數(shù)學(xué)電子教案空白模板（共4篇）

數(shù)學(xué)電子教案空白模板（共4篇）篇：聾校數(shù)學(xué)電子教案

聾校數(shù)學(xué)電子教案

【篇1：聾校數(shù)學(xué)七年級第十三冊教案】

聾校數(shù)學(xué)七年級第十三冊教案

句容市特殊教育學(xué)校王露2015年9月——2023年1月

七年級第一學(xué)期數(shù)學(xué)計劃

教材分析：這一冊教材包括下面一些內(nèi)容：分?jǐn)?shù)加法和減法，分?jǐn)?shù)乘法，分?jǐn)?shù)除法。在計算方面，教學(xué)分?jǐn)?shù)加.減.乘.除法，分?jǐn)?shù)加減.乘加.乘減.乘除混合運算，分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，分?jǐn)?shù)與小數(shù)加減混合運算。在應(yīng)用題方面，著重教學(xué)簡單的分?jǐn)?shù)四則應(yīng)用題。教學(xué)要求：

1.學(xué)生理解分?jǐn)?shù)加、減法的意義，掌握分?jǐn)?shù)加、減法的計算法則，比較熟練的計算分?jǐn)?shù)加、減法（簡單的能夠口算）。2.使學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘除法的意義，掌握分?jǐn)?shù)乘除法的計算法則，比較熟練的計算分?jǐn)?shù)乘除法（簡單的能夠口算）。3.使學(xué)生會進行分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化，會進行分?jǐn)?shù)、小數(shù)加減混合運算以及分?jǐn)?shù)四則兩步混合運算。4.使學(xué)生理解比的意義和性質(zhì)，會求比值和化簡比。5.使學(xué)生能夠按要求用算術(shù)方法或方程解法解答分?jǐn)?shù)一、二步分?jǐn)?shù)加、減法應(yīng)用題，會解答分?jǐn)?shù)乘除法一步應(yīng)用題以及按比例分配的應(yīng)用題。教學(xué)重點：

掌握分?jǐn)?shù)加、減、乘、除法的計算法則，比較熟練的計算分?jǐn)?shù)加、減、乘、除法以及四則兩步混合運算。教學(xué)難點：

用算術(shù)方法或方程解法解答分?jǐn)?shù)一二分?jǐn)?shù)加減應(yīng)用題，會解答分?jǐn)?shù)乘法.除法一步應(yīng)用題以及按比例分配的應(yīng)用題。課時安排：

一、分?jǐn)?shù)加減法（31課時）1．同分母分?jǐn)?shù)加減法10課時2．異分母分?jǐn)?shù)加減法8課時3．分?jǐn)?shù)加減混合運算4課時

4．分?jǐn)?shù).小數(shù)加減混合運算7課時5．整理復(fù)習(xí)2課時

二、分?jǐn)?shù)乘法（23課時）1．乘法的意義和計算法則15課時2．分?jǐn)?shù)乘法一步應(yīng)用題4課時3．倒數(shù)的認(rèn)識2課時4．整理復(fù)習(xí)2課時

分?jǐn)?shù)除法（26課時）

1．分?jǐn)?shù)除法的意義和計算法則12課時2．分?jǐn)?shù)除法一步應(yīng)用題4課時3．比7課時

4．整理和復(fù)習(xí)3課時

一、分?jǐn)?shù)的加法和減法

教學(xué)要求：

1．使學(xué)生理解分?jǐn)?shù)加、減的意義，理解并掌握分?jǐn)?shù)加減法的法則，并能夠比較熟練的計算分?jǐn)?shù)加減法，會口算簡單的分?jǐn)?shù)加、減法。2．使學(xué)生理解整數(shù)加法運算定律對于分?jǐn)?shù)加法同樣適用，并會用這些定律進行一些分?jǐn)?shù)加法的簡便計算。3．使學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化方法，正確的進行分?jǐn)?shù)、小數(shù)加減混合運算。教學(xué)課時：31課時

教學(xué)過程：

第一課時

內(nèi)容：例1.2

目的：了解分?jǐn)?shù)加減法的意義

教具：小黑板

過程：

一、復(fù)習(xí)（小黑板）

7/8的分?jǐn)?shù)單位是。5/9是（）個1/9.4/7是4個。3個1/5是。二、新授

1.設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。2.學(xué)習(xí)指導(dǎo)

例1一張長方形紙，做紙花用去2/5，做小旗用去1/5.一共用去這張紙的幾分之幾？（小黑板）做紙花用去2/5做小旗用去1/5一共用去？想：2個1/5加1個1/5是3個1/5，就是3/5.2/5+1/5=3/5答：一共用去這張紙的3/5.意義：與整數(shù)加法的意義相同，是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。練習(xí)：2/5+2/5=3/7+1/7=

例2一塊布長9/10米，用去6/10米。還剩多少米？（小黑板）

想：9個1/10米減去6個1/10米剩3個1/10米，就是3/10米。9/10-6/10=3/10（米）答：還剩3/10米。意義：與整數(shù)減法的意義相同，是已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。三、練習(xí)：4/53/7=()/7=

想：和可以直接想減嗎？為什么？做課后練習(xí)比較上面兩個例題，說一說同分母分?jǐn)?shù)加法和減法的計算有什么共同點。同分母分?jǐn)?shù)加法和減法的法則：（小黑板）

同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，只把分子相加減。小結(jié)：分?jǐn)?shù)加減法的法則。作業(yè)：1.課堂作業(yè)：p7782.課外作業(yè)：p79第三課時

教學(xué)目的：運用加減法法則計算。教學(xué)內(nèi)容：例

5教具準(zhǔn)備：小黑板

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)（小黑板）

二、新授設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。指導(dǎo)學(xué)習(xí)：

例5計算：

出示例5題同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，只把分子相加減。能化成整數(shù)的要化成整數(shù)把整數(shù)化成分?jǐn)?shù)

三、做課后練習(xí)，教師巡查。四、小結(jié)：熟練的運用分?jǐn)?shù)加減法法則進行計算。五、作業(yè)：1.課堂作業(yè)：p710112.課外作業(yè)：p71

2教學(xué)后記：

教學(xué)例5時，可以先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義和怎樣把1化成與其他分?jǐn)?shù)的分母相同的分?jǐn)?shù)。再按同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則計算?！酒?：聾校二年級下學(xué)期數(shù)學(xué)教案】

特殊教育學(xué)校教師

電子備課簿

2011---2012學(xué)年度第二學(xué)期學(xué)科數(shù)學(xué)

年級

教師周詠梅

學(xué)校新沂市特教中心

第四冊聾部數(shù)學(xué)學(xué)期教學(xué)進度計劃

數(shù)學(xué)第一單元教學(xué)進度計劃1、乘法的初步認(rèn)識

第（1）課時，總第（1）課時

教學(xué)內(nèi)容：乘法的初步認(rèn)識，例1,練習(xí)一1–4題。教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生理解乘法含義，知道“求幾個相同加數(shù)的和”用乘法計算比較簡便。2、會口述乘法算式所表示的意思．3、培養(yǎng)學(xué)生觀察比較的能力。教學(xué)重難點：“求幾個相同加數(shù)的和”用乘法計算比較簡便，乘法算式所表示的意義。教學(xué)準(zhǔn)備：小紅花、正方形、小圓片等實物圖，課件教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)鋪墊：

7＋2＋6，3＋3；4＋5＋2，5＋5＋5，6＋4＋3，4+4＋4＋4

（1）、引導(dǎo)學(xué)生觀察，討論：這些算式有什么相同的地方？有什么不同的地方？（2）、指名說出自己的想法？集體答案。二、激發(fā)導(dǎo)入：

像上面這樣求幾個相同加數(shù)的和，除了用加法計算外，還可以用一種簡便方單的方法，這種簡便方法是是什么呢？這正是我們今天要研究的問題．三、探究新知：

（一）、出示例1擺一擺，算一算

1、師生共同先擺2朵，再擺2朵，最后又?jǐn)[2朵，想：擺了幾個2，想：擺了幾個2？要求一共擺了多少朵？用加法算式怎樣表示？想：你寫出的加法算式有什么特點？相同加數(shù)是幾，幾個2連加．?dāng)?shù)一數(shù),算一算?板書：2+2+2=6

