北京市中關(guān)村2023屆高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

2022年中關(guān)村中學(xué)高三10月調(diào)研試卷

（考試時間120分鐘滿分150分）

ー、選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選

項中,選出符合題目要求的ー項.

1.已知集合尸={x|0Wx<2},且M=則M可以是（）

A.{-1,1}B.{1,3}C.{0,l}D.{0,5}

2.下列函數(shù)中,圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的是（）

A.y=lgxB.y=|sinx|C.y=exD.y=x~—

x

3.如圖,角a以。x為始邊,它的終邊與單位圓。相交于點P,且點P的橫坐標(biāo)為ヨ,則

sin［エ+a）的值為（）

4.記S,為等差數(shù)列{%,}的前〃項和,若$2=3,$4=18,則$6=（）

A.36B.45C.63D.75

5.已知復(fù)數(shù)z=a+i（其中aeR）,則下面結(jié)論正確的是（）

A.z--a+iB.z一定不是純虛數(shù)

C.|z|>lD.在復(fù)平面上，z對應(yīng)的點可能在第三象限

6.設(shè){ム}是公比為ク的等比數(shù)列,且%>1,則“q>1對任意〃eN?成立”是uq>\n

的（）

A.充分必要條件B.必要而不充分條件

C.充分而不必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知函數(shù)/(x)=sinx-gx,xe[(),ア],cos/=e[〇,乃]),那么下面結(jié)論正確的

是()

A./(x)在[〇,玉)]是減函數(shù)B3XG[〇,%],/(x)>/(x0)

C.在[7),ア]是減函數(shù)D.Vxe[〇,%],/(x)>/(x0)

8.已知函數(shù)/(引=ピ+ズー2忖ーん.若存在實數(shù)%,使得/.(_%))=-/(%))成立,則實

數(shù)え的取值范圍是()

A.[-1,+co)B.(—0〇,一1]C.[〇,+00)D.(—8,0]

9.在△ABC中，AC=6,BC=8,NC=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點,且PC=1,

則西?萬的取值范圍是()

A.[-I1,9]B.[-9,ll]C.[-10,ll]D.[-ll,10]

10.按照“碳達(dá)峰”、“碳中和”的實現(xiàn)路徑,2030年為碳達(dá)峰時期,2060年實現(xiàn)碳中和,

到2060年,純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動カ電池迎來了蓬勃發(fā)

展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量。(單位:Ah),放電時間f(單位:h)與

放電電流，(單位：A)之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：C=In-t,其中〃為Peukert常數(shù).為了測算

某蓄電池的Peukert常數(shù)”,在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流/=20A時,放電時間

r=20h;當(dāng)放電電流/=30A時,放電時間t=IOh.則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為(參

考數(shù)據(jù):1g2?0.30,1g3?0.48)()

45_8

A.-B.—C.—D.2

333

二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題卡上.

11.已知向量￡=(1,2),み=(一2,り,若￡〃み,則實數(shù)/的值是.

12.在△ABC中,48=4百，NB=巴,點D在邊BC上,ZADC=—,CD=2,則

43

AD=；AACD的面積為.

13.能使命題“若sin24=sin2B,則△ABC為等腰三角形”為假命題的ー組A,B的值

是.

14.北京2022年冬奧會將于2022年2月4日開幕，某社區(qū)為了宣傳冬奧會,決定在辦公樓

外墻建一個面積為8m2的矩形展示區(qū).并計劃在該展示區(qū)內(nèi)設(shè)置三個全等的矩形宣傳欄(如

圖所示),要求上下各空0.25m,左右各空0.25m,相鄰宣傳欄之間也空0.25m.設(shè)三個宣傳

欄的面積之和為S(單位：n?),則S的最大值為.

ca+l,x<0,

15.已知函數(shù)/(*)=<給出下列三個結(jié)論:

IInx|,x>0.

①當(dāng)a=—2時,函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（―8』）；

②若函數(shù)/（x）無最小值,則a的取值范圍為（〇,”）;

③若。<1且。エ〇,則ヨわeR,使得函數(shù)ソ=/（x）—い恰有3個零點再，ち，ム，且

X|X2Xj=-1.

其中,所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題:本大題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明

過程.

16.（本小題13分）

設(shè)函數(shù)/（X）=x3+tzx2+bx+c

（I）求曲線ッ=/（x）在點（o,/（o））處的切線方程;

（II）設(shè)。=わ=4,若函數(shù)，（x）有三個不同零點,求c的取值范圍.

17.（本小題14分）

已知函數(shù)/（x）=2cos2a）x+2Gsinoxcosのx+a（の>0,aeR）.且/（x）的最大值為2,

/（X）的圖像上相鄰兩條對稱軸之間的距離為y.

