高中數學-絕對值三角不等式教學設計學情分析教材分析課后反思

絕對值三角不等式教學目標：1：了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導方法，會進行簡單的應用。2：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數學思維方法，體會轉化和數形結合的數學思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。教學重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。教學難點：絕對值三角不等式的發(fā)現和推導、取等條件。教學過程：一、復習引入：關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。1．請同學們回憶一下絕對值的意義。。幾何意義：在數軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數的絕對值。2．證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質之外，經常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質：（1），當且僅當時等號成立，當且僅當時等號成立。（2），（3），（4）那么二、講解新課：結論：（當且僅當時，等號成立.）已知是實數，試證明：（當且僅當時，等號成立.）方法一：證明:10.當ab≥0時,20.當ab<0時,綜合10,20知定理成立.方法二：分析法，兩邊平方（略）定理1如果是實數，則（當且僅當時，等號成立.）（1）若把換為向量情形又怎樣呢？根據定理1，有，就是，。所以，。定理（絕對值三角形不等式）如果是實數，則注：當為復數或向量時結論也成立.推論1：推論2：如果是實數,那么,當且僅當時,等號成立.思考：如何利用數軸給出推論2的幾何解釋？（設A，B，C為數軸上的3個點，分別表示數a，b，c，則線段當且僅當C在A，B之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取c＝0（即C為原點），就得到例2的后半部分。）三、典型例題：例1、已知，求證證明（1），∴（2）由（1），（2）得：例2、已知求證：。證明，∴，由例1及上式，。注意：在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。例3兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路碑的第10公里和第20公里處.現要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū),每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應該建于何處?解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處，兩施工隊每天往返的路程之和為S(x)km那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)四、課堂練習：1.(課本習題1.2第1題)求證:⑴;⑵2.(課本P19習題1.2第3題)求證:⑴;⑵3．（1）、已知求證：。（2）、已知求證：。五、課堂小結：1．實數的絕對值的意義:⑴;（定義）⑵的幾何意義:2．定理（絕對值三角形不等式）如果是實數，則注意取等的條件。六、課后作業(yè)：課本P19第2，4，5題學情分析作為一個選修專題，雖然學生已經學習了高中必修課程的5個模塊和三個選修模塊，教材內容仍以初中知識為起點，在內容的呈現上保持了相對的完整性．“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內容的完整性，教材回顧了已學過的不等式6個基本性質，從“數與運算”的思想出發(fā)，強調了比較大小的基本方法?；仡櫫硕静坏仁?，突出幾何背景和實際應用，同時推廣到n個正數的情形，但教學中只要求理解掌握并會應用二個和三個正數的均值不等式。對于絕對值不等式，借助幾何意義，從“運算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，并用代數方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學習解含有絕對值不等式的一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究。學習本專題，學生已掌握的知識有：第一、初中課標要求的不等式與不等式組(1)根據具體問題中的大小關系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質。