麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組數(shù)學(xué)術(shù)語01歷史背景表達(dá)形式意義方程組成適用尺度科學(xué)意義目錄0305020406基本信息麥克斯韋方程組，是英國物理學(xué)家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在19世紀(jì)建立的一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的偏微分方程。它由四個(gè)方程組成：描述電荷如何產(chǎn)生電場的高斯定律、論述磁單極子不存在的高斯磁定律、描述電流和時(shí)變電場怎樣產(chǎn)生磁場的麥克斯韋-安培定律、描述時(shí)變磁場如何產(chǎn)生電場的法拉第感應(yīng)定律。從麥克斯韋方程組，可以推論出電磁波在真空中以光速傳播，并進(jìn)而做出光是電磁波的猜想。麥克斯韋方程組和洛倫茲力方程是經(jīng)典電磁學(xué)的基礎(chǔ)方程。從這些基礎(chǔ)方程的相關(guān)理論，發(fā)展出現(xiàn)代的電力科技與電子科技。麥克斯韋在1865年提出的最初形式的方程組由20個(gè)等式和20個(gè)變量組成。他在1873年嘗試用四元數(shù)來表達(dá)，但未成功?，F(xiàn)在所使用的數(shù)學(xué)形式是奧利弗·赫維賽德和約西亞·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表達(dá)的。歷史背景歷史背景麥克斯韋誕生前的半個(gè)多世紀(jì)，人類對(duì)電磁現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)取得了很大的進(jìn)展。1785年，法國物理學(xué)家C.A.庫侖（CharlesA.Coulomb）在扭秤實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，建立了說明兩個(gè)點(diǎn)電荷之間相互作用力的庫侖定律。1820年，H.C.奧斯特（HansChristianOersted）發(fā)現(xiàn)電流能使磁針偏轉(zhuǎn)，從而把電與磁聯(lián)系起來。其后，A.M.安培（AndreMarieAmpère）研究了電流之間的相互作用力，提出了許多重要概念和安培環(huán)路定律。M.法拉第（MichaelFaraday）在很多方面有杰出貢獻(xiàn)，特別是1831年發(fā)表的電磁感應(yīng)定律，是電機(jī)、變壓器等設(shè)備的重要理論基礎(chǔ)。1845年，關(guān)于電磁現(xiàn)象的三個(gè)最基本的實(shí)驗(yàn)定律：庫侖定律（1785年）、畢奧-薩伐爾定律（1820年）、法拉第電磁感應(yīng)定律（1831~1845年）已被總結(jié)出來，法拉第的“電力線”和“磁力線”（現(xiàn)在也叫做“電場線”與“磁感線”）概念已發(fā)展成“電磁場概念”。1855年至1865年，麥克斯韋在全面地審視了庫侖定律、畢奧—薩伐爾定律和法拉第定律的基礎(chǔ)上，把數(shù)學(xué)分析方法帶進(jìn)了電磁學(xué)的研究領(lǐng)域，由此導(dǎo)致麥克斯韋電磁理論的誕生。在麥克斯韋之前，關(guān)于電磁現(xiàn)象的學(xué)說都以超距作用觀念為基礎(chǔ)，認(rèn)為帶電體、磁化體或載流導(dǎo)體之間的相互作用，都是可以超越中間媒質(zhì)而直接進(jìn)行并立即完成的，即認(rèn)為電磁擾動(dòng)的傳播速度無限大。在那個(gè)時(shí)期，持不同意見的只有法拉第。他認(rèn)為上述這些相互作用與中間媒質(zhì)有關(guān)，是通過中間媒質(zhì)的傳遞而進(jìn)行的，即主張間遞學(xué)說。方程組成方程組成麥克斯韋方程組乃是由四個(gè)方程共同組成的：

在電磁學(xué)里，麥克斯韋修正項(xiàng)意味著時(shí)變電場可以生成磁場，而由于法拉第感應(yīng)定律，時(shí)變磁場又可以生成電場。這樣，兩個(gè)方程在理論上允許自我維持的電磁波傳播于空間。麥克斯韋電磁場理論的要點(diǎn)可以歸結(jié)為：①幾分立的帶電體或電流，它們之間的一切電的及磁的作用都是通過它們之間的中間區(qū)域傳遞的，不論中間區(qū)域是真空還是實(shí)體物質(zhì)。②電能或磁能不僅存在于帶電體、磁化體或帶電流物體中，其大部分分布在周圍的電磁場中。③導(dǎo)體構(gòu)成的電路若有中斷處，電路中的傳導(dǎo)電流將由電介質(zhì)中的位移電流補(bǔ)償貫通，即全電流連續(xù)。且位移電流與其所產(chǎn)生的磁場的關(guān)系與傳導(dǎo)電流的相同。④磁通量既無始點(diǎn)又無終點(diǎn)，即不存在磁荷。⑤光波也是電磁波。麥克斯韋方程組有兩種表達(dá)方式。