北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

北師大版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)14頁

第一章勾股定理

1、勾股定理

(1)直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方，即

a2+b2=c2

(2)勾股定理的驗(yàn)證：測(cè)量、數(shù)格子、拼圖法、面積法，如青朱

出入圖、五巧板、玄

圖、總統(tǒng)證法,,,，(通過面積的不同表示方法得到驗(yàn)證，也叫等

面積法或等積法)

(3)勾股定理的適用范圍：僅限于直角三角形

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系/+從=02,那么這個(gè)三角形

是直角三角形。

3、勾股數(shù)：滿足/+匕2=02的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

常見的勾股數(shù)有：(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)(9,12,15)

(7,24,25)(9,40,41),,,,

4、勾股數(shù)的規(guī)律：

(1),短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個(gè)連續(xù)的

自然數(shù)，

兩邊之和是短直角邊的平方。即當(dāng)a為奇數(shù)且aVb時(shí)，如果

b+c=a2,那么a,b,c

就是一組勾股數(shù).如(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(9,40,41)

，，，，

(2)大于2的任意偶數(shù)，2n(n>l)都可構(gòu)成一組勾股數(shù)分別

是：2n,n2-l,n2+l如:

(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)??

第二章實(shí)數(shù)

一、實(shí)數(shù)的概念及分類

1、實(shí)數(shù)的分類

r呼理數(shù)

r旨鼠數(shù),有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)胃負(fù)有理數(shù)

r喳理數(shù)

工鼠數(shù)-J無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)”這一時(shí)之，歸納起來有

四類：

(1)開方開不盡的數(shù)，如V7,也等；

(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率門，或化簡后含有n的數(shù)，如5+8

3

等；

(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等;

(4)某些三角函數(shù)值,如sin60°等

二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值

1、相反數(shù)

實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)(只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相

反數(shù)，零的相反數(shù)是零)，從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,a=-b,

反之亦成立。

2、絕對(duì)值

在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做該數(shù)的絕對(duì)值。

（|a|20）。零的絕對(duì)值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a,

則a20；若|a|=-a,則aWO。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身

的數(shù)是1和T。零沒有倒數(shù)。

4、數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要

注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一

對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。

5、估算

三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,

那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地，。的算術(shù)平方根是

Oo

表示方法：記作“右”，讀作根號(hào)a。

性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那

么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正數(shù)a的平方根記做“±6"，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。

性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是

零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

開平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。

4a>0

注意&的雙重非負(fù)性:

6Z>0

3、立方根

一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,即(=a那么這個(gè)數(shù)x就叫

做a的立方根(或三次方根)。

表示方法：記作必

性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根;

零的立方根是零。

注意：廣=-0，這說明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。

四、實(shí)數(shù)大小的比較

1、實(shí)數(shù)比較大小：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)

數(shù)；數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，

絕對(duì)值大的反而小。

2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的

數(shù)大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

a-b>O<^>a>b,

a—b=D=a=b,

a—b<G<=>a<h

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，

a,a,a.

—>10Q>b\—=I=Q=b\—v1=a<氏

bbb

(4)絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則同

(5)平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則/>/720a<匕。

五、算術(shù)平方根有關(guān)計(jì)算(二次根式)

1、含有二次根號(hào)”「；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

2、性質(zhì)：

(1)(Via)2=a(a>0)

a(a>0)

(2)=時(shí);

—a(a<0)

(3)4ab=4a?>0,/?>0)(4a?4b=4ab(a>0,/?>0))

(4)導(dǎo)與3*°力>°)里書…b>。))

3、運(yùn)算結(jié)果若含有形式，必須滿足：(1)被開方數(shù)的

因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)

或因式

六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

(1)六種運(yùn)算：力口、減、乘、除、乘方、開方

(2)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算

括號(hào)里面的。

(3)運(yùn)算律

加法交換律a+b=b+a

加法結(jié)合律(a+人)+c=a+(方+c)

乘法交換律ab=ba

乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

乘法對(duì)加法的分配律a(b+c)=ab+ac

第三章位置的確定

一、在平面內(nèi)，確定物體的位置一般需要兩個(gè)數(shù)據(jù)。

二、平面直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念

1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，組成平面直角坐

標(biāo)系。其中，水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的

數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；X軸和y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。它

們的公共原點(diǎn)。稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面，

叫做坐標(biāo)平面。

2、為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分

割而成的四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四

象限。

注意：x軸和y軸上的點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），不屬于任何一個(gè)象

限。

3、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念

對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在

上x軸、y軸對(duì)應(yīng)的數(shù)a,b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序

數(shù)對(duì)（a,b）叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)。

點(diǎn)的坐標(biāo)用（a,b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，

中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是

有序?qū)崝?shù)對(duì)，當(dāng)awb時(shí)一，（a,b）和（b,a）是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。