(2)解簡單的一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集。解由兩個一元一次不等式組成的不等式組，并會用數軸確定解集。(3)根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題第二、高中必修5不等式內容：(1)不等關系。通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式（組）的實際背景。(2)一元二次不等式。(3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題。(4)基本不等式及其應用（求最值）。第三、高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數學歸納法等內容?；仡櫜⒅匾晫W生在學習本課程時已掌握的相關知識，可適當指導學生閱讀自學，設置梯度恰當的習題，采用題組教學的形式，達到復習鞏固系統(tǒng)化的效果，類似于高考第二輪的專題復習，構建知識體系。效果分析在解絕對值不等式的教學中，要控制難度：含未知數的絕對值不超過兩個；絕對值內的關于未知數的函數主要限于一次函數。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉化為不含絕對值的不等式；通過本節(jié)課的學習要讓同學們了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導方法，會進行簡單的應用。充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數學思維方法，體會轉化和數形結合的數學思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。同時要注意絕對值三角不等式的應用，在教學過程中，主要是引導學生解決涉及大小比較、解不等式和最值問題，其中最值問題主要是用二個或三個正數平均不等式，學習了本節(jié)后學生會簡單的應用絕對值三角不等式進行證明，學習中可以有更多的方案解決這類問題。教材內容分析作為一個選修專題，雖然學生已經學習了高中必修課程的5個模塊和三個選修模塊，教材內容仍以初中知識為起點，在內容的呈現上保持了相對的完整性．整個專題內容分為四講，結構如下圖所示：第一講是“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內容的完整性，教材回顧了已學過的不等式6個基本性質，從“數與運算”的思想出發(fā)，強調了比較大小的基本方法?；仡櫫硕静坏仁?，突出幾何背景和實際應用，同時推廣到n個正數的情形，但教學中只要求理解掌握并會應用二個和三個正數的均值不等式。對于絕對值不等式，借助幾何意義，從“運算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，并用代數方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學習解含有絕對值不等式的一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究。第二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過一些簡單問題，回顧介紹了證明不等式的比較法、綜合法、分析法，反證法、放縮法。其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標準才引入到中學數學教學中的內容。這些方法大多在選修2-2“推理與證明”已經學過，此處再現也是為了專題的完整性，對于新增的放縮法，應通過實際實際例子，使學生明確不等式放縮的幾個簡單途徑和方法，比如舍掉或加進一些項，在分式中放大或縮小分子或分母，應用基本不等式進行放縮等（見分節(jié)教學設計）。本講內容也是本專題的一個基礎內容。第三四講高考無要求。觀評記錄一、利用已有知識，滲透類比思想本節(jié)課教學設計，充分尊重學生的已有經驗，密切聯系了學生的已有的舊知識，巧妙地利用學生熟悉的等式的基本性質，通過對等式基本性質的復習，促使學生利用類比的思想，產生正向的知識遷移，使學生感覺到所學的新知識與以前所學的舊知識是有很大聯系的，兩者之間有很多相同點，更加深了他們對兩者之間的不同點的關注，這對于解決這節(jié)課的難點：不等式基本性質3起到了潛移默化的作用，同時也增進學習數學的積極情感。二、巧妙引導，在探究中構建新知本節(jié)課的教學設計的核心部分就是對不等式基本性質的探究，新課程理念下的現代數學教學中，數學知識的教育已經不是教學的全部內容了，如何在知識教育的同時培養(yǎng)學生的觀察、探究、合作、歸納等方面的能力才是新課程改革的主導方向，這節(jié)課的教學設計在這一方面做了良好的嘗試，不等式的基本性質并不是老師直接給出或是由老師的推導出來的，老師通過幾組練習題，通過這幾組練習題，由學生自主地歸納出不等式的基本性質，利用這種方法學生既可以獲得相關的數學知識，同時也能培養(yǎng)出相應的數學技能，這也正是課標中所倡導的：讓學生在觀察、操作、猜測、交流的反思等活動中逐步體會數學知識的產生、形成與發(fā)展的過程，獲得積極的情感體驗，感覺數學的力量，同時掌握必要的基礎知識與基本技能。