八年級數(shù)學上冊勾股定理培優(yōu)題

2021-2022學年八年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【滬教版】

專題19.9勾股定理

姓名：班級：得分：

注意事項：

本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米

黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.（2019秋?英德市期末）如圖，兩個較大正方形的面積分別為225、289,則字母A所代表的正方形的面

【分析】根據(jù)正方形的面積等于邊長的平方，由正方形PQED的面枳和正方形PRQF的面積分別表示出

PR的平方及的平方，又三角形尸QR為直角三角形，根據(jù)勾股定理求出QR的平方，即為所求正方形

的面積.

【解析】?.?正方形PQEO的面積等于225,

即PQ2=225,

:正方形PRGF的面積為289,

；.PR2=289,

又為直角三角形，根據(jù)勾股定理得：

PR2=PQ2+QR2,

：.QR1=PR2-陪=289-225=64,

則正方形QMNR的面積為64.

2.（2019秋?高新區(qū)校級期中）若直角三角形的兩邊長分別為①b,且滿足J-64+9+g-4|=0,則該直角

三角形的第三邊長的平方為（）

A.25B.7C.25或7D.25或16

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程求出。、人的值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解析】-64+9+1。-4|=0,

（a-3）2=0>b-4=0,

?..a=3,b=4,

...直角三角形的第三邊長=V32+42=5,或直角三角形的第三邊長=V42-32=V7,

直角三角形的第三平方為25或7,

故選：C.

3.（2021春?寧陽縣期末）如圖，由兩個直角三角形和三個大正方形組成的圖形，其中陰影部分面積是（）

C.144D.169

【分析】根據(jù)勾股定理解答即可.

根據(jù)勾股定理得出：A8=VAC2-BC2=4132-122=5,

：.EF=AB=5,

,陰影部分面積是25,

故選：B.

4.（2021春?越秀區(qū)校級期中）如圖，一豎直的木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落地面離木桿底端4米

處，木桿折斷之前的高度為（）

A.7米B.8米C.9米D.12米

【分析】由題意得，在直角三角形中，知道J'兩直角邊，運用勾股定理即可求出斜邊，從而得出這棵樹

折斷之前的高度.

【解析】?.?一豎直的木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落地面離木桿底端4米處，

.?.折斷的部分長為V為+42=5（米），

；?折斷前高度為5+3=8（米）.

故選：B.

5.（2020?巴中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作，書中有一個“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，

末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一

陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠，問：原處還有多高的竹子？（）

A.4尺B.4.55尺C.5尺D.5.55尺

【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺.利用勾

股定理解題即可.

【解析】設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，

根據(jù)勾股定理得：?+32=（10-x）2

解得：x=4.55.

答：原處還有4.55尺高的竹子.

故選：B.

6.（2019秋?濱?？h期中）兩個邊長分別為a,b,c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼

成如圖所示的圖形，用兩種不同的計算方法計算這個圖形的面積，則可得等式為（)

A.(〃+/?)2=3B.(a-b)2=c2C.a2+b1=c1D.cr-/?2=c2

【分析】用兩種方法求圖形面積，?是直接利用梯形面積公式來求；一是利用三個三角形面積之和來求.

【解析】根據(jù)題意得：S=j(〃+〃)(”+0),5=/。+%〃+表2,

1111cC

...一(a+b)(a+b)=,B|J(a+b)Ca+b)=ab+ab+c-,

2LLL

整理得：c^+b2—^.

故選：C.

7.(2020秋?東港市期中)如圖，是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的個大正方形，若大

正方形的面積是17,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊分別為a,b,則(a+6)2的值是()

【分析】根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理，結(jié)合圖形進行分析發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積即直角三角形

斜邊的平方17,也就是兩條直角邊的平方和是17,四個直角三角形的面積和是大正方形的面積減去小正

方形的面積即2岫=16.根據(jù)完全平方公式即可求解.

【解析】根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理J+62=17,

四個三角形的面積=4x*M=17-I,

：.2ab=\6,

聯(lián)立解得：(a+匕)2=17+16=33.

故選：C.

8.(2019秋?建湖縣期中)如圖，/4CO是aABC的外角，CE平分NAC8,交A8于E,C/平分NACQ,

且E尸〃3c交AC、CF于M、F,若EM=3,則。好+。產(chǎn)的值為()

C.6D.18

【分析】根據(jù)角平分線的定義可以證明出ACE廠是直角三角形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定

義證明得到"然后求出E尸的長度，然后利用勾股定理列式計算即可求解.

