2023人教A版高中數(shù)學(xué)函數(shù)的應(yīng)用（二）講義

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）

例1求方程lnx+2x—6=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

分析：可以先借助計(jì)算工具畫出函數(shù)y=lnx+2x-6的圖象或列出x,），的對(duì)應(yīng)值表，為

觀察、判斷零點(diǎn)所在區(qū)間提供幫助.

解：設(shè)函數(shù)/（x）=lnx+2x-6,利用計(jì)算工具，列出函數(shù)y=/（x）的對(duì)應(yīng)值表（表）,

并畫出圖象（圖）.

表4.5-1

Xy

1-4

2-1.3069

31.0986

43.3863

55.6094

67.7918

79.9459

812.0794

914.1972

由表和圖可知，/(2)<0,/(3)>0,則/(2)/(3)<0.由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)

/(%)=ln%+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

容易證明，函數(shù)/(x)=ln%+2%-6,xe(0,+o。)是增函數(shù)，所以它只有一個(gè)零點(diǎn)，即相

應(yīng)方程lnx+2x—6=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

例2借助信息技術(shù)，用二分法求方程2,+3x=7的近似解(精確度為0.1).

解：原方程即2'+3x-7=0,令/(x)=2'+3x—7,用信息技術(shù)畫出函數(shù)y=/(x)的

觀察圖或表，可知/⑴/(2)<0,說明該函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)%.

取區(qū)間(1,2)的中點(diǎn)西=1.5,用信息技術(shù)算得了(1.5)70.33.因?yàn)?⑴/(1.5)<0,所以

x0€(1,1.5).

再取區(qū)間(1,L5)的中點(diǎn)々=125,用信息技術(shù)算得/(1.25)x-0.87.因?yàn)?/p>

/(1.25)/(1.5)<0,所以/e(1.25,1.5).

同理可得,x0€(1.375,1.5),x0e(1.375,1.4375).

由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,

所以，原方程近似解可取為1.375.

例3人口問題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系

列相關(guān)政策提供依據(jù).早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T.R.MR版,s,1766—1834)

就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型》=丫聲”，其中f表示經(jīng)過的時(shí)間，%表示，=0時(shí)的

人口數(shù)，，?表示人口的年平均增長(zhǎng)率.

表是1950~1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料?：

年

1950195119521953195419551956195719581959

份

人

□

55196563005748258796602666145662828645636599467207

數(shù)/

萬

(1)如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率(精確到0.0001),

用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)

際人口數(shù)據(jù)是否相符；

(2)如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在哪一年我國(guó)的人口數(shù)達(dá)到13億？

分析：用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立具體人口增長(zhǎng)模型，就是要確定其中的初始量為和年

平均增長(zhǎng)率r.

解：(1)設(shè)1951~1959年我國(guó)各年的人口增長(zhǎng)率分別為彳，r2,4.由

55196(1+^)=56300,

可得1951年的人口增長(zhǎng)率勺a0.020.

同理可得，?0.0210,4^0.0229,r4?0.0250,?0.0197,rb?0.0223,

個(gè)0.0276,釬0.0222,0.0184.

于是，1951~1959年期間，我國(guó)人口年平均增長(zhǎng)率為廠=(/+弓+…+與)+9a0.0221.

令%=55196,則我國(guó)在19507959年期間的人口增長(zhǎng)模型為y=55196e°022",reN.

根據(jù)表4.5-4中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并畫出函數(shù)y=55196e°s2”(teN)的圖象(圖4.5-

6).

由圖可以看出，所得模型與19507959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合.

由計(jì)算工具得，a38.76.

所以，如果按表4.5-4的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國(guó)的

人口就己達(dá)到13億.

例42010年，考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進(jìn)行

碳14年代學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的殘留量約為初始量的55.2%,能否以此推斷此水壩大概

是什么年代建成的？

分析：因?yàn)樗劳錾餀C(jī)體內(nèi)碳14的初始量按確定的衰減率衰減，屬于指數(shù)衰減，所以應(yīng)選

擇函數(shù)y=依'(ZeR,且我。()；?>(),且建立數(shù)學(xué)模型.

解：設(shè)樣本中碳14的初始量為鼠衰減率為p),經(jīng)過x年后，殘余量為y根據(jù)

問題的實(shí)際意義，可選擇如下模型：

y=k(\-pY(keR,且ZHO；0<p<l；%>0),

由碳14的半衰期為5730年，得伙1—p)573°=gh

于是1—/?=，

(IT}'

所以y=A[57,5.

([TV

由樣本中碳14的殘余量約為初始量的55.2%可知，k57.^-=55.2%%,

解得x=logr；-0.552?

由計(jì)算工具得XB4912.

因?yàn)?010年之前的4912年是公元前2902年，所以推斷此水壩大概是公元前2902年建成

的.