表達(dá)形式積分形式微分形式物性方程復(fù)數(shù)形式注記12345表達(dá)形式積分形式麥克斯韋方程組的積分形式如下：這是1873年前后，麥克斯韋提出的表述電磁場普遍規(guī)律的四個(gè)方程。其中：（1）描述了電場的性質(zhì)。在一般情況下，電場可以是自由電荷的電場也可以是變化磁場激發(fā)的感應(yīng)電場，而感應(yīng)電場是渦旋場，它的電位移線是閉合的，對(duì)封閉曲面的通量無貢獻(xiàn)。（2）描述了磁場的性質(zhì)。磁場可以由傳導(dǎo)電流激發(fā)，也可以由變化電場的位移電流所激發(fā)，它們的磁場都是渦旋場，磁感應(yīng)線都是閉合線，對(duì)封閉曲面的通量無貢獻(xiàn)。（3）描述了變化的磁場激發(fā)電場的規(guī)律。（4）描述了傳導(dǎo)電流和變化的電場激發(fā)磁場的規(guī)律。當(dāng)時(shí)，方程組就還原為靜電場和穩(wěn)恒磁場的方程：當(dāng)，方程組就成為如下形式：麥克斯韋方程組的積分形式反映了空間某區(qū)域的電磁場量（D、E、B、H）和場源（電荷q、電流I）之間的關(guān)系微分形式在電磁場的實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常要知道空間逐點(diǎn)的電磁場量和電荷、電流之間的關(guān)系。從數(shù)學(xué)形式上，就是將麥克斯韋方程組的積分形式化為微分形式。倒三角形為哈密頓算子。注意：(1)在不同的慣性參照系中，麥克斯韋方程組有同樣的形式。(2)應(yīng)用麥克斯韋方程組解決實(shí)際問題，還要考慮介質(zhì)對(duì)電磁場的影響。例如在均勻各向同性介質(zhì)中，電磁場量與介質(zhì)特性量有下列關(guān)系：在非均勻介質(zhì)中，還要考慮電磁場量在界面上的邊值關(guān)系。在利用t=0時(shí)場量的初值條件，原則上可以求出任一時(shí)刻空間任一點(diǎn)的電磁場，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。下面是高斯單位制下的麥克斯韋方程組物性方程當(dāng)有介質(zhì)存在時(shí)，由于電場和磁場與介質(zhì)的相互影響，使電磁場量與介質(zhì)的特性有關(guān)，因此上述麥克斯韋方程組在這時(shí)還不是完備的，還需要再補(bǔ)充描述介質(zhì)（各向同性介質(zhì)）性質(zhì)的物性方程，分別為式中，ε、μ和σ分別是介質(zhì)的絕對(duì)介電常數(shù)、絕對(duì)磁導(dǎo)率和導(dǎo)體的電導(dǎo)率。進(jìn)一步的理論證明麥克斯韋方程組式與物性方程式一起對(duì)于決定電磁場的變化來說是一組完備的方程式。這就是說，當(dāng)電荷、電流給定時(shí)，從上述方程根據(jù)初始條件（以及必要的邊界條件）就可以完全決定電磁場的變化。當(dāng)然，如果要討論電磁場對(duì)帶電粒子的作用以及帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)，還需要洛倫茲力公式。

復(fù)數(shù)形式對(duì)于正弦時(shí)變場，可以使用復(fù)矢量將電磁場定律表示為復(fù)數(shù)形式。在復(fù)數(shù)形式的電磁場定律中，由于復(fù)數(shù)場量和源量都只是空間位置的函數(shù)，在求解時(shí)，不必再考慮它們與時(shí)間的依賴關(guān)系。因此，對(duì)討論正弦時(shí)變場來說面采用復(fù)數(shù)形式的電磁場定律是較為方便的。注記采用不同的單位制，麥克斯韋方程組的形式會(huì)稍微有所改變，大致形式仍舊相同，只是不同的常數(shù)會(huì)出現(xiàn)在方程內(nèi)部不同位置。國際單位制是最常使用的單位制，整個(gè)工程學(xué)領(lǐng)域都采用這種單位制，大多數(shù)化學(xué)家也都使用這種單位制，大學(xué)物理教科書幾乎都采用這種單位制。其它常用的單位制有高斯單位制、洛倫茲-赫維賽德單位制（Lorentz-Heavisideunits）和普朗克單位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯單位制，比較適合于教學(xué)用途，能夠使得方程看起來更簡單、更易懂。洛倫茲-赫維賽德單位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理學(xué)；普朗克單位制是一種自然單位制，其單位都是根據(jù)自然的性質(zhì)定義，不是由人為設(shè)定。普朗克單位制是研究理論物理學(xué)非常有用的工具，能夠給出很大的啟示。在本頁里，除非特別說明，所有方程都采用國際單位制。這里展示出麥克斯韋方程組的兩種等價(jià)表述。第一種表述如下：這種表述將自由電荷和束縛電荷總和為高斯定律所需要的總電荷，又將自由電流、束縛電流和電極化電流總合為麥克斯韋-安培定律內(nèi)的總電流。這種表述采用比較基礎(chǔ)、微觀的觀點(diǎn)。