【解析】TCE平分NAC8交A3于￡C/平分NACO,

11

AZ1=Z2=1ZACB,Z3=Z4=^ZACD,

i

.*.Z2+Z3=iCZACB+ZACD)=90°,

???△CE戶是直角三角形，

,:EF〃BC,

AZ1=Z5,Z4=ZF,

AZ2=Z5,Z3=ZF,

；?EM=CM,CM=MF,

VEM=3,

.'.EF=34-3=6,

在RtZkCE尸中，CE^+CF1=￡F2=62=36.

故選：A.

9.（2020秋?南京期末）如圖，四個全等的直角三角形和中間的小正方形可以拼成一個大正方形，若直角三

角形的較長直角邊長為m較短直角邊長為匕，大正方形面積為&，小正方形面積為S2,則（“+6）2可

以表示為（）

A.5i-S2B.S1+S2C.2Si-S?D.Si+2s2

【分析】根據(jù)圖形和勾股定理可知&=。2=/+.,再由完全平方公式即可得到結(jié)果.

【解析】如圖所示：設(shè)直角三角形的斜邊為C,

則Si=c2=tz2+fe2

S2=（4-b）2=a1+b1-2ab,

?\2ab=S\-S2，

（a+h）2=a2+2ah+h1=S[+S[-S2=2S\-S2，

故選：C.

0

10.（2021春?恩施市月考）如圖所示的是一種“羊頭”形圖案，全部由正方形與等腰直角三角形構(gòu)成，其

作法是從正方形①開始，以它的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別

向外作正方形②和②'，再分別以正方形②和②'的一條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，…，若正

方形⑤的面積為2c/,則正方形①的面積為（）

①

A.8C"?2B.16c機2C.32cm2D.64ccw2

則第二個正方形的面積是（S,…，進而可找出規(guī)律得

【分析】根據(jù)題意可知第一個正方形的面積是S,

出第"個正方形的面積，即可得出結(jié)果.

【解析】第一個正方形的面積是S；

第二個正方形的面積是3S；

第三個正方形的面積是工S；

4

第n個正方形的面積是白S,

；正方形⑤的面積是2,

正方形①的面積32.

故選：C.

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上

11.（2020秋?衛(wèi)輝市期末）已知一個直角三角形的兩邊長分別是a,人且a,%滿足衍汽+M-4|=0.則

斜邊長是5或4.

【分析】由絕對值和算術(shù)平方根的非負性質(zhì)求出a=3,b=4,再分兩種情況求解即可.

【解析】：直角三角形的兩邊長分別是〃且“，〃滿足^^+診-4|=0,

.?.a-3=0,且“4=0,

tz=3,b=4,

分兩種情況：

①4為宜角邊長時，斜邊長=7乎+42=5；

②4為斜邊長時，斜邊長=4；

故答案為：5或4.

12.（2019秋?英德市期末）在RtZXABC中，ZC=90°,如果AB=15,AC=12,那么Rt/XABC的面積是

54.

【分析】在中，利用勾股定理可求出8c的長度，即可解決問題.

【解析】?.,在RtZXABC中，ZC=90°,AB=15,AC=12,

：.BC=\/AB2-AC2=V152-122=9.

1

???S/\ABC=]X9X12=54

故答案為：54.

13.（2020秋?上海期末）如圖，己知正方形ABC。的面積為4,正方形尸”〃的面積為3,點。、C、G、J、

/在同一水平面上，則正方形BEFG的面積為7

【分析】由正方形的性質(zhì)及“一線三等角”得出條件，判定△8CG04G"(A4S),則BC=GJ,根據(jù)

正方形A8C。的面積為4,正方形尸”〃的面積為3,以及勾股定理可得答案.

【解析】???四邊形4BCZX四邊形尸”〃和四邊形BE尸G都是正方形，

AZBCG=ZBGF=ZGJF=90Q,BG=GF,

:.NCBG+NBGC=90°,ZJGF+ZBGC^90Q,

：.ZCBG=/JGF,

在aBCG和△G"中，

'/BCG=NGJF

Z.CBG="GF'

、BG=GF

??.△BCG^AGJF(A4S),

:.BC=GJ,

正方形ABCD的面積為4,正方形FHIJ的面積為3,

：.BC2^4,4=3,

：.GJ2=4,

在RtZXGJF中，由勾股定理得：

FG2=Gp+Fj2=4+3=7,

正方形B￡FG的面積為7.

