù)的特征。（3）介紹奇數(shù)和偶數(shù)的概念。（4）可讓學生隨意找一些數(shù)進行驗證，但不要求嚴格的證明。（1）編排方式與2的倍數(shù)的特征類似。（2）可進一步總結既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的特征，即10的倍數(shù)的特征。（1）強調(diào)自主探索，讓學生經(jīng)歷觀察――猜想――推翻猜想――再觀察――再猜想――驗證的過程。（2）可任意選擇一個數(shù)，用正面、反面的例子對結論進一步驗證。（3）也可對任意3的倍數(shù)的各位數(shù)調(diào)換位置，更深刻地理解3的倍數(shù)的特征。質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念

找100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)

（1）根據(jù)20以內(nèi)各數(shù)的因數(shù)個數(shù)把數(shù)分成三類：1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)。（2）可任出一個數(shù)，讓學生根據(jù)概念判斷其為質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。（1）方法多樣?？梢愿鶕?jù)質(zhì)數(shù)的概念逐個判斷，也可用埃拉托斯特尼篩法。（2）把握教學要求：知道100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，熟悉20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。教學建議1.加強對概念間相互關系的梳理，引導學生從本質(zhì)上理解概念，避免死記硬背。理解了因數(shù)和倍數(shù)的含義，一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的、倍數(shù)的個數(shù)是無限的等結論自然掌握，后續(xù)的公因數(shù)、公倍數(shù)等概念的理解也是水到渠成。不能機械記憶一堆支離破碎、毫無關聯(lián)的概念和結論。2.要注意培養(yǎng)學生的抽象思維能力。如讓學生通過幾個特殊的例子，自行總結出任何一個數(shù)的倍數(shù)個數(shù)都是無限的，逐步形成從特殊到一般的歸納推理能力。（1）本單元是有關數(shù)論的內(nèi)容，主要研究整數(shù)的性質(zhì)。就數(shù)論這門學科而言，研究的數(shù)的范圍是整數(shù)（0是整數(shù)），而且其主要概念都是在整除（見與本冊教材相配套的教師教學用書的說明）的基礎上定義的，具體的某個概念又會限定在特定的數(shù)的范圍內(nèi)（如0×5＝0，可以說5是0的因數(shù)，0是5的倍數(shù)；但不能說0是0的因數(shù)，在數(shù)論里討論的因數(shù)與一般乘法算式中的因數(shù)的概念是不同的，數(shù)論里的因數(shù)不能為0）。（2）雖然本單元的內(nèi)容應該在整數(shù)范圍內(nèi)研究，但是，由于0是任何非0自然數(shù)的倍數(shù)，任何非0自然數(shù)是0的因數(shù)；這種由于0的特殊性導致在研究具體問題時經(jīng)常要注意說明0是否包含在內(nèi)，給研究問題帶來很多麻煩。（如雖然0是任何非0自然數(shù)的倍數(shù)，但最小公倍數(shù)指的是一切公倍數(shù)中的最小正數(shù)）。因此，限于小學生的認知水平，在小學階段進行特殊約定，一般只在非0的自然數(shù)范圍內(nèi)加以研究，教材對此在第12頁進行了說明。（3）奇數(shù)、偶數(shù)的概念是在整除的基礎上定義的，研究的范圍是整數(shù)，因為0能被2整除(或者說0是2的倍數(shù)),因此,0也是偶數(shù)。為此，教材對“0也是偶數(shù)”進行了補充說明，概念是科學的定義，這與前面對本單元數(shù)的范圍的特殊約定并不矛盾。（4）與因數(shù)和倍數(shù)不同，質(zhì)數(shù)和合數(shù)在正整數(shù)范圍內(nèi)研究，因此討論質(zhì)數(shù)與合數(shù)時不包括0。相應地，如果把正整數(shù)分類，應分為：1、質(zhì)數(shù)和合數(shù)。疑難解析1：關于“0”疑難解析2：短除法——教，還是不教？

以前用短除法求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)，教師更多的精力集中在計算的方法上，學生并不是十分清楚為什么要用短除法，短除法背后的道理是什么。針對這種情況，教材根據(jù)課標“能找出兩個數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)”這一理念，對最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的求法進行了調(diào)整，以理解概念為基礎呈現(xiàn)了兩種直觀、明了、易懂的“找”最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的方法，加深了學生對概念的理解，降低了學習的難度，體現(xiàn)了算法多樣化的思想，同時可以培養(yǎng)學生根據(jù)具體情況調(diào)整自己策略的能力。正是因為這種改變，質(zhì)因數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)等內(nèi)