這種表述可以應(yīng)用于計(jì)算在真空里有限源電荷與源電流所產(chǎn)生的電場與磁場。但是，對(duì)于物質(zhì)內(nèi)部超多的電子與原子核，實(shí)際而言，無法一一納入計(jì)算。事實(shí)上，經(jīng)典電磁學(xué)也不需要這么精確的答案。第二種表述見前所述“積分形式”中的“一般形式”。適用尺度適用尺度麥克斯韋麥克斯韋方程組通常應(yīng)用于各種場的“宏觀平均場”。當(dāng)尺度縮小至微觀（microscopicscale），以至于接近單獨(dú)原子大小的時(shí)侯，這些場的局部波動(dòng)差異將變得無法忽略，量子現(xiàn)象也會(huì)開始出現(xiàn)。只有在宏觀平均的前提下，一些物理量如物質(zhì)的電容率和磁導(dǎo)率才會(huì)得到有意義的定義值。最重的原子核的半徑大約為7飛米（1fm=10-15m）。所以，在經(jīng)典電磁學(xué)里，微觀尺度指的是尺寸的數(shù)量級(jí)大于10-14m。滿足微觀尺度，電子和原子核可以視為點(diǎn)電荷，微觀麥克斯韋方程組成立；否則，必需將原子核內(nèi)部的電荷分布納入考量。在微觀尺度計(jì)算出來的電場與磁場仍舊變化相當(dāng)劇烈，空間變化的距離數(shù)量級(jí)小于10-10m，時(shí)間變化的周期數(shù)量級(jí)在10-17至10-13秒之間。因此，從微觀麥克斯韋方程組，必需經(jīng)過經(jīng)典平均運(yùn)算，才能得到平滑、連續(xù)、緩慢變化的宏觀電場與宏觀磁場。宏觀尺度的最低極限為10-8米。這意味著電磁波的反射與折射行為可以用宏觀麥克斯韋方程組來描述。以這最低極限為邊長，體積為10-24立方米的立方體大約含有106個(gè)原子核和電子。這么多原子核和電子的物理行為，經(jīng)過經(jīng)典平均運(yùn)算，足以平緩任何劇烈的漲落。根據(jù)可靠文獻(xiàn)記載，經(jīng)典平均運(yùn)算只需要在空間作平均運(yùn)算，不需要在時(shí)間作平均運(yùn)算，也不需要考慮到原子的量子效應(yīng)。

意義意義場概念的產(chǎn)生，也有麥克斯韋的一份功勞，這是當(dāng)時(shí)物理學(xué)中一個(gè)偉大的創(chuàng)舉，因?yàn)檎菆龈拍畹某霈F(xiàn)，使當(dāng)時(shí)許多物理學(xué)家得以從牛頓“超距觀念”的束縛中擺脫出來，普遍地接受了電磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。麥克斯韋方程組在電磁學(xué)與經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中的地位，如同牛頓運(yùn)動(dòng)定律在牛頓力學(xué)中的地位一樣。以麥克斯韋方程組為核心的電磁理論，是經(jīng)典物理學(xué)最引以自豪的成就之一。它所揭示出的電磁相互作用的完美統(tǒng)一，為物理學(xué)家樹立了這樣一種信念：物質(zhì)的各種相互作用在更高層次上應(yīng)該是統(tǒng)一的。這個(gè)理論被廣泛地應(yīng)用到技術(shù)領(lǐng)域?？茖W(xué)意義科學(xué)意義(一)經(jīng)典場論是19世紀(jì)后期麥克斯韋在總結(jié)電磁學(xué)三大實(shí)驗(yàn)定律并把它與力學(xué)模型進(jìn)行類比的基礎(chǔ)上創(chuàng)立起來的。但麥克斯韋的主要功績恰恰使他能夠跳出經(jīng)典力學(xué)框架的束縛：在物理上以“場”而不是以“力”作為基本的研究對(duì)象，在數(shù)學(xué)上引入了有別于經(jīng)典數(shù)學(xué)的矢量偏微分運(yùn)算符。這兩條是發(fā)現(xiàn)電磁波方程的基礎(chǔ)。這就是說，實(shí)際上麥克斯韋的工作已經(jīng)沖破經(jīng)典物理學(xué)和當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的框架，只是由于當(dāng)時(shí)的歷史條件，人們?nèi)匀恢荒軓呐ｎD的微積分和經(jīng)典力學(xué)的框架去理解電磁場理論?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)，Hilbert空間中的數(shù)學(xué)分析是在19世紀(jì)與20世紀(jì)之交的時(shí)候才出現(xiàn)的。而量子力學(xué)的物質(zhì)波的概念則在更晚的時(shí)候才被發(fā)現(xiàn)，特別是對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)與量子物理學(xué)之間的不可分割的數(shù)理邏輯聯(lián)系至今也還沒有完全被人們所理解和接受。從麥克斯韋建立電磁場理論到如今，人們一直以歐氏空間中的經(jīng)典數(shù)學(xué)作為求解麥克斯韋方程組的基本方法。(二)我們從麥克斯韋方程組的產(chǎn)