2、教師小結(jié)：像這樣求幾個相同加數(shù)的和，除了用加法計算外，還有一種比較簡便的方法叫做乘法．板書課題：乘法的初步認(rèn)識

【篇3：聾校數(shù)學(xué)第十四冊教案】

聾校數(shù)學(xué)第十四冊教案

第一課時

教學(xué)目的：分?jǐn)?shù)四則混合運算。教學(xué)內(nèi)容：例1、2教具準(zhǔn)備：小黑板

教學(xué)過程：

新授

1.設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)：

=應(yīng)該先算什么，再算什么？==

分?jǐn)?shù)四則混合運算的運算順序與整數(shù)四則混合運算的運算順序相同。練習(xí)：做一做

作業(yè)：練習(xí)一1、2、3題。教學(xué)后記：

在學(xué)生練習(xí)時教師應(yīng)注意巡視，隨時發(fā)現(xiàn)問題，隨時給予個別的輔導(dǎo)和糾正。還應(yīng)提醒學(xué)生做分?jǐn)?shù)四則混合運算時，不僅要注意運算順序，還要注意分?jǐn)?shù)加減法和分?jǐn)?shù)乘除法的計算方法差異較大，必須要分清什么時候需要通分什么時候需要把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)。第二課時

教學(xué)目的：鞏固練習(xí)。教學(xué)內(nèi)容：練習(xí)一5—8題

教具準(zhǔn)備：小黑板

教學(xué)過程：

練習(xí)：5.（1）學(xué)生練習(xí)：

先讓學(xué)生說說計算順序，然后再計算。（2）老師講評。6.（1）學(xué)生練習(xí)：

先讓學(xué)生說說計算順序，然后再計算。（2）老師講評。7.（1）學(xué)生練習(xí)：

本題都是三四步的分?jǐn)?shù)混合運算，計算比較復(fù)雜。學(xué)生做題時，可先學(xué)生說說計算的順序。（2）老師講評。8.說出下面的圖形的名稱，并計算出它們的面積。（1）學(xué)生練習(xí)：（2）老師講評。作業(yè)：練習(xí)一6、7、8第三課時

教學(xué)目的：分?jǐn)?shù)四則混合運算。教學(xué)內(nèi)容：例

3教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)：

新授：

1.設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)：

=2（1/7）+（5/8+3/8）（應(yīng)用了什么定律？）==

在分?jǐn)?shù)四則混合運算中有時可以應(yīng)用運算定律使計算簡便。練習(xí)：做一做

作業(yè)：練習(xí)一10-12題。教學(xué)后記：

教學(xué)例3時，可以先出示例題，讓學(xué)生想一想這道題應(yīng)該先算什么，然后指名讓學(xué)生說出計算的方法，教師在黑板上演算。第四課時

教學(xué)目的：混合練習(xí)。教學(xué)內(nèi)容：練習(xí)一13—18題

教具準(zhǔn)備：小黑板。教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)：

練習(xí)：

13.（1）學(xué)生練習(xí)：

（2）老師講評。14.（1）學(xué)生練習(xí)：

要充分運用各種運算定律使計算簡便。（2）老師講評。15.（1）學(xué)生練習(xí)：

要充分運用各種運算定律使計算簡便。（2）老師講評。16.（1）學(xué)生練習(xí)：

復(fù)習(xí)長方體和正方體的表面積公式。（2）老師講評。17.（1）學(xué)生練習(xí)。讀題，列式、計算、答題。（2）老師講評。18.（1）學(xué)生練習(xí)。讀題，列式、計算、答題。（2）老師講評。作業(yè)：練習(xí)一14—18題。第五課時

教學(xué)目的：學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則混合運算

教學(xué)內(nèi)容：例

4教具準(zhǔn)備：小黑板

教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)

新授：

1.設(shè)計情景，導(dǎo)入新課。2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)：=1（2/3）

因為計算分?jǐn)?shù)乘除法時，有時可以先約分，再計算比較簡便。所以，分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘除混合運算一般先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后再計算。練習(xí)：做一做

作業(yè)：練習(xí)二1、3題

教學(xué)后記：

教學(xué)例4以前，可以先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化的方法和分?jǐn)?shù)、小數(shù)加減混合運算。出示例4，讓學(xué)生想一想，這道題怎樣計算比較方便。由于本題中的8/39不能化成有限小數(shù)，所以都化成分?jǐn)?shù)計算比較簡單。第六課時

教學(xué)目的：鞏固練習(xí)

第2篇：高等數(shù)學(xué)電子教案12

高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

第十二章

無窮級數(shù)教學(xué)目的：

1、理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念。2、了解無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。3、掌握幾何級數(shù)和p-級數(shù)的收斂性。4、掌握正項級數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。5、掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨定理，會估計交錯級數(shù)的截斷誤差。6、了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。7、理解函數(shù)項級數(shù)的收斂性、收斂域及和函數(shù)的概念，了解函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性概念，了解函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。8、掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。9、會利用冪級數(shù)的性質(zhì)求和

10、了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。11、會利用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。12、理解函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷條件。13、掌握將定義在區(qū)間(－π，π)上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的方法。14、會將定義在區(qū)間[0，π]上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。15、會將定義在區(qū)間(－l?，l?)上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。教學(xué)重點：1、級數(shù)收斂的定義及條件

2、判定正項級數(shù)的收斂與發(fā)散

3、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；

4、泰勒級數(shù)

5、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)。教學(xué)難點：

1、級數(shù)收斂的定義及條件

2、判定正項級數(shù)的收斂與發(fā)散

3、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)4、泰勒級數(shù)；

5、函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)§12?1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項級數(shù)的概念

常數(shù)項無窮級數(shù)?一般地，給定一個數(shù)列

u1?u2?u3?????un?????則由這數(shù)列構(gòu)成的表達式

u1?u2?u3?????un????

?叫做（常數(shù)項)無窮級數(shù)?簡稱（常數(shù)項)級數(shù)?記為?un?即

n?1?

?un?u1?u2?u3?????un?????

n?1其中第n項un叫做級數(shù)的一般項?

?

級數(shù)的部分和?作級數(shù)?un的前n項和

n?1n

sn??ui?u1?u2?u3?????un

i?1?稱為級數(shù)?un的部分和?

n?1?級數(shù)斂散性定義?如果級數(shù)?un的部分和數(shù)列{sn}有極限s?

n?1即

limsn?s?

n???則稱無窮級數(shù)?un收斂?這時極限s叫做這級數(shù)的和?

n?1并寫成?

s??un?u1?u2?u3?????un?????

n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)?如果{sn}沒有極限?則稱無窮級數(shù)?un發(fā)散?

n?1?n?1?n?

1余項?當(dāng)級數(shù)?un收斂時?其部分和sn是級數(shù)?un的和s的近似值?它們之間的差值rn?s?sn?un?1?un?2????

?叫做級數(shù)?un的余項?

n?1

例1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))

?aqn?a?aq?aq2?????aqn????

n?0?的斂散性?其中a?0?q叫做級數(shù)的公比?

解：如果q?1?則部分和

sn?a?aq?aq?????aq2n?1a?aqnaqna????

1?q1?q1?q?aa

當(dāng)|q|?1時?因為limsn??所以此時級數(shù)?aqn收斂?其和為?

1?q1?qn??n?0

當(dāng)|q|>1時?因為limsn???所以此時級數(shù)?aqn發(fā)散?

n??n?0?如果|q|?1?則當(dāng)q?1時?sn?na???因此級數(shù)?aqn發(fā)散?

n?0?

當(dāng)q??1時?級數(shù)?aqn成為

n?0?

a?a?a?a?????

時|q|?1時?因為sn隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)所以sn的極限不存在?從而這時級數(shù)?aqn也發(fā)散?

n?0??a

綜上所述?如果|q|?1?則級數(shù)?aq收斂?其和為?如果|q|?1?則級數(shù)?aqn發(fā)散?1?qn?0n?0n?