例5假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：

方案一：每天回報(bào)40元；

方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；

方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.

請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？

分析：我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長(zhǎng)情況，為

選擇投資方案提供依據(jù).

解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y=40(xeN*)進(jìn)行描述；方案二

可以用函數(shù)y=10x(xeN')進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)y=0.4x2*T(XGN*)進(jìn)

行描述.三個(gè)模型中，第一個(gè)是常數(shù)函數(shù)，后兩個(gè)都是增函數(shù).要對(duì)三個(gè)方案作出選擇，就要

對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析.

我們先用信息技術(shù)計(jì)算一下三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況(表).

X方案一方案二方案三

增加量/增加量/

yyy增加量/元

元元

140100.4

240020100.80.4

340030101.60.8

440040103.21.6

540050106.43.2

6400601012.86.4

7400701025.612.8

8400801051.225.6

94009010102.451.2

1040010010204.8102.4

3040030010214748364.8107374182.4

再畫出三個(gè)函數(shù)的圖象（圖）

由表和圖可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案三的

函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不相同.可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回

報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長(zhǎng)量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長(zhǎng)”，其

"增長(zhǎng)量''是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)

速度是方案一、方案二所無法企及的.從每天所得回報(bào)看，在第b3天，方案一最多；在第4

天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天開始，方案

三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過2億元

下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù).通過信息技術(shù)列表如下（表）.

天數(shù)

方案

1234567891011

—■4080120160200240280320360400440

二103060100150210280360450550660

三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8

因此，投資1~6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8~10天，應(yīng)

選擇方案二；投資11天（含11天）以上，則應(yīng)選擇方案三.

例6某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷

售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨銷售利潤(rùn)x（單

位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三

個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=o.25x,y=log7x+l,y=L0021其中哪個(gè)模型能符合公司的要

求？

分析：本例提供了三個(gè)不同增長(zhǎng)方式的獎(jiǎng)勵(lì)模型，按要求選擇其中一個(gè)函數(shù)作為刻畫獎(jiǎng)金

總數(shù)與銷售利潤(rùn)的關(guān)系.由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為1000萬元，所以銷售人員的銷售利潤(rùn)一

般不會(huì)超過公司總的利潤(rùn).于是，只需在區(qū)間［10,1000］上，尋找并驗(yàn)證所選函數(shù)是否滿足

兩條要求：第一，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，即最大值不大于5；第二，獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的

25%,即y<0.25x.

不妨先畫出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)圖象，得到初步的結(jié)論，再通過具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果.

解：借助信息技術(shù)畫出函數(shù)>=5,y=0.25x,y=log7x+l,y=1.002,的圖象

（圖）.觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間［10,1000］上，模型y=0.25x,y=1.002、的圖象都有一

部分在直線y=5的上方，只有模型y=log71+l的圖象始終在y=5的下方，這說明只

下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷.

先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元.

對(duì)于模型y=0.25x,它在區(qū)間［10,1000］上單調(diào)遞增，而且當(dāng)x=20時(shí)，>=5,因此，

當(dāng)x>20時(shí)，y>5,所以該模型不符合要求；

對(duì)于模型y=1.002,,由函數(shù)圖象，并利用信息技術(shù)，可知在區(qū)間（805,806）內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)

%滿足1.002*=5，由于它在區(qū)間口0,1000］上單調(diào)遞增，因此當(dāng)x>x0時(shí)，V>5,所以

該模型也不符合要求；

對(duì)于模型y=log7》+l，它在區(qū)間［10,1000］上單調(diào)遞增，而且當(dāng)x=1000時(shí)，

y=log71000+1?4.55<5,所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求.

再計(jì)算按模型y=log7X+l獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過利潤(rùn)的25%,即當(dāng)xe［10/000J

時(shí)，是否有y40.25x,即log7X+140.25x成立.

^/（x）=log7x+l-0.25x,XG［10,1000］,利用信息技術(shù)畫出它的圖象（圖）.

VA

-300

由圖象可知函數(shù)/(X)在區(qū)間［10,1000］上單調(diào)遞減，因此/(X)</(10)?-0.3167<0,

HPlog7x+1<0.25x.

所以，當(dāng)xe［10,1000］時(shí)，y<0.25x,說明按模型y=log,x+1獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金不會(huì)超過利

潤(rùn)的25%.

綜上所述，模型y=k)g7X+l確實(shí)能符合公司要求.

4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

練習(xí)

1.圖(1)(2)(3)分別為函數(shù)y=/(x)在三個(gè)不同范圍的圖象.能否僅根據(jù)其中

一個(gè)圖象，得出函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間只有一個(gè)零點(diǎn)的判斷？為什么？

【答案】不能，理由見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理只能判斷存在零點(diǎn)，但零點(diǎn)個(gè)數(shù)需要借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判

斷，由此可判斷結(jié)果.