故答案為：7.

14.(2021?揚州模擬)《九章算術(shù)》中有一個“折竹抵地”問題：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，

問折者高幾何？”意思是：現(xiàn)有竹子高9尺，折后竹尖抵地與竹子底部的距離為3尺，問折處高幾尺？

即：如圖，AB+AC=9尺，8C=3尺，則AC=4尺.

CB

【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面X尺，則斜邊為（9-X）尺，利用勾

股定理解題即可.

【解析】設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（9-x）尺，

根據(jù)勾股定理得：?+32=（9-x）2.

解得:x=4,

答：折斷處離地面的高度為4尺.

故答案為：4.

15.（2021春?漢壽縣期中）如圖，每個小正方形的邊長都為1,則△A8C的周長為2JIU+2病.

【分析】根據(jù)題意和勾股定理，可以求得A3、BC、4C的長，然后即可得到△A8C的周長.

【解析】由題意可得，

AB=Vl2+32=V10,BC=Vl2+32=VTo,AC=V22+42=2V5>

.,.△ABC的周長為：V10+V10+2V5=2V10+2V5,

故答案為：2>/TU+2V5.

16.（2021春?天津期中）如圖，已知在RtzMBC中，ZACB=90°,分別以AC,BC,AB為直徑作半圓,

面積分別記為Si，S2，S3，若S3=9m則S1+S2等于9TT.

【分析】根據(jù)勾股定理和圓的面積公式，可以得到S1+S2的值，從而可以解答本題.

【解析】VZACB=90°,

：.AC2+BC2=AB2,

AC71A8)1

VSi=ir(—)92x5,S2=n(—)2xS3=TT(—)2X亍

22222/

4c1BC21

.*.Si+S2=n(一)X5+1T(----)zx=n(—)2x-S3,

2222

■：S3=9TX,

，SI+S2=9TT,

故答案為：9n.

17.（2020秋?成華區(qū)校級月考）將一根24cm的筷子，置于底面直徑為5?！?、高為12c”?的圓柱體中，如圖,

【分析】當筷子與杯底垂宜時/?最大，當筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時力最小，據(jù)此可以得到〃

的取值范圍.

【解析】當筷子與杯底垂直時/?最大，1.大=24-12=12（cm）.

當筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，

此時，在杯子內(nèi)部分=3122+52=13（CM7）,

故4=24-13=11（cm）.

故〃的取值范圍是

故答案為：llcm；12cm.

18.（2021春?越秀區(qū)校級期中）如圖，公路MN和公路P0在點P處交會，公路PQ上點A處有學校，點A

到公路MN的距離為80%現(xiàn)有一一"車在公路腦V上以5m/s的速度沿PN方向行駛,卡車行駛時周圍100,“

以內(nèi)都會受到噪音的影響，請你算出該學校受影響的時間為24秒.

【分析】設(shè)卡車開到C處剛好開始受到影響，行駛到D處時結(jié)束，在RtAACS中求出CB,繼而得出

CD,再由卡車的速度可得出所需時間.

【解析】設(shè)卡車開到C處剛好開始受到影響，行駛到。處時結(jié)束了噪聲的影響.

則有CA=D4=100，〃，

在中，CB=V1002-802=60（，”），

：.CD=2CB=\20（m）,

則該校受影響的時間為：120+5=24（s）.

答：該學校受影響的時間為24秒，

故答案為：24.

三、解答題（本大題共6小題，共46分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19.（2018秋?晉江市期末）如圖，一架25〃長的梯子4B斜靠在墻AC上，梯子的頂端A離地面的高度為

2.4⑶如果梯子的底部B向外滑出1.3機后停在OE位置上，則梯子的頂部下滑多少米？

【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解析】由題意得，AB=DE^2.5,AC=2.4,80=1.3,

VZC=90°,

：.BC=\/AB2-AC2=12.52-2.42=0.7,

：.CD=BC+BD=2,

'：CE=ylDE2-CD2=^2.52-22=1.5,

：.AE=AC-CE=2A-1.5=0.9,

答：梯子的頂部下滑0.9米.

20.（2018秋?臺兒莊區(qū)校級月考）“交通管理條例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過

70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀正

前方50米處，過了6秒后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為130米，這輛小汽車超速了嗎？

小^^Cbq............