僅當(dāng)|q|?1時?幾何級數(shù)?aqna?0)收斂?其和為n?0?a?

1?q

例2證明級數(shù)

1?3?5?????（2n-1）????是發(fā)散的?

證此級數(shù)的前n項部分和為

n(2?1n)?n

sn?1?3?5?????(??

顯然?limsn???因此所給級數(shù)是發(fā)散的?

n??

例3判別無窮級數(shù)

1111???????????

1?22?33?4n(n?1)的收斂性?

解由于

un?因此

sn?1111???????1?22?33?4n(n?1)111???

n(n?1)nn?1

?(1?)?(?)?????(?從而

limsn?lim(1?n??n??1212131n11)?1?n?1n?11)?1?

n?1所以這級數(shù)收斂?它的和是1?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)提示?un?111???

n(n?1)nn?1

二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)?n?1?n?

1性質(zhì)1如果級數(shù)?un收斂于和s?則它的各項同乘以一個常數(shù)k所得的級數(shù)?kun也收斂?且其和為ks?

證明：設(shè)?un與?kun的部分和分別為sn與?n?則

n?1n?1??

lim?n?lim(ku1?ku2????kun)?klim(u1?u2????un)?klimsn?ks?

n??n??n??n???這表明級數(shù)?kun收斂?且和為ks?

n?1表明：級數(shù)的每一項同乘以一個不為零常數(shù)后，它的收斂性不會改變。性質(zhì)2如果級數(shù)?un、?vn分別收斂于和s、??則級數(shù)?(un?vn)也收斂?且其和為s???n?1n?1n?1???

證明：如果?un、?vn、?(un?vn)的部分和分別為sn、?n、?n?則

n?1n?1n?1???

lim?n?lim[(u1?v1)?(u2?v2)?????(un?vn)]

n??n??

?lim[(u1?u2?????un)?(v1?v2?????vn)]

n??

?lim(sn??n)?s???

n??表明：兩個收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減。性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項?不會改變級數(shù)的收斂性?

比如?級數(shù)1111???????????是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)加一項后級數(shù)9895?11?2?12?3?13?4?????1n(n?1)????也是收斂的?

減一項后級數(shù)111??????????也是收斂的?

3?44?5n(n?1)?

性質(zhì)4如果級數(shù)?un收斂?則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂?且其和不變?n?1注意?如果加括號后所成的級數(shù)收斂?則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂?

例如?級數(shù)

（1?1)+（1?1)+???收斂于零?但級數(shù)1?1?1?1????卻是發(fā)散的?

推論?如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散?則原來級數(shù)也發(fā)散?

級數(shù)收斂的必要條件?

?

性質(zhì)5如果?un收斂?則它的一般項un趨于零?即limun?0?

n?1n?0?

證：設(shè)級數(shù)?un的部分和為sn?且limsn?s?則n?1n??

limun?lim(sn?sn?1)?limsn?limsn?1?s?s?0?

n?0n??n??n??

注意?級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件?

例如

調(diào)和級數(shù)

?1111?1???????????

23nn?1n1n??盡管它的一般項limn???0，但它是發(fā)散的?

因為

假若級數(shù)?1收斂且其和為s?sn是它的部分和?

nn?1顯然有l(wèi)imsn?s及l(fā)ims2n?s?于是lim(s2n?sn)?0?

n??n??n??

但另一方面?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

s2n?sn?1?n?1111111??????????????

n?22n2n2n2n2?故lim(s2n?sn)?0?矛盾?這矛盾說明級數(shù)?1必定發(fā)散?

n??n?1n§12?2常數(shù)項級數(shù)的審斂法

一、正項級數(shù)及其審斂法

定義：各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù)，稱為正項級數(shù)。正項級數(shù)是一類非常重要的級數(shù)，關(guān)于正項級數(shù)有列重要結(jié)論：

?定理1正項級數(shù)?un收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界?

n?1證

設(shè)級數(shù)

u1?u2?????un????

是一個正項級數(shù)。其部分和為sn

顯然sn是一個單調(diào)增加數(shù)列，若部分和數(shù)列sn有界?則根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則，可知級數(shù)?un收斂；反之?若級數(shù)?un收斂，則部分和數(shù)列sn有極限，根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)列的性質(zhì)可知{sn}有界??

?n?1?n?1?n?1定理2(比較審斂法)設(shè)?un和?vn都是正項級數(shù)?且un?vn(n?1?2????)?若級數(shù)?vn收?n?1?n?1?n?1斂?則級數(shù)?un收斂?反之?若級數(shù)?un發(fā)散?則級數(shù)?vn發(fā)散?

證

設(shè)級數(shù)?vn收斂于和??則級數(shù)?un的部分和

n?1n?1??

sn?u1?u2?????un?v1?v2?????vn??(n?1,2,???)??即部分和數(shù)列{sn}有界?由定理1知級數(shù)?un收斂?

n?1?n?1?n?

1反之?設(shè)級數(shù)?un發(fā)散?則級數(shù)?vn必發(fā)散?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

?n?1?n?1因為若級數(shù)?vn收斂?由上已證明的結(jié)論?將有級數(shù)?un也收斂?與假設(shè)矛盾??n?1?n?1?n?1

推論

設(shè)?un和?vn都是正項級數(shù)?如果級數(shù)?vn收斂?且存在自然數(shù)N?使當(dāng)n?N時有

?n?1?n?1un?kvn(k?0)成立?則級數(shù)?un收斂?如果級數(shù)?vn發(fā)散?且當(dāng)n?N時有un?kvn(k?0)成立??則級數(shù)?un發(fā)散?

n?1

例1討論p?級數(shù)

?

?n?111111?1????????????

np2p3p4pnp的收斂性?其中常數(shù)p?0?

111解設(shè)p?1?這時p??而調(diào)和級數(shù)?發(fā)散?由比較審斂法知?

nnn?1n??當(dāng)p?1時級數(shù)?n?11發(fā)散?

pn

設(shè)p?1?此時有

nn111111?dx?dx?[?p?1](n?2,3,???)?

??pppp?1n?1nn?1xp?1(n?1)nn?對于級數(shù)?[n?211?p?1]?其部分和

p?1(n?1)n1]?[p?112p?1?]?????[p?111np?1?11]?1??

p?1p?1(n?1)(n?1)

sn?[1?23因為limsn?lim[1?n??n??1]?1?

(n?1)p?1?111所以級數(shù)?[收斂?從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知?級數(shù)當(dāng)

?]?pp?1p?1nn?2(n?1)n?1n青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組?高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

p?1時收斂?

綜上所述?p?級數(shù)?1p當(dāng)p?1時收斂?當(dāng)p?1時發(fā)散?

n?1?n?提示?級數(shù)?[n?211?]的部分和為

(n?1)p?1np?112p?1

sn?[1?12p?1]?[?13p?1]?????[1np?1?11?

]?1?p?1(n?1)(n?1)p?1因為limsn?lim[1?n??n??1]?1?

(n?1)p?1?所以級數(shù)?[n?211?]收斂?(n?1)p?1np?1?

p?級數(shù)的收斂性?

p?級數(shù)?n?11當(dāng)p?1時收斂?當(dāng)p?1時發(fā)散?

pn?

例2證明級數(shù)?n?11n(n?1)是發(fā)散的?

證因為1n(n?1)?1(n?1)2?1?

n?1?而級數(shù)?n?11111???????????是發(fā)散的?

n?123n?1根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的?

定理3(比較審斂法的極限形式)?n?1?n?1

設(shè)?un和?vn都是正項級數(shù)?

(1)如果limn??unvn?n?1?n?1?l(0?l???)?且級數(shù)?vn收斂?則級數(shù)?un收斂?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

(2)如果limn??unvn?l?0或limn??unvn?n?1?n?1????且級數(shù)?vn發(fā)散?則級數(shù)?un發(fā)散?證明由極限的定義可知?對??1l?存在自然數(shù)N?當(dāng)n?N時?有不等式

2l?u1113l?n?l?l?