【詳解】解：不能，如僅依據(jù)圖(1)易得出“X)在(-200,200)內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)

的錯(cuò)誤結(jié)論，

要證明函數(shù)在某區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，除證明該函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)外，

還需證明該函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)的.

【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，需掌握零點(diǎn)存在性定理只能判斷是否

有零點(diǎn)，不能判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

2.利用計(jì)算工具畫出函數(shù)的圖象，并指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間：

(1)f(x)=-V—3x+5；

(2)〃x)=2xln(x-2)-3；

(3)/(x)=er-1+4x-4；

(4)/(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.

【答案】(I)圖像見解析，(F,+8);

(2)圖像見解析，(2,+8)；

(3)圖像見解析，(-8,+8)；

(4)圖像見解析，(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一個(gè)零點(diǎn)；

【解析】

【分析】

作出各個(gè)函數(shù)的圖像，利用零點(diǎn)存在性定理即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間.

【詳解】作出函數(shù)圖象(如圖).

因?yàn)?⑴=1>0,/(1.5)=-2.875<0,

所以/(*)=—/_3%+5在區(qū)間(1,1.5)上有一個(gè)零點(diǎn).

又因?yàn)橐虎攀?7,+℃)上的減函數(shù).

所以/(X)=---3x+5在(-00,4-00)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

作出函數(shù)圖象(如圖)，

因?yàn)?(3)<0,/(4)>0,

所以/(x)=2xln(x-2)-3在區(qū)間(3,4)上有一個(gè)零點(diǎn),

又因?yàn)?(》)=2幻11(1-2)-3在(2,+?))上是增函數(shù)，

所以/*)在(2,+℃)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

作出函數(shù)圖象(如圖)，

因?yàn)?0)<0,/(1)>0,

所以/(x)=ei+4x-4在區(qū)間(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn).

又因?yàn)?(%)=ei+4x-4在(3,+8)上是增函數(shù)，

所以/(X)在(-oo,+oo)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

(4)作出函數(shù)圖象(如圖).

因?yàn)?(—4)<0,/(-3)>0,/(-2)<0,/(2)<0,/(3)>0,

所以/(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,一3),(-3,-2),(2,3)上各有一

個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)存在性定理，需熟記定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.

4.5.2用二分法求方程的近似解

練習(xí)

3.借助信息技術(shù)用二分法求函數(shù)/(力=丁+1.卜2+0.9%_1.4在區(qū)間(0,1)內(nèi)零點(diǎn)的

近似值(精確度為0.1)

【答案】0.625.

【解析】

【分析】

利用計(jì)算機(jī)軟件畫出函數(shù)圖象，可判斷函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，再用二分法

依次計(jì)算，直到求出想要的精度為止.

【詳解】解:利用計(jì)算機(jī)軟件畫出函數(shù)圖象如圖所示：

由題設(shè)可知/(o)=—L4<0,/(l)=L6>0,

于是/(0>/。)<0.又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在(。，1)內(nèi)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).

下面用二分法求函數(shù)/(力=丁+1.卜2+0.9%-1.4在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)

取區(qū)間(0,1)的中點(diǎn)/=0.5，用計(jì)算器可算得“0.5)=-0.55.

因?yàn)?(0.5)?/⑴<0,所以不?0.5,1).

再取區(qū)間(051)的中點(diǎn)々=075,用計(jì)算器可算得“0.75卜0.32.

因?yàn)榱?0.5)?/(0.75)<0,所以/e(0.5,0.75).

同理可得毛e(0.625,0.75),廝€(0.625,0.6875).

由于|0.6875-0.625卜0.0625<0.1，所以原方程的近似解可取為0.625.

【點(diǎn)睛】本題考查二分法求方程的近似解，關(guān)鍵是信息技術(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.借助信息技術(shù)，用二分法求方程x=3-lgx在區(qū)間(2,3)內(nèi)的近似解(精確度為0.1).

【答案】2.5625.

【解析】

【分析】

原方程即x+lgx-3=0,令〃x）=%+lgx—3,再用二分法依次計(jì)算，直到求出想要

的精度為止.

【詳解】解源方程即》+愴》一3=0,令〃x）=x+lgx—3,

〃2卜-0.70,/（3）?0.48，于是/（2）./（3）＜0,

又因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在（2,3）內(nèi)單調(diào)遞增,所以這個(gè)方程在區(qū)間（2,3）內(nèi)有一個(gè)解.

下面用二分法求方程》=3-建工在區(qū)間（2,3）的近似解.

取區(qū)間（2,3）的中點(diǎn)玉=2.5,用計(jì)算可算得/（2.5卜-0.10.

因?yàn)椤?.5）/（3）＜0,所以為e（2.5,3）.

再取區(qū)間（2.5,3）的中點(diǎn)々=275,用計(jì)算器可算得〃2.75卜0.19.