也充分地體現了建構主義教學理念：知識不可能以實體的形式存在于個體之外，盡管通過語言賦予了知識一定的外在形式，并且獲得了較為普通的認同，但這并不意味著學習者對這種知識有同樣的理解。真正的理解只能由學習者自身基于自己的經驗背景而建構起來，取決于特定情境下的學習活動過程。否則，就不叫理解，而是叫死記硬背或生吞活剝，是被動的復制式的學習。三、尊重學生，體現人文關懷。重視評價、激勵促發(fā)展。在課上我們可以看到教師盡量做到讓每個學生都有表現自己的機會，讓學生在數學活動中獲得到一種積極的成功體驗。一位哲學家說過，一個人品嘗過一次成功的喜悅，會激勵他千百次地戰(zhàn)勝失敗。因此課堂上教師對學生進行的適時且有效的評價，這對學生的心理成長和學習都有很大幫助。總之，本節(jié)課充分體現了新課程改革所提倡的數學學習不是一個簡單的、被動的接受過程，而是學生自己體驗、探索、實踐活動的過程這一理念。四、值得探討反思的幾個問題1、雖然老師注意到對學生的評價對學生們的學習熱情的影響，但是，同時整個課堂還是存在著部分學生參與意識不強的問題，如何做到面向全體學生，尤其是如何調動后進生的學習熱情依然是新課程改革的一個大命題。2、本節(jié)課的練習充分體現了層次性、實效性，從訓練中我們能夠真實地看到孩子們在課堂學習中所獲得情感體驗。但數學教學的重要目的之一就是要促進學生數學思維的發(fā)展。因此我認為在練習的設計上還可以有一定的延展性?！菊n后鞏固案】當成立的充要條件是對任意實數，恒成立，則的取值范圍是；對任意實數，恒成立，則的取值范圍是若關于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是方程的解集為,不等式的解集是已知方程有實數解，則a的取值范圍為。畫出不等式的圖形，并指出其解的范圍。利用不等式的圖形解不等式（1）;（2）8、（1）已知求證：。（2）已知求證：。（3）已知求證：9、（1）已知求證：（2）已知求證：課后反思本節(jié)課主要從以下幾點反思一、創(chuàng)設情境，激發(fā)求知欲望，每一個學生都有著強烈的好奇心和求知欲，如何利用這一點使學生能夠以一個飽滿的熱情投入到新知識的學習中來呢？創(chuàng)設一個有吸引力的初始情境是最好的手段，這節(jié)課上課開始老師通過問題展示，創(chuàng)設情境，導入新課，積極的為學生營造了和諧的學習環(huán)境，激發(fā)學生學習的積極性，使學生紛紛自覺投入到學習活動中。這一環(huán)節(jié)的設計既活躍了課堂氣氛，又讓學生初步領會到不等式的特點，為學生在緊跟其后的學習中通過自己的實踐活動自主探究不等式的基本性質做好了鋪墊。整節(jié)課結構有張有弛，詳略得當，學生在一節(jié)課的時間中始終都處于一個問題思索、規(guī)律探究的過程中，正如蘇霍姆林斯基所說，評價一節(jié)課是否成功，關鍵要看在這節(jié)課中，學生是否有充分的腦力活動。從這個角度來評價這節(jié)課，無疑是成功的。二、巧妙引導，自主、合作、探究。數學課程標準指出：學生有效的學習活動不能單純的依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。這節(jié)課的主體設計正體現了新課改的主要理念，讓學生成為學習的主體，讓他們在主動的探索和與他人的合作探究中由舊的知識中得出新的知識，完成學生知識結構的更新和重構，在這節(jié)課中，老師并沒有羅列出不等式有哪些基本性質，而是給出了一組填空題來讓學生完成，讓學生們在自己觀察，自我猜想，自我嘗試，自我驗證中得出結論，由于填空題入手簡單，學生們都樂于嘗試，人人都動手進行練習，這為下面的探究工作做好的情緒上的鋪墊，而最后的歸納工作也留給學生，讓學生們自已去歸納經驗，總結規(guī)律，同時也讓他們自己去驗證自己的發(fā)現，充分地體現了建構主義的自主、自發(fā)的理念。在上述探究活動中，一方面使學生對不等式的性質由以前的籠統(tǒng)的，模糊的感性認識上升到清晰的、準備的理性認識，同時又發(fā)展了學生的多種能力，如語言表達能力，自主探究能力，批判與反思能力及自學能力。三、充分的練習，鍛煉了解題能力。以往的探究型學習課有一個誤區(qū)，認為新課程理念只重視探究、總結的過程，而忽略對學生的實際解題能力培養(yǎng)，其實，探究與學生的解題能力的培養(yǎng)根本就不矛盾，在這節(jié)課中，探究、歸納之后，老師并沒有僅僅停留在這些規(guī)律上，而是馬上讓學生投入到規(guī)律的應用中去，通過解決一些數學問題讓學生明白，前面的規(guī)律到底如何應用，這些規(guī)律能解決什么問題。通過這些工作，學生的學習熱情更加高漲。四、欠缺之處有句話說