即lvn?un?lvn?

222vn2再根據(jù)比較審斂法的推論1?即得所要證的結(jié)論?

?

例3判別級數(shù)?tann?11n的收斂性?

tan1?

解因為limn??n?1?而級數(shù)1發(fā)散?

?1n?1nn?根據(jù)比較審斂法的極限形式?級數(shù)?tann?1?1n發(fā)散?

例4判別級數(shù)?n?11(2n?1)(2n?1)的收斂性?

1?1(2n?1)(2n?1)1??而級數(shù)?2收斂?

解因為limn??14n?1n2n?根據(jù)比較審斂法的極限形式?級數(shù)?n?11(2n?1)(2n?1)收斂?定理4(比值審斂法?達朗貝爾判別法)?

若正項級數(shù)?un的后項與前項之比值的極限等于??

n?1

limn??un?1un???

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

則

當(dāng)??1時級數(shù)收斂?

當(dāng)??1(或limn??un?1un??)時級數(shù)發(fā)散?

當(dāng)??1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?例5證明級數(shù)1??是收斂的?

解因為limn??1111??????????11?21?2?31?2?3???(n?1)un?1un?

limn??1?2?3???(n?1)1?2?3???n?limn??1?0?1?

n根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂?

例6判別級數(shù)11?21?2?3n!?2??????????的收斂性?

3n10101010

解因為limn??un?1un(n?1)!10nn?1?lim??lim???

n?1n!n??10n??10根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散?

?

例7判別級數(shù)?n?112n?(2n?1)的收斂性?

解limn??un?1un?limn??2n?(2n?1)(2n?1)?(2n?2)?1?

這時??1?比值審斂法失效?必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性?

因為

定理5(根值審斂法?柯西判別法)?1(2n?1)?2n?1n2??而級數(shù)?n?11收斂?因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂?

n

2設(shè)?un是正項級數(shù)?如果它的一般項un的n次根的極限等于??

n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

limn??nun???

n則當(dāng)??1時級數(shù)收斂?當(dāng)??1(或limn??un???)時級數(shù)發(fā)散?

當(dāng)??1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

例8證明級數(shù)1?12?13?????1n????是收斂的?

23n并估計以級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差?

解因為limn??nun?limnn??11?lim?0?

nn??nn所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂?

以這級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為

|rn|?

?

?111??????

(n?1)n?1(n?2)n?2(n?3)n?3111???????

n?1n?2n?3(n?1)(n?1)(n?1)1?

nn(n?1)?

例9判定級數(shù)?n?12?(?1)n2n的收斂性?

解因為limn??nun?lim1n12?(?1)n??2n??2所以?根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂?

定理6(極限審斂法)

設(shè)?un為正項級數(shù)?

n?1?

(1)如果limnun?l?0(或limnun???)?則級數(shù)?un發(fā)散?

n??n???n?1?

(2)如果p?1?而limnpun?l(0?l???)?則級數(shù)?un收斂?

n??n?1?

例7判定級數(shù)?ln(1?n?11)的收斂性?

n2青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)解因為ln(1?12)~12(n??)?故

nn

limn2un?limn2ln(1?12)?limn2?12?1?

n??n??nn??n根據(jù)極限審斂法?知所給級數(shù)收斂?

例8判定級數(shù)?n?1(1?cos?)的收斂性?

n?1?n

解因為limn??3n2un?limn??3n2n?1(1?cos?n)?limn2n??n?11?212?()???n2n2根據(jù)極限審斂法?知所給級數(shù)收斂?

二、交錯級數(shù)及其審斂法

交錯級數(shù)?交錯級數(shù)是這樣的級數(shù)?它的各項是正負(fù)交錯的?

??

交錯級數(shù)的一般形式為?(?1)n?1n?1nun?或?(?1)un其中un?0?

n?1?

例如??(?1)n?1n?111?cosn?不是交錯級數(shù)?

是交錯級數(shù)?但?(?1)n?1nnn?1?

定理7（萊布尼茨定理）

如果交錯級數(shù)?(?1)n?1un滿足條件?

n?1?

(1)un?un?1(n?1?2?3????)?

(2)limun?0?

n??則級數(shù)收斂?且其和s?u1?其余項rn的絕對值|rn|?un?1?

證明?設(shè)前2n項部分和為s2n?

由s2n?(u1?u2)?(u3?u4)?????(u2n1?u2n)?

及s2n?u1?(u2?u3)?(u4?u5)?????(u2n?2?u2n?1)?u2n

看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n?u1)?所以收斂?

設(shè)s2n?s(n??)?則也有s2n?1?s2n?u2n?1?s(n??)?所以sn?s(n??)?從而級數(shù)是收斂的?且sn?u1?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

因為|rn|?un?1?un?2????也是收斂的交錯級數(shù)?所以|rn|?un?1?

例9證明級數(shù)?(?1)n?11收斂?并估計和及余項?

n?1?n

證

這是一個交錯級數(shù)?因為此級數(shù)滿足

(1)un?1?1?un?1(n?1,2,???)?

(2)limun?lim1?0?

nn?1n??n??n由萊布尼茨定理?級數(shù)是收斂的?且其和s?u1?1?余項|rn|?un?1?

1三、絕對收斂與條件收斂?

?n?1?n?1n?1?

絕對收斂與條件收斂?若級數(shù)?|un|收斂?則稱級數(shù)?un絕對收斂?

?n?1?n?1?n?1若級數(shù)?un收斂?而級數(shù)?|un|發(fā)散?則稱級?un條件收斂?

例如級數(shù)?(?1)n?1?n?11n?11是絕對收斂的?而級數(shù)是條件收斂的?

(?1)?nn2n?1?n?1??n?1定理8如果級數(shù)?un絕對收斂?則級數(shù)?un必定收斂?

證明略

?n?1?n?

1注意?如果級數(shù)?|un|發(fā)散?我們不能斷定級數(shù)?un也發(fā)散?

?

但是?如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)?|un|發(fā)散?

n?1?則我們可以斷定級數(shù)?un必定發(fā)散?

n?1?這是因為?此時|un|不趨向于零?從而un也不趨向于零?因此級數(shù)?un也是發(fā)散的?n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

?

例11判別級數(shù)?n?1sinnan1n44的收斂性?

解因為|sinnan4?|??而級數(shù)?n?11n4是收斂的?

?所以級數(shù)?|n?1sinnan?4?|也收斂?從而級數(shù)?n?1sinnan4絕對收斂?

2例12判別級數(shù)?(?1)n1n(1?1)n的收斂性?

n?12n

解?由|un|?11n2n|u|?1lim(1?1)n?1e?1??有(1?)limnn2n??n2n??2n?可知limun?0?因此級數(shù)?(?1)nn??n?111n2(1?)發(fā)散?n2n

§12?3冪級數(shù)

一、函數(shù)項級數(shù)的概念

函數(shù)項級數(shù)?給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列：

u1(x)，u2(x)，u3(x)，??????un(x)?????由這函數(shù)列構(gòu)成的表達式

u1(x)?u2(x)?u3(x)?????un(x)????

稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù)?

記為?un(x)?

n?1?

對于區(qū)間I內(nèi)的一定點x0?若常數(shù)項級數(shù)?un(x0)收斂?則稱

n?1?點x0是級數(shù)?un(x)的收斂點?

若常數(shù)項級數(shù)?un(x0)發(fā)散?則稱

n?1n?1??青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)點x0是級數(shù)?un(x)的發(fā)散點?。n?1?函數(shù)項級數(shù)?un(x)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域?n?1?

所有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域?

在收斂域上?函數(shù)項級數(shù)?un(x)的和是x的函數(shù)s(x)?

n?1?s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)?un(x)的和函數(shù)?并寫成s(x)??un(x)?n?1n?1??

∑un(x)是?un(x)的簡便記法?以下不再重述?

n?1?

在收斂域上?函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x)?

s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的和函數(shù)?并寫成s(x)?∑un(x)?這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域。函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的前n項的部分和記作sn(x)?即

sn(x)?u1(x)?u2(x)?u3(x)?????un(x)?

