高考解三角形做題技巧與方法總結教學

高考解三角形做題技巧與方法總結知識點整理1．直角三角形中各元素間的關系：在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三邊之間的關系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關系：A＋B＝90°；（3）邊角之間的關系：（銳角三角函數(shù)定義）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。2．斜三角形中各元素間的關系：在△ABC中，A、B、C為其內角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。（1）三角形內角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面積公式：（1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）＝absinC＝bcsinA＝acsinB；4．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．主要類型：（1）兩類正弦定理解三角形的問題：第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.第2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：第1、已知三邊求三角.第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.5．三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。（1）角的變換因為在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.6．求解三角形應用題的一般步驟：

（1）分析：分析題意，弄清已知和所求；（2）建模：將實際問題轉化為數(shù)學問題，寫出已知與所求，并畫出示意圖；（3）求解：正確運用正、余弦定理求解；（4）檢驗：檢驗上述所求是否符合實際意義。三、典例解析類型一：解三角形與向量的結合例1.在中，角A,B,C的對邊分別為,b,c,且滿足，．（Ⅰ）求的面積；（Ⅱ）若，求邊與的值．解：（Ⅰ）由正弦定理得，，，，由得，的面積為．（Ⅱ）因，故，由余弦定理得練習：1.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（I）求cosB的值；（II）若，且，求b的值.解：（I）由正弦定理得，因此（II）解：由，所以a＝c＝EQ\r(6)類型2解三角形與三角恒等變換的結合例2：在中，分別是角的對邊，若，。 （1）求角的大??； （2）若求面積。解：（1）由；又，；（2）由正弦定理可得，，由得，；所以ABC面積；例3：如圖，角為鈍角，且，點、分別是在角的兩邊上不同于點的動點.新|課|標|第|一|網(wǎng)（1）若=5，=，求的長；（2）設的值.解：（1）是鈍角，，在中，由余弦定理得：所以 解得或（舍去負值），所以（2）由 在三角形APQ中，又 練習2：在ABC中，,sinB=.（I）求sinA的值，(II)設AC=，求ABC的面積.本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關知識，考查運算求解能力。本小題滿分12分解：（Ⅰ）由，且，∴，∴，ABC∴，又，∴ABC（Ⅱ）如圖，由正弦定理得∴，又∴類型3：解三角形中的最值問題例4：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，且（1）求的值；（2）若b=2，求△ABC面積的最大值．解：(1)由余弦定理：conB=EQ\f(1,4)sin+cos2B=-EQ\f(1,4)（2）由∵b=2，+=EQ\f(1,2)ac+4≥2ac,得ac≤,S△ABC=EQ\f(1,2)acsinB≤(a=c時取等號)故S△ABC的最大值為5、在中，已知內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量，，且。（I）求銳角B的大小；（II）如果，求的面積的最大值。(1)解：m∥n2sinB(2cos2EQ\f(B,2)－1)＝－EQ\r(3)cos2B

2sinBcosB＝－EQ\r(3)cos2Btan2B＝－EQ\r(3) ……4分

∵0＜2B＜π,∴2B＝EQ\f(2π,3),∴銳角B＝EQ\f(π,3) ……2分

(2)由tan2B＝－EQ\r(3)B＝EQ\f(π,3)或EQ\f(5π,6)

①當B＝EQ\f(π,3)時，已知b＝2，由余弦定理，得：

4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(當且僅當a＝c＝2時等號成立) ……3分

∵△ABC的面積S△ABC＝EQ\f(1,2)acsinB＝EQ\f(\r(3),4)ac≤EQ\r(3)

∴△ABC的面積最大值為EQ\r(3) ……1分

②當B＝EQ\f(5π,6)時，已知b＝2，由余弦定理，得：

4＝a2＋c2＋EQ\r(3)ac≥2ac＋EQ\r(3)ac＝(2＋EQ\r(3))ac(當且僅當a＝c＝EQ\r(6)－EQ\r(2)時等號成立)

∴ac≤4(2－EQ\r(3)) ……1分

∵△ABC的面積S△ABC＝EQ\f(1,2)acsinB＝EQ\f(1,4)ac≤2－EQ\r(3)

∴△ABC的面積最大值為2－EQ\r(3) ……1分

注：沒有指明等號成立條件的不扣分.類型4：解三角形中的綜合題目例5：在△ABC中，A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，已知向量，（I）求A的大?。唬↖I）求的值.解：（1）由m//n得 ……2分 即 舍去（2） 由正弦定理， 練習：△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且有sin2C+cos（A+B）=0，.當，求△ABC的面積。由 有 ……6分由， ……8分由余弦定理 當課后作業(yè)1.在中，分別是角的對邊，若，。 （1）求角的大??； （2）若求面積解：（1）由；……4分又，；……6分（2）由正弦定理可得，，；…8分由得，；……10分所以ABC面積；…