因?yàn)?（2.5）?〃2.75）＜0,所以％G（2.5,2.75）.

同理可得/￡（2.5,2.625）,%€（2.5625,2.625）.

由于|2.625-2.5625|=0.0625＜0.1.

所以原方程的近似解可取為2.5625.

【點(diǎn)睛】本題考查二分法求方程的近似解，關(guān)鍵是信息技術(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用

練習(xí)

5.已知1650年世界人口為5億，當(dāng)時(shí)人口的年增長(zhǎng)率為0.3%；1970年世界人口

為36億，當(dāng)時(shí)人口的年增長(zhǎng)率為2.1%.

(1)用馬爾薩斯人口模型計(jì)算，什么時(shí)候世界人口是1650年的2倍?什么時(shí)候世

界人口是1970年的2倍？

(2)實(shí)際上，1850年以前世界人口就超過了10億；而2004年世界人口還沒有達(dá)

到72億.你對(duì)同樣的模型得出的兩個(gè)結(jié)果有何看法？

【答案】(1)1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍；

(2)指數(shù)模型不適宜時(shí)間跨度較長(zhǎng)的人口增長(zhǎng)情況.

【解析】

【分析】(1)設(shè)1650年后〃年,人口是1650年的2倍,即有5(1+0.3%)"=10；設(shè)1970

年后加年，人口是1970年的2倍,即有36(1+2.1%)”，=72,兩邊取對(duì)數(shù)，計(jì)算即可得

到所求值;

(2)由題意可得此指數(shù)模型不適宜時(shí)間跨度較長(zhǎng)的人口增長(zhǎng)情況.

【詳解】解：(1)設(shè)1650年后〃年，人口是1650年的2倍,

即有5(1+0.3%)"=10,

兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得〃3.003=k2,

即有〃=1g2=231；

1日伙1.003，

設(shè)1970年后加年，人口是1970年的2倍,

即有36(1+2.1%尸=72,

兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得加gl.021=/g2,

即有，〃=窯?7"33.

/g1.021

則有1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍;

(2)實(shí)際上，1850年以前世界人口就超過了10億;

而2003年世界人口還沒有達(dá)到72億.

由此看出，此模型不太適宜估計(jì)跨度時(shí)間非常大的人口增長(zhǎng)情況.

6.在一段時(shí)間內(nèi)，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數(shù)的倍增期為21個(gè)月，那么1

萬只野兔增長(zhǎng)到1億只野兔大約需要多少年?

【答案】大約需要23年.

【解析】

【分析】

12

設(shè)經(jīng)過X年后的1萬只野兔有y只，根據(jù)倍增期為21個(gè)月可得y=i（）4.2T,令

y=108可得所求的年數(shù)

12

【詳解】設(shè)經(jīng)過％年后的野兔有y只，由題意知丫=1（）4.2萬，，

444

y=10、2，二令y=10，即IO"*.27V=]08,貝

447

兩邊取常用對(duì)數(shù)得=丁彳，x=—?23.

7lg2lg2

所以大約需要23年.

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，注意根據(jù)倍增期來計(jì)算函數(shù)模型

、=?》中的參數(shù)廠,本題屬于基礎(chǔ)題.

7.1959年，考古學(xué)家在河南洛陽偃師市區(qū)二里頭村發(fā)掘出了一批古建筑群，從其

中的某樣本中檢測(cè)出碳14的殘余量約為初始量的62.76%,能否以此推斷二里頭遺

址大概是什么年代的？（碳14的半衰期為5730年）

【答案】大概是公元前1892年的.

【解析】

【分析】

t

設(shè)這批古建筑群距今已，年，初始量為G，則現(xiàn)存量,由

C（r）=Q,*62.76%可求時(shí)間t.

I

【詳解】設(shè)這批古建筑群距今已，年，初始量為g，則現(xiàn)存量c（f）=c0（；J73°，

由題設(shè)得=C°.62.76%?所以2-鬧=0.6276,

^5730xlgQ.6276%3851

-lg2

ffi]3851-1959=1892.

所以大概是公元前1892年的.

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用，注意利用半衰期求函數(shù)關(guān)系式,

本題屬于容易題.

練習(xí)

8.某地今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52,61,68為了預(yù)測(cè)以

后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型y=ar2+bx+c,乙選擇了模型y=oo'+r,其

中N為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，仇c、,p,q,r都是常數(shù)。結(jié)果4月，5月，6月份的

患病人數(shù)分別為74,78,83,你認(rèn)為誰選擇的模型更符合實(shí)際?

【答案】采用模型y=〃/+，?與實(shí)際人數(shù)誤差更小，乙選擇的模型更符合實(shí)際.

【解析】

【分析】

根據(jù)各月對(duì)應(yīng)的患病人數(shù)算出函數(shù)解析式，再預(yù)測(cè)4月，5月，6月份的患病人數(shù),

與實(shí)際數(shù)比較后根據(jù)誤差的大小決定更優(yōu)模型.