在收斂域上有l(wèi)imsn(x)?s(x)或sn(x)?s(x)(n??)?

n??

函數(shù)項級數(shù)?un(x)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差

rn(x)?s(x)?sn(x)n?1?叫做函數(shù)項級數(shù)?un(x)的余項?

n?1?

函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的余項記為rn(x)?它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差rn(x)?s(x)?sn(x)?定理的第二部分可用反證法證明?倘若冪級數(shù)當(dāng)x?x0時發(fā)散而有一點x1適合|x1|>|x0|使級青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

數(shù)收斂?則根據(jù)本定理的第一部分?級數(shù)當(dāng)x?x0時應(yīng)收斂?這與所設(shè)矛盾?定理得證?

推論

如果級數(shù)?anxn不是僅在點x?0一點收斂?也不是在整個數(shù)軸上都收斂?則必有一個n?0?完全確定的正數(shù)R存在?使得

當(dāng)|x|?R時?冪級數(shù)絕對收斂?

當(dāng)|x|?R時?冪級數(shù)發(fā)散?

當(dāng)x?R與x??R時?冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

收斂半徑與收斂區(qū)間?正數(shù)R通常叫做冪級數(shù)數(shù)??n?0?anxn的收斂半徑?開區(qū)間(?R?R)叫做冪級?n?0?anxn的收斂區(qū)間?再由冪級數(shù)在x??R處的收斂性就可以決定它的收斂域?冪級數(shù)n?0?anxn的收斂域是(?R,R)(或[?R,R)、(?R,R]、[?R,R]之一?

?n?

規(guī)定?若冪級數(shù)?anx只在x?0收斂?則規(guī)定收斂半徑R?0?若冪級數(shù)?anxn對一切x都n?0n?0收斂?則規(guī)定收斂半徑R????這時收斂域為(??,??)?

關(guān)于冪級數(shù)的收斂半徑求法，有下列定理：

定理2如果lim|n??an?1an|???其中an、an?1是冪級數(shù)?anxn的相鄰兩項的系數(shù)?

n?0?則這冪級數(shù)的收斂半徑

?????0??1??0?

R??????0????

簡要證明?lim|n??an?1xn?1anxn|?lim|n??an?1an|?|x|??|x|?

(1)如果0??????則只當(dāng)?|x|?1時冪級數(shù)收斂?故R?

(2)如果??0?則冪級數(shù)總是收斂的?故R????

1??

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

(3)如果?????則只當(dāng)x?0時冪級數(shù)收斂?故R?0?

例1求冪級數(shù)?(?1)n?1?n?1xn的收斂半徑與收斂域?

n1a

解

因為??lim|n?1|?limn?1?1?

n??an??1nn所以收斂半徑為R?1??1?

?

當(dāng)x?1時?冪級數(shù)成為?(?1)n?1n?1?1?是收斂的?

n1當(dāng)x??1時?冪級數(shù)成為?(?)?是發(fā)散的?因此?收斂域為(?1,1]?nn?1

例2求冪級數(shù)?1?x?1nxn!n?0?12131的收斂域?

x?x?????xn????2!3!n!1a(n?1)!n!?lim?0?

解

因為??lim|n?1|?limn??an??n??(n?1)!1nn!所以收斂半徑為R????從而收斂域為(??,??)?例3求冪級數(shù)?n!xn的收斂半徑?

n?0?

解因為

??lim|n??an?1an|?lim(n?1)!n!n??????

所以收斂半徑為R?0?即級數(shù)僅在x?0處收斂?

例4求冪級數(shù)??(2n)!2n?0(n!)x2n的收斂半徑?

解級數(shù)缺少奇次冪的項?定理2不能應(yīng)用?可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

冪級數(shù)的一般項記為un(x)?(2n)!(n!)2x2n?

因為lim|n??un?1(x)un(x)|?4|x|2?

當(dāng)4|x|?1即|x|?21112時級數(shù)收斂?當(dāng)4|x|?1即|x|?時級數(shù)發(fā)散?所以收斂半徑為R??222[2(n?1)]!(n!)22提示?

un?1(x)un(x)x2(n?1)??(2n?2)(2n?1)(n?1)2x2?

x2n

例5求冪級數(shù)??(x?1)n2nn的收斂域?

?n?1tn

解令t?x?1?上述級數(shù)變?yōu)?n?

n?12n

因為??lim|n??an?1an2n?n1|?n?1??

2?(n?1)2所以收斂半徑R?2?

?(?1)1

當(dāng)t?2時?級數(shù)成為??此級數(shù)發(fā)散?當(dāng)t??2時?級數(shù)成為??此級數(shù)收斂?

nnn?1n?1?因此級數(shù)?tn的收斂域為?2?t?2?因為?2?x?1?2?即?1?x?3?

nn?12n?所以原級數(shù)的收斂域為[?1,3)?

三、冪級數(shù)的運算

設(shè)冪級數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(?R,R)及(?R?,R?)內(nèi)收斂?則在(?R,R)與(?R?,R?)中較小的區(qū)間內(nèi)有加法?∑anx?∑bnx?∑(an?bn)x?

減法?∑anxn?∑bnxn?∑(an?bn)xn?

乘法?(?anx)?(?bnxn)?a0b0?(a0b1?a1b0)x?(a0b2?a1b1?a2b0)x2????nn?0n?0??nn

n?(a0bn?a1bn?1?????anb0)x????

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組n高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)??除法：n?0?n?0anxxn??nn?b?cn?0nxn??nnx與?cnx相乘，然后比較n?0n

這里假定b0?0。為了決定系數(shù)cn，可以將

?bn?0?與?anxn的同次冪項系數(shù)得出。n?0關(guān)于冪級數(shù)，有以下的重要性質(zhì)

性質(zhì)1冪級數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)?

n?0?

如果冪級數(shù)在x?R(或x??R)也收斂?則和函數(shù)s(x)在(?R,R](或[?R,R))連續(xù)?性質(zhì)2冪級數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積?并且有逐項積分公式

n?0?

?0xs(x)dx??(?anx)dx?0n?0x?nn?0??0?xanxdx?nn?0n?1??anxn?1(x?I)?逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑?

性質(zhì)3冪級數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(?R?R)內(nèi)可導(dǎo)?并且有逐項求導(dǎo)公式n?0?

s?(x)?(?anx)??n?0?nn?0?(anx)???nanxn?1(|x|?R)?

n?1?n?逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑?

例6求冪級數(shù)?1xn的和函數(shù)?

n?0n?1??

解求得冪級數(shù)的收斂域為[?1?1)?

設(shè)和函數(shù)為s(x)?即s(x)?

在xs(x)?1xn?x?[?1?1)?顯然s(0)?1?

n?0n?1?1n?1x的兩邊求導(dǎo)得n?1n?0??

[xs(x)]??n?0?(??11xn?1)???xn??

n?11?xn?0對上式從0到x積分?得

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)xs(x)??1dx??ln1(?x)?

01?xx1???ln(1?x)0?|x|?11于是?當(dāng)x?0時?有s(x)??ln(1?x)?從而s(x)??x?x?1x?0?x?11n?1因為xs(x)??x??[?xn?1]?dx

0n?0n?1n?0n?1?

??x?0n?0?xndx??1dx??ln1(?x)?

01?xx所以?當(dāng)x?0時?有s(x)??1ln(1?x)?

x1???ln(1?x)0?|x|?1從而s(x)??x?

?1x?0?提示?應(yīng)用公式?F?(x)dx?F(x)?F(0)?即F(x)?F(0)??F?(x)dx?

001?1?x?x2?x3?????xn?????1?xxx

例7求級數(shù)??(?1)nn?1的和?

n?0

解

考慮冪級數(shù)?1xn?此級數(shù)在[?1,1)上收斂?設(shè)其和

n?0n?1??函數(shù)為s(x)?則s(?1)??(?1)nn?1?

n?0?(?1)11?ln?