（I）求函數(shù)/（X）的解析式；

（II）若/（X）在區(qū)間（0,m）上有且只有一個零點,求用的取值范圍.

18.（本小題【4分）

已知數(shù)列｛ム｝的前〃項和為S“，Sn=2an-4,〃eN*.

（I）求。］,a2；

（ID若數(shù)列也｝是等差數(shù)列，且ム=4,ら=。3,求數(shù)列也｝的通項公式；

(HI)在(II)的條件下,設(shè)求う+。2+…+c”.

以(本小題14分)

在△ABC中,acosB+——b=c

2

(I)求A的大小;

(II)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇ー個作為已知，使得△ABC存在且

唯一確定,求8C邊上高線的長.

條件①：cosB=-——,b=l;條件②：a-2,c=2也;條件③:わ=3,c=JJ

14

注:如果選擇多個符合要求的條件分別解答,按第一個解答給分.

20.(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=e*-a(x+l)

(I)若/(x)20恒成立,求4的取值范圍

(II)證明:當(dāng)。=0時,曲線y=/(x)(x>0)總在曲線y=2+lnx的上方

21.(本小題15分)

給定整數(shù)〃(〃22),數(shù)列ん2:占，ち，…，ち,用每項均為整數(shù),在A2,向中去掉ー項ム,

并將剩下的數(shù)分成個數(shù)相同的兩組,其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為

mk(k=1,2,…,2〃+1).將叫，機(jī)2，…，牡,田中的最小值稱為數(shù)列ム用的特征值.

(I)已知數(shù)列ん：1,2,3,3,3I寫出"4,m2,m3的值及ん的特征值;

(II)若ホ<x2く…<ち"+1，當(dāng)ロー("+リ］［ノー(〃+リ］と〇,其中i,/e{l,2,…,2〃+1}且

臼時,判斷加.一切與トージ的大小關(guān)系,并說明理由;

(HI)已知數(shù)列ん,用的特征值為〃ー1,求と|る一モ|的最小值.

\<i<j<2n+1

2022年中關(guān)村中學(xué)高三10月調(diào)研試卷

參考答案

(考試時間120分鐘滿分150分)

ー、選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選

項中,選出符合題目要求的ー項.

1-5CDBBC6-10ACABB

二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題卡上.

11.-412.4a,27613.-,王答案不唯一14.215.②③

632

三、解答題:本大題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明

過程.

16.解:(I)由/'(力=ピ+加+bx+c,得=3f+2辦

因為/(0)=c,/'(〇)=わ

所以曲線y=/(x)在點(〇,/(〇))處的切線方程為y=bx+c

(II)當(dāng)a=Z?=4時,/(^)=x3+4x2+4-x+c,

所以/'(x)=3f+8x+4

令y，(X)=(),得3f+8x+4=0,解得x=—2或x=ーヱ

/(x)與/'(%)在區(qū)間欣)上的情況如下:

_2

X(-00,-2)

-2-3(一|,+り

+0—0+

32

/(X)/CXc----/

27

所以，當(dāng)。>0且cー:<0時,存在Xe(-4,—2),ム4ー2,-；)，ef-1,o),使

得〃そ)=/(￡)=〃玉)=。

由/(x)的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)ce(0,2］時，函數(shù),/'(x)=V+4f+4x+c有三個不同

零占

17.解:(I)/(x)=(2cos2l)+6sin23r+a+l

=V3sin2cox+cos2a)x+。+1

=2sin269X+—+。+1

I6丿

丁，(x)的最大值為2,，3+。=2,即〃=—1

1//(X)的圖像上相鄰兩條對稱軸之間的距離為ミ,

，T==T=乃

財

又???の＞0,???の=1

則ア(x)=2sin(2x+エ1

(II)當(dāng)ス￡(0,〃り時,2x4-—G|—,2m4-—|,

6(66)

若〃x)在區(qū)間(〇,〃り上有且只有一個零點,

則アv2〃z+-42た,所以相￡|——,---.

611212J

18.解:(I)令れ=1,1=4=2a]—4,所以4=4

令〃=2,a]+a2=2a2-4,所以。2=8

(II)令〃=3,0+〃2+/=24—4,

解得。3=16

設(shè)數(shù)列也｝的公差為ム

則ム=4,々=ム+4d=16

所以イ=3.所以ル=ム+(〃一l)d=3〃+l,〃eN*

(III)當(dāng)〃=1時,q=4；

當(dāng)〃と2時,an==2(しー為ー1),所以q=2a,ら.