【詳解】若按模型y=法+c,將（1,52）,（2,61）,（3,68）代入

52=a+b+c,CI=-1,

得6\-4a+2b+c,解得，8=12,,所以y=—r+i2x+4L

68=9a+30+c,c=41,

若按模型y=pqx+r,將（1,52）,（2,61）,（3,68）代入,

729

P=—7—

52=pq+r,1

-7

/729⑺185

61=*+r,解得,q=x，所以y+---.

-19149)2

68=pq+r,

_185

r----

2

模型比較:

X456

y=-x2+12元+41737677

729(7丫185

y=-------H------73.477.781

14⑼2

實(shí)際人數(shù)747883

比較發(fā)現(xiàn)，采用模型丁=20'+廠與實(shí)際人數(shù)誤差更小，乙選擇的模型更符合實(shí)際.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，注意較優(yōu)函數(shù)的選擇要

依據(jù)誤差的大小來考慮，本題屬于中檔題.

9.由于提高了養(yǎng)殖技術(shù)并擴(kuò)大了養(yǎng)殖規(guī)模，某地的肉雞產(chǎn)量在不斷增加，2008-

2018年的11年，上市的肉雞數(shù)量如下：

時(shí)

間/20082009201020112012201320142015201620172018

年

肉

雞

數(shù)7690785080008150831084608620870892090809230

量/

噸

同期該地的人口數(shù)如下:

時(shí)

間201

2008200920102011201220132014201520172018

/6

年

人

口

100.101.102.103.104.106.107.108.111.112.

數(shù)110.

0246914737

/

萬

(1)分別求出能近似地反映上述兩組數(shù)據(jù)變化規(guī)律的函數(shù)；

(2)如果2017年該地上市的肉雞基本能滿足本地的需求，那么2018年是否能滿

足市場(chǎng)的需求？

(3)按上述兩表的變化趨勢(shì)，你對(duì)該地2018年后肉雞市場(chǎng)的發(fā)展有何建議？

【答案】⑴M=155X+7690,%=L22X+100；(2)2018年能滿足市場(chǎng)的需求；

(3)保持現(xiàn)狀即可.

【解析】

【分析】

(1)畫出兩組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖可選擇一次函數(shù)來擬合，用待定系數(shù)

法可求函數(shù)的解析式.

(2)計(jì)算出2017年人均消費(fèi)的肉雞數(shù)量和2018人均費(fèi)的肉雞數(shù)量后比較它們的

大小后可得正確的結(jié)論.

(3)因2017、2018人均消費(fèi)的肉雞數(shù)量基本保持平衡，故保持現(xiàn)狀即可.

【詳解】(1)取自變量x為0,1,2,...?10,...?對(duì)應(yīng)年份為2008,2009,

2010,2018,肉雞數(shù)量為%,人口為萬，依據(jù)表畫出,與尤，刈與x的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)的散點(diǎn)圖，如圖1、圖2.

由圖1、圖2知，乂與x,%與x均大數(shù)為線性關(guān)系.

設(shè)y=qx+4，必+H將((),7690),(2,8000)代入v=qx+4,

仿=7690fa=155

得，，解得4',所以％=155x+7690.

8000=20+“4=76901

仿2=100a,=1.22

2

將（0/00）,（5,106.1）代入%=。2%+么，得＜,解得I

106.1=5%+A&=100

所以％=1.22x+100.

（2）2017年人均消費(fèi)肉雞￥尸據(jù)-8.16（kg）,

111.3x10000

2018年人均消費(fèi)肉雞怯警黑a8.19（依）＞8.16（總），所以2018年能滿足市

112.7x10000

場(chǎng)的需求.

（3）保持現(xiàn)狀即可.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，此題最后一問為開放性問題，可從不

同角度分析（如從人均消費(fèi)的肉雞數(shù)量或從健康的角度減少人均消費(fèi)的肉雞數(shù)量）

均可，它考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，本題屬于中檔題.

習(xí)題4.5

復(fù)習(xí)鞏固

10.下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求其零點(diǎn)的是.（填寫

上所有符合條件的圖號(hào)）

【答案】①③

【解析】

【分析】

根據(jù)二分法所求零點(diǎn)的特點(diǎn)，結(jié)合圖象可確定結(jié)果.

【詳解】用二分法只能求“變號(hào)零點(diǎn)”，①③中的函數(shù)零點(diǎn)不是“變號(hào)零點(diǎn)”，故不能用

二分法求

故答案為：①③

【點(diǎn)睛】本題考查二分法的應(yīng)用問題，關(guān)鍵是明確二分法只能用來求“變號(hào)零點(diǎn)”，

屬于基礎(chǔ)題.