在例6中已得到xs(x)?ln(1?x)?于是?s(?1)?ln2?s(?1)?ln?即?22n?0n?1n

§12?4函數(shù)展開成冪級數(shù)

一、泰勒級數(shù)

問題?給定函數(shù)f(x)?要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”?就是說?是否能找到這樣一個冪級數(shù)?它在某區(qū)間內(nèi)收斂?且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)?

如果能找到這樣青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)的冪級數(shù)?我們就說?函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)?或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級數(shù)?而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達了函數(shù)f(x)?

以前學(xué)過泰勒多項式?如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)?則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?

?f(n?1)f??(x0)2!(x?x0)2????

f(n)(x0)n!(x?x0)n?Rn(x)?

其中Rn(x)?(?)(n?1)!(x?x0)n?1(?介于x與x0之間)?

泰勒級數(shù)?如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f?(x)?f??(x)?????

f(n)(x)?????則當(dāng)n??時?f(x)在點x0的泰勒多項式

pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?成為冪級數(shù)

f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)?2f??(x0)2!(x?x0)?????2f(n)(x0)n!(x?x0)n

f???(x0)3!(x?x0)?????3f(n)(x0)n!(x?x0)n????

這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)?

顯然?當(dāng)x?x0時?f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x0)?

但是除了x?x0外?f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂?如果收斂?它是否一定收斂于f(x)?對此，有以下定理：定理

設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)?則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當(dāng)n?0時的極限為零?即

n??limRn(x)?0(x?U(x0))?

證明

先證必要性?設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù)?即

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)?????2f(n)(x0)n!(x?x0)n?????

又設(shè)sn?1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n?1項的和?則在U(x0)內(nèi)sn?1(x)?f(x)(n??)?

而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)?sn?1(x)?Rn(x)?于是Rn(x)?f(x)?sn?1(x)?0(n??)?

再證充分性?設(shè)Rn(x)?0(n??)對一切x?U(x0)成立?

因為f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)?sn?1(x)?Rn(x)?于是sn?1(x)?f(x)?Rn(x)?f(x)?

即f(x)的泰勒級數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂?并且收斂于f(x)?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

在泰勒級數(shù)中取x0?0?得

f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x?????2f(n)(0)n!xn?????

此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù)?

展開式的唯一性?如果f(x)能展開成x的冪級數(shù)?那么這種展式是唯一的?它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致?

這是因為?如果f(x)在點x0?0的某鄰域(?R?R)內(nèi)能展開成x的冪級數(shù)?即

f(x)?a0?a1x?a2x?????anx?????

那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo)?有f?(x)?a1?2a2x?3a3x?????nanx?????f??(x)?2!a2?3?2a3x?????n?(n?1)anxn?2?????

f???(x)?3!a3?????n?(n?1)(n?2)anxn?3?????

???

???

???

???

???

f(n)(x)?n!an?(n?1)n(n?1)???2an?1x?????

于是得

a0?f(0)?a1?f?(0)?a2?f??(0)2!2n?12n

?????an?f(n)(0)n!?????

注意?如果f(x)能展開成x的冪級數(shù)?那么這個冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù)?但是?反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點x0?0的某鄰域內(nèi)收斂?它卻不一定收斂于f(x)?因此?如果f(x)在點x0?0處具有各階例2將函數(shù)f(x)?sinx展開成x的冪級數(shù)?ex?1?x?1x2????1xn????(???x???)?

例3將函數(shù)f(x)?(1?x)展開成x的冪級數(shù)?其中m為任意常數(shù)?

解?f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為

f?(x)?m(1?x)m?1?

f??(x)?m(m?1)(1?x)

??????????

f(n)(x)?m(m?1)(m?2)???(m?n?1)(1?x)m?n?

??????????

所以

f(0)?1?f?(0)?m?f??(0)?m(m?1)?????f(n)(0)?m(m?1)(m?2)???(m?n?1)????于是得冪級數(shù)

1?mx?可以證明

(1?x)m?1?mx?

間接展開法?

例4將函數(shù)f(x)?cosx展開成x的冪級數(shù)?

解

已知

2n?1x3x5n?1x??????(?1)????(???x???)?

sinx?x?3!5!(2n?1)!m?2m?

m(m?1)2!x2?????m(m?1)???(m?n?1)n!xn?????

m(m?1)2!x2?????m(m?1)???(m?n?1)n!xn????(?1?x?1)?

對上式兩邊求導(dǎo)得

2nx2x4nx??????(?1)????(???x???)?cosx?1?2!4!(2n)!例5將函數(shù)f(x)?

解因為1展開成x的冪級數(shù)?

21?x1?1?x?x2?????xn????(?1?x?1)?

1?x2把x換成?x?得

1?1?x2?x4?????(?1)nx2n????(?1?x?1)?21?x青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

注?收斂半徑的確定?由?1??x?1得?1?x?1?

例6將函數(shù)f(x)?ln(1?x)展開成x的冪級數(shù)?

分析因為f?(x)?1?

1?x2而1是收斂的等比級數(shù)?(?1)nxn(?1?x?1)的和函數(shù)?

1?xn?0

1?1?x?x2?x3?????(?1)nxn?????

1?x?所以將上式從0到x逐項積分?得

n?1x2x3x4nx

ln1(?x)?x????????(?1)????(?1?x?1)?

234n?

1解?

f(x)?ln(1?x)??[ln(1?x)]?dx??0xx01dx1?xxn?1

??[?(?1)x]dx??(?1)(?1?x?1)?

0n?1n?0n?0xnnn??

上述展開式對x?1也成立?這是因為上式右端的冪級數(shù)當(dāng)x?1時收斂?而ln(1?x)在x?1處有定義且連續(xù)?

例7將函數(shù)f(x)?sinx展開成(x?

解

因為

sinx?sin[并且有

cosx(?

sinx(??4?(x??4)的冪級數(shù)?

?4)]?2??[cos(x?)?sin(x?)]?

244?44)?1?1?1?(x?)2?(x?)4????(???x???)?

2!44!4?)?(x??4)?1?1?(x?)3?(x?)5????(???x???)?

3!45!4所以

sinx?例8將函數(shù)f(x)?

解因為2?1?1?[1?(x?)?(x?)2?(x?)3????](???x???)?

242!43!41展開成(x?1)的冪級數(shù)?

x2?4x?3青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

f(x)?111111

?????x2?4x?3(x?1)(x?3)2(1?x)2(3?x)4(1?x?1)8(1?x?1)24nn1?1?n(x?1)n(x?1)??(?1)??(?1)4n?08n?02n4n

?n?0?(?1)n(?12n?2?2n)(x?1)(?1?x?3)?

2n?31提示?

1?x?2?(x?1)?2(1?x?1)?3?x?4?(x?1)?4(1?x?1)?

24n?1x?1n(x?1)

??(?1)(?1??1)?

nx?1n?0221?2n?1x?1n(x?1)

??(?1)(?1??1)?

nx?1n?0441?4收斂域?由?1?

x?1x?1?1和?1??1得?1?x?3?

24小結(jié)：常用的展開式

1?1?x?x2?????xn????(?1?x?1)?1?xex?1?x?121x????xn????(???x???)?2!n!2n?1x3x5n?1xsinx?x???????(?1)????(???x???)?3!5!(2n?1)!2nx2x4nxcosx?1???????(?1)????(???x???)?2!4!(2n)!n?1x2x3x4nxln(1?x)?x????????(?1)????(?1?x?1)?

234n?1(1?x)m?1?mx?m(m?1)2!x2?????m(m?1)???(m?n?1)n!xn????(?1?x?1)?青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

§12?5函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用

一、近似計算

例1計算5240的近似值?要求誤差不超過0?0001?

解

因為5240?5243?3?3(1?14)1/5?

3所以在二項展開式中取m?1?x??14?即得

535111?411?4?91240?3(1??4?2?8?3?12????)?

535?2!35?3!3這個級數(shù)收斂很快?取前兩項的和作為5240的近似值?其誤差(也叫做截斷誤差)為|r2|?3（?3?

?1?411?4?911?4?9?141?????????)52?2!3853?3!31254?4!3161?41112?[1??()????]2881815?2!361111?8????125325?27?40200001?8111)?