所以數(shù)列｛q｝是以4為首項,2為公比的等比數(shù)歹ル

所以%=2的,〃GN*

3n+2

由(II)可知,cn=2,nsN*

因為6=32,厶=篇=8(心2)

Cn-\厶

所以數(shù)列｛%｝是以32為首項,8為公比的等比數(shù)列.

所以。］+ら+…+。れneN*

19.解:(I)在/kABC中,因為4cos3+——b-c,

2

ノ?V3

所以由正弦定理可得sinAcosB+——sinB=sinC

2

因為ム+3+。=ア,所以sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB

所以sinB=cosAsinB

2

在/VIBC中,sinBwO,所以cosA=立，所以A=2

26

(ID選條件①:

因為在△ABC中,cosB=あ包,所以sinB=，lー《)S23=也

1414

因為A+5+C=〃

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosfi+cosAsinB=丄x+—x—=—

設(shè)8C邊上高線的長為カ,則カ=ん皿。=1X叵=辺

77

選條件②：△ABC不唯一

選條件③：

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=9+3-2x3x百cos-=3,所以。=百

rr

所以△ABC為等腰三角形,C=A=土,設(shè)ペC邊上高線的長為Z?,則

6

13

h=Z?sinC=3x—=—

22

20.解:⑴略;

(ID/'(x)=eA-a^xGR)

①當(dāng)〃=0時,〃ス)=ex>。符合題意;

②當(dāng)。<0時,取/=一1+—,則/(%)=ea-a\-1+-+1=e。一1<0,不符合

aI。丿

題意.

③當(dāng)。:>()時,令,/(ス)=(),得よ=ln。.

x<ln。時,/z(x)<()；x>ln。時,/z(x)>0.

所以ア(x)在(y)/n。)上單調(diào)遞減,在(In。,”)上單調(diào)遞增

所以當(dāng)ス=In。時,/(x)有最小值/(in。)=。ー。(1+1也)=ー。In。

“/(x)20恒成立”等價于“/(x)的最小值大于等于〇”，

即一。In。..〇

因為。>0,所以0〈。<1

綜上,若/(x)NO對X￡R恒成立,則4的取值范圍是[〇』

(3)證明:當(dāng)。=0時,令//(x)=/(x)-(2+Inx)=ev-Inx-2(x>0),可求

/zz(x)=eA--

因為ノ/]=/ー2<0,/z,(l)=e-l>0?且/(x)=e*ー丄在(O,M)上單調(diào)遞增,所

以在(0,+o。)上存在唯一的七,使得/(%)=い一丄=0,即ビ。=丄,且丄</<1

XnXn2

當(dāng)X變化時,/z'(x),/?(x)在(O,+8)上的情況如下表.

X(。,為)ム(ホ,”)

〃’(x)—0十

Zz(x)ゝ極小值/

則當(dāng)x=x0時,/z(x)存在最小值〃(%),〃(xo)=e'"-liu0-2=—+x0-2

*0

因為%イ;,リ

所以〃(%)=—?玉，

I-x0—2>2/——2=0

るい〇

所以當(dāng)a=0時,/(x)>2+lnx(x>0),

所以當(dāng)。=0時,曲線y=/(x)(x>0)總在曲線y=2+lnx的上方.

2L解:⑴由題知:=(3+3)—(2+3)=1

m,=(3+3)—(3+1)=2

，4=3

As的特征值為!-

(II)l/n,-nij|=|Xj-XjI

理由如下;

由于ドー(〃+1)][ノー(〃+1)[20,可分下列兩種情況討論:

①當(dāng)i,ノw{1,2,…,〃+1}時，根據(jù)定義可知:

加，=(ち，川+ち"+…+一(左，出

%+2)+x?+--+xt-xy)

=(も"+1+X2n一(玉

+,1,+X,：+2)+i+X,I+---+X|)+X,.

同理可得:m=

j(X2?+1+A2,,+-?-+x?+2)-(x?+1+X?+-?-+X,)+xy

所以叫一根,=X「Xj

所以加一セ一

my|=|xj

②當(dāng)，,/￡レ2+1ノ+2,…,2〃+リ時,同①理可得:

%=(ち+1+め〃+…+/+1一モ)一(ム+ルー1+…+%)

=（W"+1+ム“+…+當(dāng)+1）一（毛+當(dāng)ー1+…+X|）-X

叫=（ち"+1+そ"+…+%+J-（X”++…+X）-Xj

所以mi-m.=xj-x.

所以帆ー叫=|モーxj

綜上有:弧_mj|=|七一ス，

（III）不妨設(shè)る<あく…くち〃+1，

Xトーワ卜