11.已知函數(shù)y=/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表：

Xi23456

y136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064

函數(shù)y=f(x)在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)？為什么？

【答案】在區(qū)間(2,3),(3,4),(4,5)內(nèi)有零點(diǎn)，理由見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定結(jié)果.

【詳解】由對(duì)應(yīng)值表可得：/⑵?/⑶<0,〃3>〃4)<0,〃4)?/⑸<0

由零點(diǎn)存在定理可知：/(x)分別在區(qū)間(2,3),(3,4),(4,5)內(nèi)有零點(diǎn)

【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知函數(shù)=1-2x+l,求證：方程/(x)=x在(-1,2)內(nèi)至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)

解.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

令g(x)=/(x)-x,由零點(diǎn)存在定理可確定g(x)在(-1,2)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，由此

可得結(jié)論.

【詳解】由=x得：/一3彳+1=0

令g(x)=V—3x+l

則g（—1）=一l+3+l=3>0,g⑴=1-3+1=-1<0,g⑵=8-6+1=3>0

，g（T>g⑴<。，g⑴?g⑵<。

??.g（x）在（T1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，在。,2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)

，g（x）在（-1,2）內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程/（力=%在（-1,2）內(nèi)至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)

解

【點(diǎn)睛】本題考查利用零點(diǎn)存在定理確定方程在給定區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)的問題，關(guān)鍵

是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，利用零點(diǎn)存在定理來進(jìn)行求

解.

2

13.利用信息技術(shù)，用二分法求函數(shù)/（x）=lnx—-的零點(diǎn)（精確度為0.1）.

x

【答案】2.375

【解析】

【分析】

由零點(diǎn)存在定理可確定零點(diǎn)所在區(qū)間為（2,3）,根據(jù)二分法的原理來不斷確定零點(diǎn)所

在區(qū)間，直到滿足精確度為止，從而得到結(jié)果.

【詳解】?〃2）=ln2-la-0.31<0,/（3）=ln3-1?0.43>0

,-./（2）-/（3）<0.-./（x）在區(qū)間（2,3）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)八

下面用二分法求函數(shù)/（力=11-嚏在區(qū)間（2,3）內(nèi)的零點(diǎn)

取區(qū)間（2,3）的中點(diǎn)％=2.5,用計(jì)算器可算得了（2.5卜0.12

-/（2）-/（2.5）<0,所以.”0?2,2.5）

再?。?,2.5）的中點(diǎn)％=225,用計(jì)算器可算得〃2.25卜-0.08

因?yàn)?（2.25>/（2.5）<0A0G（2.25,2.5）

同理可得：與?2.25,2.375）,/G（2.3125,2.375）

|2.375-23125|=0.0625<0.1二函數(shù)的零點(diǎn)為2.375

【點(diǎn)睛】本題考查利用二分法求解函數(shù)的零點(diǎn)問題，關(guān)鍵是能夠利用零點(diǎn)存在定理

確定零點(diǎn)所在區(qū)間，再根據(jù)二分法原理來進(jìn)行求解.

14.利用信息技術(shù)，用二分法求方程0.8'-l=lnx的近似解（精確度為0.1）.

【答案】0.8125

【解析】

【分析】

將方程化為0.8、-l-lnx=0,可令/（x）=0.8-l-Inx,根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定方

程在區(qū)間（051）內(nèi)有解%；利用二分法不斷確定方程解所在區(qū)間，直到滿足精確度

為止.

【詳解】原方程可化為：0.8v-l-lnx=0,令”x）=0.8-l—Inx

用計(jì)算器算得了（0.5）之0.59,/（1）=-0.2

/（0.5）-/（1）＜0這個(gè)方程在區(qū)間（0.5,1）內(nèi)有解方

下面用二分法求方程0g-1=Inx在區(qū)間（65,1）內(nèi)的近似解

取區(qū)間（051）的中點(diǎn)玉=0.75,用計(jì)算器可算得了（0.75）々0.13

,/（0.75）-/（1）＜0.-.x0€（0.75,1）

再取（0.75,1）的中點(diǎn)々=0.875,用計(jì)算器可算得〃0.875卜-0.04

因?yàn)?（0.875）-/（0.75）＜0.?.受40.75,0.875）

同理可得：e（0.8125,0.875）

|0.8125-0.875|=0.0625＜0.1原方程的近似解可取為0.8125

【點(diǎn)睛】本題考查利用二分法求解方程的解的問題，關(guān)鍵是能夠利用零點(diǎn)存在定理

確定零點(diǎn)所在區(qū)間，再根據(jù)二分法原理來進(jìn)行求解.

15.一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB,然后每3分自身復(fù)制

一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍.那么開機(jī)后多少分，該病毒會(huì)占據(jù)64MB內(nèi)

存（1MB=1O24KB）?