534?4于是取近似式為5240?3(1??為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截斷誤差之和不超過10?計算時應(yīng)取五位小數(shù)?然后四舍五入?因此最后得：

5240?2.9926?

例2計算ln2的近似值?要求誤差不超過0?0001?

解

在上節(jié)例5中?令x?1可得

ln2?1?111??????(?1)n?1????.23n

如果取這級數(shù)前n項和作為ln2的近似值?其誤差為

|rn|?1.n?1為了保證誤差不超過10?4?就需要取級數(shù)的前10000項進行計算.這樣做計算量太大了?我們必需用收斂較快的級數(shù)來代替它.青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

把展開式

ln1(?x)?x?中的x換成?x?得

x2x3x

4ln(1?x)??x???????(1?x?1)?

234x2x3x4xn?1???????(?1)n????(?1?x?1)234n?1兩式相減?得到不含有偶次冪的展開式?

1ln1?x?ln1(?x)?ln1(?x)?2(x?x3?x5????)(?1?x?1)?

1?x35令1?x?2?解出x?1?以x?1代入最后一個展開式?得

1?x33

ln2?2(??13111111????????)?333535737如果取前四項作為ln2的近似值?則誤差為|r4|?2(?

?111111????????)9391***12[1??()????]

99311

?2111???.11970000031?14?3913111111????)?333535737于是取ln2?2(??同樣地?考慮到舍入誤差?計算時應(yīng)取五位小數(shù)?

1111111??3?0.01235??5?0.00082??7?0.00007??0.333333335373因此得

ln2?0?6931?

例3利用sinx?x?13x求sin9?的近似值?并估計誤差?

3!解

首先把角度化成弧度?

9??從而

?180??9(弧度)???203(弧度)?1?sin??20233!20???

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

其次?估計這個近似值的精確度?在sinx的冪級數(shù)展開式中令x???得

201??1???1??????

sin?????????????20233!?20?5!?20?7!?20???357等式右端是一個收斂的交錯級數(shù)?且各項的絕對值單調(diào)減少?取它的前兩項之和作為sin?的20近似值?起誤差為

1??11

|r2|????(0.2)5????5!?20?120300000????0.003876因此取?0.157080???20?20?5?3于是得

sin9??0?15643?這時誤差不超過10?5?例4計算定積分

2??120e?xdx的近似值?要求誤差不超過0?0001（取x

2??0.56419）?

解：將e的冪級數(shù)展開式中的x換成?x?得到被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式

e?x2?1??(?x2)1!n?(?x2)22!?(?x2)33!????

x2n

??(?1)(???x???).n!n?0于是?根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項可積?得

2?1??122e?xdx0?2???1?2[(?1)n0n?0x2n2]dx?n!?(?1)n22n?n!?0xdxn?0?1

?(1?111?4?6????).2?32?5?2!2?7?3!2前四項的和作為近似值?其誤差為

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

|r4|?所以

2111??

?28?9?4!90000??122e?xdx0?1?(1?111??)?0.5295?

22?324?5?2!26?7?3!例5計算積分

?01sinxxdx的近似值?要求誤差不超過0?0001?

解由于limsinx?1?因此所給積分不是反常積分?如果定義被積函數(shù)在x?0處的值為1?x?0x則它在積分區(qū)間[0?1]上連續(xù)，展開被積函數(shù)?有

sinxx2x4x6

?1???????(???x???)?

x3!5!7!在區(qū)間[0?1]上逐項積分?得

?01sinx111dx?1????????

x3?3!5?5!7?7!因為第四項

11?

?7?7!30000所以取前三項的和作為積分的近似值??01sinxxdx?1?11??0.9461?

3?3!5?5!二、歐拉公式

復(fù)數(shù)項級數(shù)?設(shè)有復(fù)數(shù)項級數(shù)

(u1?iv1)?(u2?iv2)?????(un?ivn)????

其中un?vn(n?1?2?3????)為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)?如果實部所成的級數(shù)

u1?u2?????un????

收斂于和u?并且虛部所成的級數(shù)?

v1?v2?????vn????

收斂于和v?就說復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂且和為u?iv?

絕對收斂?

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

2如果級?(un?ivn)的各項的模所構(gòu)成的級數(shù)?un收斂?

?vnn?1n?1??則稱級數(shù)?(un?ivn)絕對收斂?

n?1?復(fù)變量指數(shù)函數(shù)?考察復(fù)數(shù)項級數(shù)

1?z?1z2?????1zn?????

2!n!可以證明此級數(shù)在復(fù)平面上是絕對收斂的?在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)e?在復(fù)平面上我們用它來定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)?記為ez?即

ez?1?z?121z?????zn?????

2!n!x

歐拉公式?當(dāng)x?0時?z?iy?于是

eiy?1?iy?

?1?iy?

?(1?11(iy)2?????(iy)n????2!n!12111y?iy3?y4?iy5????2!3!4!5!121411y?y????)?i(y?y3?y5????)2!4!3!5!?cosy?isiny?

把y定成x得

eix?cosx?isinx?

這就是歐拉公式?

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式?復(fù)數(shù)z可以表示為

z?r(cos??isin?)?re??

其中r?|z|是z的模???argz是z的輻角?

三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系?

因為eix?cosx?isinx?e?ix?cosx?isinx?所以e+e?2cosx?

e?e?2isinx?

cosx?11ix(e?e?ix)?sinx?(eix?e?ix)?

22i青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組ix?ixx?ixi

這兩個式子也叫做歐拉公式?高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?

ez1?z2?ez1?ez2?

特殊地?有ex?iy?exeiy?ex(cosy?isiny)?

也就是說，復(fù)變量指數(shù)函數(shù)ez在z?x?yi處的值的模為ex，輻角為y的復(fù)數(shù)?！?2.7傅里葉級數(shù)

一、三角級數(shù)

三角函數(shù)系的正交性

三角級數(shù)?級數(shù)

1a0??(ancosnx?bnsinnx)

2n?1?稱為三角級數(shù)?其中a0?an?bn(n?1?2????)都是常數(shù)?

三角函數(shù)系?

1?cosx?sinx?cos2x?sin2x?????cosnx?sinnx????

三角函數(shù)系的正交性?三角函數(shù)系中任何兩個不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[????]上的積分等于零?即???cosnxdx?0(n?1?2????)?

???sinnxdx?0(n?1?2????)?

???sinkxcosnxdx?0(k?n?1?2????)?

???sinkxsinnxdx?0(k?n?1?2?????k?n)?

???coskxcosnxdx?0(k?n?1?2?????k?n)??????三角函數(shù)系中任何兩個相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[????]上的積分不等于零?即

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?????12dx?2??

2???cosnxdx??(n?1?2????)?

???sinnxdx???2(n?1?2????)?

二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

問題?設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)?且能展開成三角級數(shù)?

f(x)?a02??(akcoskx?bksinkx)?

k?1?那么系數(shù)a0?a1?b1????與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關(guān)系?假定三角級數(shù)可逐項積分?則????f(x)cosnxdx????a02??cosnxdx??[ak?coskxcosnxdx?bk?sinkxcosnxdx]?

k?1???????類似地???f(x)sinnxdx?bn??傅里葉系數(shù)?

a0?

an?

bn?1?1???????????f(x)dx?

??1?(n?1?2????)?

f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx?(n?1?2????)?

?系數(shù)a0?a1?b1????叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)?

傅里葉級數(shù)?三角級數(shù)

a02??(ancosnx?bnsinnx)

n?1?稱為傅里葉級數(shù)?其中a0?a1?b1????是傅里葉系數(shù)?

問題?一個定義在(?????)上周期為2?的函數(shù)f(x)?如果它在一個周期上可積?則一定可以作出f(x)的傅里葉級數(shù)?然而?函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)是否一定收斂?如果它收斂?它是否一定收斂于函數(shù)f(x)?一般來說?這兩個問題的答案都不是肯定的?

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定理(收斂定理?狄利克雷充分條件)設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)?如果它滿足?在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點?在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點?則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂?并且當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點時?級數(shù)收斂于f(x)?