平面內(nèi)點(diǎn)的與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的。

4、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

（1）>各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P（x,y）在第一象限ox>0,y>0

點(diǎn)P(x,y)在第二象限ox<0,y>0

點(diǎn)P(x,y)在第三象限ox<0,y<0

點(diǎn)P(x,y)在第四象限ox>0,y<0

(2)、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征

點(diǎn)P(x,y)在x軸上oy=0,x為任意實(shí)數(shù)

點(diǎn)P(x,y)在y軸上。x=0,y為任意實(shí)數(shù)

點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上ox,y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐

標(biāo)為(0,0)即原點(diǎn)

(3)、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線(直線y=x)上ox與y相

等

點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上ox與y互為相反數(shù)

(4)、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。

位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。

(5)、關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于x軸對(duì)稱。橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'(x,-y)

點(diǎn)P與點(diǎn)p'關(guān)于y軸對(duì)稱o縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，

即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'(-x,y)

點(diǎn)P與點(diǎn)p'關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，即點(diǎn)P

(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P'(-x,-y)

(6)、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離

點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：

(1)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于|乂

（2）點(diǎn)P（x,y）到y(tǒng)軸的距離等于k|

（3）點(diǎn)P（x,y）到原點(diǎn)的距離等于用了

三、坐標(biāo)變化與圖形變化的規(guī)律：

坐標(biāo)（X,y）的變化圖形的變化

xXa或yXa被橫向或縱向拉長（壓縮）為原來的a

倍

xXa,yXa放大（縮?。樵瓉淼腶倍

xX(-1)或yX(-1)關(guān)于y軸或x軸對(duì)稱

xX(-1),yX(-1)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

x+a或y+a沿x軸或y軸平移a個(gè)單位

x+a,y+a沿x軸平移a個(gè)單位，再沿y軸平

移a個(gè)單

第四章一次函數(shù)

一、函數(shù)：

一般地，在某一變化過程中有兩個(gè)變量x與y,如果給定一個(gè)x

值，相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是

自變量，y是因變量。

二、自變量取值范圍

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

一般從整式（取全體實(shí)數(shù)），分式（分母不為0）、二次根式（被開

方數(shù)為非負(fù)數(shù)）、實(shí)際意義幾方面考慮。

三、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)

（1）關(guān)系式（解析）法

兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字

運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做關(guān)系式（解析）法。

（2）列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來表示函數(shù)

關(guān)系，這種表示法叫做列表法。

（3）圖象法

用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。

四、由函數(shù)關(guān)系式畫其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值

（2）描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的

，占、、、

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲

線連接起來。

五、正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，若兩個(gè)變量x,y間的關(guān)系可以表示成y=（k,b為

常數(shù)，kxO）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因

變量）。

特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=中的b=0時(shí)（即y=（k為常數(shù),

k^O）,稱y是x的正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像：所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)y=的圖像是經(jīng)過點(diǎn)（0,b）的直線；正比例函數(shù)

y=Zx的圖像是經(jīng)過原點(diǎn)（0,0）的直線。

k的b的符函數(shù)圖像圖像特征

符號(hào)號(hào)

y

s

圖像經(jīng)過一、二、三

b>0象限，y隨x的增大而增

大。

X

k>0L

圖像經(jīng)過一、三、四

Jr

b<0象限，y隨x的增大而增

X/大。

y

L

<圖像經(jīng)過一、二、四

b>0象限，y隨x的增大而減

小

X

K<0

L

圖像經(jīng)過二、三、四

r

b<0象限，y隨x的增大而減

小。

X

注：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的

特例。

4、正比例函數(shù)的性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)丁=依有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k〉0時(shí)，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

(2)當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)y=有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大

(2)當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=匕(k#O)

中的常數(shù)ko確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式》=匕+匕

(k，0)中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。

7、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：

任何一個(gè)一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為：kx+b=0(k、b為常數(shù)，kW

0)的形式.而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b(k、b為常數(shù)，

kWO).當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)、即kx+b=0就與一元一次方程完全相同.

結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=0(k、b為常數(shù),

kWO)的形式.所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為0

時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.

從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)值.

第五章、二元一次方程組

1、二元一次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程

叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解

適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方

程的一個(gè)解。

3、二元一次方程組

含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一

次方程組。

4二元一次方程組的解

二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組

的解。

5、二元一次方程組的解法

（1）代入（消元）法（2）加減（消元）法

6、一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關(guān)系：

（1）一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系：

直線y=kx+b上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是它所對(duì)應(yīng)的二元一次方程

kx-y+b=O的解

（2）一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系：〃

y=_幺玉+旦r

二元一耳擊櫥=q的解可看作兩伉

個(gè)一次函數(shù)[…4…

%Q

y———x,H—

和”為b2的圖象的交點(diǎn)。

當(dāng)函數(shù)圖象有交點(diǎn)時(shí)，說明相應(yīng)的二元一次方程組有解；當(dāng)函數(shù)

圖象