【答案】45分鐘

【解析】

【分析】每過一個(gè)3分鐘，所占內(nèi)存是原來的2倍，故〃個(gè)3分鐘后，所占內(nèi)存是原

來的2"倍，再利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可解

【詳解】解：因?yàn)殚_機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB,然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占

內(nèi)存是原來的2倍，

所以3分鐘后占據(jù)內(nèi)存2?K8,兩個(gè)3分鐘后占據(jù)內(nèi)存2?K8,三個(gè)3分鐘后占據(jù)

內(nèi)存24他，

故〃個(gè)3分鐘后，所占內(nèi)存是原來的2"倍，

則應(yīng)有2*64x21°=*,."=15,15x3=45,

故45分鐘后該病毒會(huì)占據(jù)64MB內(nèi)存；

綜合運(yùn)用

16.設(shè)函數(shù)/(幻="2+云+c(a>O/,ceR),且“l(fā))=g求證：函數(shù)/(x)在

(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】見解析

【解析】

【分析】

由/(1)=--可得到^=--"一C,由此化間得到/(2),./(0),確定

2/(1)+/(2)+/(0),可知/(2)與〃0)中至少有一個(gè)為正；利用零點(diǎn)存在定理可

證得結(jié)論.

【詳解】f(\)-a+b+c-——:.b=-----c

''22

3a

---c+c-a-c

2

又/(0)=c.-.2/(l)+/(2)+/(O)=2x+?-c+c=0

2/(l)=-?<0.?./(2)+,/(0)>0.??/(2)與/(O)中至少有一個(gè)為正

X-./(l)=-|<0⑴?〃0)<0或/⑴"(2)<0

函數(shù)/(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)

【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過確定區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值

的正負(fù)，從而利用零點(diǎn)存在定理確定是否存在零點(diǎn).

17.已知函數(shù)函(彳)=一/一3「一2,8(/)=2-"(方］2.

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式；

(2)利用信息技術(shù)，畫出函數(shù)y=g(x)的圖象；

(3)求函數(shù)y=g(x)的零點(diǎn)(精確度為0.1)

【答案】(I)g(x)=-x4-6x3-13x2-12^-2；(2)圖見解析；(3)-2.75或-0.25

【解析】

【分析】

(1)將/(力代入g(九)整理即可得到結(jié)果；

(2)利用計(jì)算機(jī)可畫出函數(shù)圖象；

(3)根據(jù)圖象確定零點(diǎn)所在區(qū)間，由二分法原理不斷確定零點(diǎn)位置，直到滿足精

確度為止.

【詳解】(1)由題意得：

g(x)=2-=2-(彳2+3X+2)~--X4-6x3—13x2—12x-2

(2)函數(shù)圖象如下圖所示：

(3)由圖象可知，函數(shù)g(x)分別在區(qū)間(-3,-2)和區(qū)間(-1,0)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)

取區(qū)間(―3,—2)的中點(diǎn)玉=-2.5,用計(jì)算器可算得g(—2.5)=1.4375

g(-3>g(-2.5)<02.5)

再取(-3,-2.5)的中點(diǎn)々=-2.75,用計(jì)算器可算得g(-2.75)。0.28

g(-3)?g(-2.75)<0x0e(-3,-2.75)

同理可得：x0G(-2.875,-2.75),G(-2.8125,-2.75)

因?yàn)?；?.75—(—2.8125)|=0.0625<0.1

，原方程在區(qū)間(-3,-2)內(nèi)的近似解可取為-2.75

同理可求得函數(shù)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)的零點(diǎn)可取為-0.25

函數(shù)g(x)滿足精確度0.1的零點(diǎn)為-2.75或-0.25

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式和函數(shù)圖象、二分法求解函數(shù)零點(diǎn)的問題；關(guān)鍵是能

夠通過函數(shù)圖象確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，進(jìn)而通過二分法原理確定結(jié)果.

18.如圖，某池塘里浮萍的面積y(單位：m2)與時(shí)間1(單位：月)的關(guān)系為

y=a’.關(guān)于下列說法：

①浮萍每月的增長(zhǎng)率為1；

②第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過30療；

③浮萍每月增加的面積都相等；

④若浮萍蔓延到2加2,3加2,6加2所經(jīng)過的時(shí)間分別是a//,則4+弓=.3,其中正

確的說法是()

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

由圖象過(1,2)可求得函數(shù)解析式為y=2，；由=3=1知①正確；由25=32>30

知②正確；驗(yàn)算可知為，知③錯(cuò)誤；利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可證得4+L=4,

知④正確.

【詳解】圖象過(1,2)點(diǎn)“=2,即a=2.-.y=2,

./=以2=1；.每月的增長(zhǎng)率為1,①正確；

2'2'

當(dāng)「=5時(shí)，y=25=32>30,②正確；

第二個(gè)月比第一個(gè)月增加%f=22-2=2(加2)

第三個(gè)月比第二個(gè)月增加%-%=愛-22=4M)w%-y,③錯(cuò)誤；

2=2'，3=2",6=2"-,?tt=log22,t2=log23,t3=log26

+J=log22+log,3=log26=4,④正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查利用給定函數(shù)模型求解實(shí)際問題；關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)圖象所經(jīng)

過點(diǎn)確定函數(shù)的解析式，涉及到指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算的問題，考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.