當(dāng)x是f(x)的間斷點時?級數(shù)收斂于1[f(x?0)?f(x?0)]?

2例1設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)?它在[????)上的表達式為

f(x)????1???x?0

10?x???將f(x)展開成傅里葉級數(shù)?

解所給函數(shù)滿足收斂定理的條件?它在點x?k?(k?0??1??2????)處不連續(xù)?在其它點處連續(xù)?從而由收斂定理知道f(x)的傅里葉級數(shù)收斂?并且當(dāng)x?k?時收斂于

11[f(x?0)?f(x?0)]?(?1?1)?0?

22當(dāng)x?k?時級數(shù)收斂于f(x)?

傅里葉系數(shù)計算如下?

an?1?1????????f(x)cosnxdx?f(x)sinnxdx?1?1???00(?1)cosnxdx?1?1?01?cosnxdx?0(n?0?1?2????)?

??

bn?

??????(?1)sinnxdx???01?sinnxdx

1cosnx01cosnx?1[]???[?]0?[1?cosn??cosn??1]?n?nn?4??n?1,3,5,???2n

?[1?(?1)]??n?

n???0n?2,4,6,???于是f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為f(x)?4?[sinx?11sin3x?????sin2(k?1)x????]

32k?

1(???x????x?0?????2?????)?

例2設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)?它在[????)上的表達式為

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

f(x)???x???x?0

00?x???將f(x)展開成傅里葉級數(shù).解所給函數(shù)滿足收斂定理的條件?它在點x?(2k?1)?(k?0??1??2????)處不連續(xù)?因此?f(x)的傅里葉級數(shù)在x?(2k?1)?處收斂于

1[f(x?0)?f(x?0)]?1(0??)????

222在連續(xù)點x(x?(2k?1)?)處級數(shù)收斂于f(x)?

傅里葉系數(shù)計算如下?

a0?an?1?1????????f(x)dx?1????0xdx??1??

21xsinnxcosnx01[?]?(1?cosn?)???nn2n2??f(x)cosnxdx?????0xcosnxdx??2n?1,3,5,??????n2?

??0n?2,4,6,???

bn?

?1????n?f(x)sinnxdx?1????xsinnxdx0?1?[?xcosnxsinnx0cosn??]????nnn2(?1)n?1(n?1?2????)?

f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為

f(x)??

??4?(2?cosx?sinx)?121sin2x?(2cos3x?sin3x)233?121sin4x?(2cos5x?sin5x)???

?(???x????x?????3?????)?455?

周期延拓?設(shè)f(x)只在[????]上有定義?我們可以在[????)或(????]外補充函數(shù)f(x)的定義?使它拓廣成周期為2?的周期函數(shù)F(x)?在(????)內(nèi)?F(x)?f(x).例3將函數(shù)

f(x)????x???x?0

x0?x???展開成傅里葉級數(shù)?

解所給函數(shù)在區(qū)間[????]上滿足收斂定理的條件?并且拓廣為周期函數(shù)時?它在每一點x處青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

都連續(xù)?因此拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)在[????]上收斂于f(x)?

傅里葉系數(shù)為?

a0?

an?1?1????????f(x)dx?1????(?x)dx???01001?xdx???

1??2f(x)cosnxdx?????(?x)cosnxdx???0

xcosnxdx??4n?1,3,5,?????2(cosn??1)??n2?

n??0n?2,4,6,????

bn?1?????f(x)sinnxdx?1????0(?x)sinnxdx?1??0?xsinnxdx?0(n?1?2????)?于是f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為

f(x)??411?(cosx?2cos3x?2cos5x????)(???x??)?

2?3

5三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時?f(x)cosnx是奇函數(shù)?f(x)sinnx是偶函數(shù)?故傅里葉系數(shù)為

an?0(n?0?1?2????)?

bn?2??0?f(x)sinnxdx(n?1?2?3????)?

因此奇數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有正弦項的正弦級數(shù)

?bnsinnx?

n?1?

當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時?f(x)cosnx是偶函數(shù)?f(x)sinnx是奇函數(shù)?故傅里葉系數(shù)為

an?2??0?f(x)cosnxdx(n?0?1?2?3????)?

bn?0(n?1?2????)?

因此偶數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有余弦項的余弦級數(shù)

a02??ancosnx?

n?1?

例4設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)?它在[????)上的表達式為f(x)?x?將f(x)展開成傅里葉級數(shù)?青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)

解首先?所給函數(shù)滿足收斂定理的條件?它在點x?(2k?1)?(k?0??1??2????)不連續(xù)?因此f(x)的傅里葉級數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點x?(2k?1)?收斂于f(x)?在點x?(2k?1)?(k?0??1??2????)收斂于

1[f(??0)?f(???0)]?1[??(??)]?0?

2其次?若不計x?(2k?1)?(k?0??1??2????)?則f(x)是周期為2?的奇函數(shù)?于是

an?0(n?0?1?2????)?而

bn?2??0?f(x)sinnxdx?2??0?xsinnxdx

nx?22

?2[?xcosnx?sin]0??cosnx?(?1)n?1(n?1?2?3????)?

2nn?nnf(x)的傅里葉級數(shù)展開式為

f(x)?2(sinx?111sin2x?sin3x?????(?1)n?1sinnx????23n

(???x????x?????3?????)?

例5將周期函數(shù)u(t)?E|sin1t|展開成傅里葉級數(shù)?其中E是正的常數(shù)?2解所給函數(shù)滿足收斂定理的條件?它在整個數(shù)軸上連續(xù)?因此u(t)的傅里葉級數(shù)處處收斂于u(t)?因為u(t)是周期為2?的偶函數(shù)?所以bn?0(n?1?2????)?而

an?2??0?u(t)cosntd?t?2??0?tEsincosntdt

?E??011[sinn(?)t?sinn(?)t]dt

2211cosn(?)tcosn(?)tE2?2]?

?[?011?n?n?22

??4E(n?0?1?2????)?

(4n2?1)?所以u(t)的傅里葉級數(shù)展開式為

4E1

1u(t)?(??cosnt)(???t???)?

2?2n?14n?1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組?高等數(shù)學(xué)教案第十二章無窮級數(shù)奇延拓與偶延拓?設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[0??]上并且滿足收斂定理的條件?我們在開區(qū)間(???0)內(nèi)補充函數(shù)f(x)的定義?得到定義在(????]上的函數(shù)F(x)?使它在(????)上成為奇函數(shù)(偶函數(shù))?按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓(偶延拓)?限制在(0??]上?有F(x)?f(x)?

例6將函數(shù)f(x)?x?1(0?x??)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)?

解

先求正弦級數(shù)?為此對函數(shù)f(x)進行奇延拓?

bn?2??0?f(x)sinnxdx?2??0?(x?1)sinnxdx?2?[?xcosnxsinnxcosnx???]02nnn?2???2n?1,3,5,????2n(1??cosn??cosn?)???

??

2n???n?2,4,6,???n?函數(shù)的正弦級數(shù)展開式為

x?1?2?[(??2)sinx??2sin2x?1?(??2)sin3x?sin4x????](0?x??)?

34在端點x?0及x??處?級數(shù)的和顯然為零?它不代表原來函數(shù)f(x)的值?

再求余弦級數(shù)?為此對f(x)進行偶延拓?

an?2??0?f(x)cosnxdx?2??0?(x?1)cosnxdx?2?[?xsinnxcosnxsinnx???]0nnn20n?2,4,6,?????

?2(cosn??1)??4?

?2n?1,3,5,???n???n?2

a0?2??0?2x2?(x?1)dx?[?x]0???2

?2函數(shù)的余弦級數(shù)展開式為

x?1??411?1?(cosx?2cos3x?2cos5x????)(0?x??)?

2?35§12?8周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)

一、周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)到目前為止，我們討論的周期函數(shù)都是以2?為周期的?但是實際問題中所遇到的周期函數(shù)?它的周期不一定是2??怎樣把周期為2l的周期函數(shù)f(x)展開成三角級數(shù)呢？問題?我們希望能把周期為2l的周期函數(shù)f(x)展開成三角級數(shù)?為此我們