.4檢測儀

【分析】利用勾股定理列式求出BC,再根據(jù)速度=路程+時間求出小汽車的速度，然后化為千米/小時

的單位即可得解.

【解析】由勾股定理得，BC=yjAC2-AB2=V1302-502=120米，

v=120+6=20米/秒，

；20X3.6=72,

二20米/秒=72千米/小時，72>70,

這輛小汽車超速了.

21.（2019春?寧都縣期中）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折

竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”可翻譯為：有一根竹子高一丈，

今在4處折斷，竹梢落在地面的B處，B與竹根部C相距3尺，求折斷點A與地面的高度AC（注：1

丈=10尺）

【分析】設(shè)AC=x,可知AB=10-x,再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【解析】設(shè)AC=x,

'.,AC+A8=10,

.*.A8=IO-x.

:在RtZ\ABC中，ZACB=90a,

：.AC2+BC2=AB2,即7+32=(10-x)2

解得：x=4.55,

即AC=4.55.

22.（2020秋?鹽湖區(qū)期中）如圖是一底面周長為24巾，高為6m的圓柱形油罐，一只老鼠欲從距地面1切的

A處沿側(cè)面爬行到對角8處吃食物，請算出老鼠爬行的最短路程為多少？

【分析】延4c和BD剪開，將曲面平鋪在平面上，過AE作于E,根據(jù)勾股定理求出線段AB

的長即可.

延AC和BC剪開，將曲面平鋪在平面上，過AE作于E,如圖，

:底面周長為24加，高為6m的圓柱形油罐，

：.AE=12m,BE=6-1=5("?),

在RtZXAEB中，由勾股定理得：AB=y]AE2+BE2=V122+52=13(m),

...老鼠爬行的最短路程為13m.

23.(2020秋?項城市期末)勾股定理神奇而美妙，它的證法多種多樣，在學習了教材中介紹的拼圖證法以

后，小華突發(fā)靈感，給出了如圖拼圖：

兩個全等的直角三角板ABC和直角三角板。所，頂點尸在BC邊上，頂點C、O重合，連接AE、EB.設(shè)

AB.DE交于點G.ZACB=ZDFE=90°,BC=EF=a,AC=DF=bCa>h),AB=DE=c.請你回答

以下問題：

]

(1)填空：ZAGE=90°,S四邊形AOBE=_

-2-

(2)請用兩種方法計算四邊形AC8E的面積，并以此為基礎(chǔ)證明勾股定理.

A

C(Z?B

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NEZW=NOB,求得/ACE+NC4B=90°,得到/AGC=90°,

根據(jù)垂直的定義得到DE1AB,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形的面積和梯形的面枳公式用兩種方法求得四邊形4C8E的面積，于是得到結(jié)論.

（解析】（1）,/&ABC94DEF,

:.NEDF=NCAB,

,：ZEDF+ZCAE=90°,

AZAC￡+ZCAB=90°,

AZAGC=90°,

AZAGE=180°-/AGC=90°；

：.DE±AB,

.\smiillfiADBE=S/,ACB+S^ABE=|A/??DG+\AB'EG=DG+EG)=%B?DE=p,

1

故答案為：90,5；

(2),/四邊形ACBE的面積=5MC8+S.E=^AB-DG+^AB'EG=DG+EG)=^AB-DE=1c2,

四邊形ACBE的面積=SACF￡+5A￡FB=1x(AC+EF)?CF+EF=1(h+a)b+^(“-〃)?&=

羅+翔+#_界=>+汜

?lr2=12,1,2

222

即J+b2=c2.

24.（2021春?蜀山區(qū)校級期中）知識探究：

如圖1是兩直角邊長分別為〃?，n（m>〃）的直角三角形，如果用四個與圖1完全一樣的直角三角形可

以拼成如圖2和圖3的幾何圖形.其中圖2和圖3的四邊形ABC。、四邊形EFG”都是正方形.請你根

據(jù)幾何圖形部分與整體的關(guān)系完成第(1)(2)題.

請選擇(w+〃)2,(m-〃)2,加〃中的有關(guān)代數(shù)式表示：

圖2中正方形ABCD的面積：(加-〃)2+2〃?〃.

圖3中正方形ABCD的面積：(m+〃)2-2mn.

(2)請你根據(jù)題(1),寫出下列三個代