19.一種藥在病人血液中的量保持在1500〃織以上時(shí)才有療效，而低于500〃zg時(shí)病

人就有危險(xiǎn)，現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥2500mg,果藥在血液中以每小時(shí)

20%的比例衰減，那么應(yīng)在什么時(shí)間范圍再向病人的血液補(bǔ)充這種藥(精確到

0.1/2)?

【答案】應(yīng)該在用藥2.3小時(shí)后，7.2小時(shí)以前補(bǔ)充藥

【解析】

【分析】

根據(jù)題意建立起含藥量y與注射后的時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系式，從而構(gòu)造不等式，解不等

式求得r的范圍，從而得到結(jié)論.

【詳解】血液中含藥量y與注射后的時(shí)間f的關(guān)系式為：y=2500(1-20%)',

則由500W2500(*]<1500得：2.3<Z<7.2

lioj

故應(yīng)該在用藥2.3小時(shí)后，7.2小時(shí)以前補(bǔ)充藥

【點(diǎn)睛】本題考查建立擬合的函數(shù)模型求解實(shí)際問題，關(guān)鍵是能夠通過已知關(guān)系建

立起合適的函數(shù)模型，進(jìn)而通過模型來構(gòu)造不等式.

20.人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代.目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從力3(1丁8=102468)升到

PBQPB=1024TB),EB(1EB=1024BB)乃至ZB(1ZB=1024E6)級(jí)別，國(guó)際數(shù)據(jù)公

司(IDC)的研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.49ZB,2009年的數(shù)據(jù)

量為0.8ZB,2010年增長(zhǎng)到1.2ZB,2011年的數(shù)量更是高達(dá)1.82ZB,而到了2020

年，預(yù)計(jì)全世界所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)規(guī)模將達(dá)到2011年的44倍，為了較好地描述2008

年起全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量與時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系，根據(jù)上述數(shù)據(jù)信息，從函數(shù)

/(x)=kx+b和g(x)=中選擇一個(gè)，并求出解析式.

【答案】g(x)=0.32x1.53,

【解析】

【分析】

根據(jù)已知可列出數(shù)據(jù)表，由數(shù)據(jù)表畫出散點(diǎn)圖，從而確定所選函數(shù)模型；代入兩點(diǎn)

坐標(biāo)構(gòu)造方程可求得參數(shù)，進(jìn)而得到所求結(jié)果.

【詳解】設(shè)2008,2009,2010,2011,…,2020年分另IJ對(duì)應(yīng)第1年，第2年，第3年，第4

年，…，第13年，由已知列表如下：

X123413

???

y0.490.81.21.8280.08

畫出散點(diǎn)圖如下:

L

80

70

60

50

40

30

20

1o0

由散點(diǎn)圖知，5個(gè)點(diǎn)在一條曲線上，應(yīng)選擇函數(shù)g(x)=a"

將數(shù)據(jù)(1,0.49),(13,80.08)代入得:onnoq，解得：、…

[80.08=ab[6^1.53

.-.g(x)=0.32x1.53"

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過散點(diǎn)圖確定所選的函數(shù)模

型，進(jìn)而代入已知點(diǎn)構(gòu)造方程求得函數(shù)解析式.

21.某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表.

身高/

60708090100110120130140150160170

cm

體重/

6.137.909,9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05

kg

(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這

個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的關(guān)系

式.

(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那

么這個(gè)地區(qū)一名身高為175的，體重為78依的在校男生的體重是否正常？

【答案】(1)y=2x1.02,；(2)這個(gè)男生偏胖.

【解析】

【分析】

(1)畫出散點(diǎn)圖，考慮y=a?"作為函數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.

(2)根據(jù)函數(shù)解析式，代入數(shù)據(jù)x=175得至Uy“63.98,計(jì)算得到答案.

【詳解】(1)以身高為橫坐標(biāo)，體重為縱坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖，

根據(jù)點(diǎn)的分布特征，可考慮以y=.作為刻畫這個(gè)地區(qū)未成年男性的體重與身高

關(guān)系的函數(shù)模型.

yi

79=a-/?70

取其中的兩組數(shù)據(jù)(70,7.90),(160,47.25),代入y='得：'_

用計(jì)算器算得a=2,/??1.02.

這樣，我們就得到一個(gè)函數(shù)模型：y=2xl.02,

將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)關(guān)系式，或作出上述函數(shù)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模

型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與

身高的關(guān)系.

⑵將x=175代入y=2x1.02',^y=2xl.02175,由計(jì)算