隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布公開課一等獎市優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件

第三章多元隨機(jī)變量的分布

本章主要學(xué)習(xí)內(nèi)容一、隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布二、隨機(jī)變量的獨(dú)立性

三、常見隨機(jī)變量的聯(lián)合分布

四、隨機(jī)向量的函數(shù)的分布

第一節(jié)、隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布

一、離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布1、聯(lián)合分布

設(shè)隨機(jī)變量X和Y是離散型隨機(jī)變量，其一切可能值相應(yīng)為{xi}和{yi}．隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布，亦稱做隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布，表示為：其中離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布常用列聯(lián)表表示（表3.1）．表3.1離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布2、邊緣概率分布

凡是可以由聯(lián)合分布得到或決定的概率分布，統(tǒng)稱為聯(lián)合分布的邊緣概率分布．隨機(jī)變量X的概率分布和Y的概率分布，完全決定于X和Y的聯(lián)合分布：3、條件概率分布

由變量X和Y的聯(lián)合分布可見，對于給定的xk，若P{X=xk}≠0，則稱做Y在X=xk條件下的條件分布，或Y關(guān)于{X=xk}的條件分布．條件分布具有（無條件）概率分布的一切性質(zhì)．4、多元離散型聯(lián)合分布

讀者自己容易把二元情形推廣到多個離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布、邊緣分布和條件分布．n個隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的邊緣分布，包括任意m(1≤m≤n)個變量的概率分布和聯(lián)合概率分布．例3.3假設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為分別求X和Y的概率分布．求Y關(guān)于X的條件概率分布．解易見X有0,1,2等3個可能值，而Y有1,2等兩個可能值．(2)求Y關(guān)于X的條件概率分布．Y關(guān)于X=0的條件概率分布：Y關(guān)于X=1的條件概率分布：Y關(guān)于X=2的條件概率分布：二、連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度

1、聯(lián)合密度

對于二連續(xù)型變量X和Y，(X,Y)可視為平面上的點(diǎn)．對于平面上的任意區(qū)域G，點(diǎn)(X,Y)屬于G的概率通過一非負(fù)二元函數(shù)f(x,y)的積分表示：特別，若G={(x,y):a<x<b,c<y<d}是一個矩形，則函數(shù)f(x,y)稱做(X,Y)的概率密度或X和Y的聯(lián)合概率密度，它具有如下性質(zhì)：2、邊緣密度

凡是可以由聯(lián)合密度得到的密度，統(tǒng)稱為聯(lián)合密度的邊緣概率密度．變量X和Y的聯(lián)合密度f(x,y)完全決定每個變量X和Y的概率密度f1(x)和f2(x):是聯(lián)合密度f(x,y)的兩個邊緣密度．3、條件概率密度設(shè)f(x,y)是X和Y的聯(lián)合密度，f1(x)和f2(y)分別為變量X和Y的概率密度，則對于任意x,f2(x)>0，稱為Y關(guān)于X=x的條件密度．同樣定義X關(guān)于Y=y的條件密度f1|2(x|y)．顯然稱做密度乘法公式．例3.4假設(shè)是原點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓（圖3.1）；已知X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y)，在圓G上為常數(shù)，在圓G外f(x,y)=0．試求，(1)聯(lián)合密度f(x,y)，(2)f(x,y)的邊緣密度，即X和Y的密度f1(x)和f2(y)；(3)Y關(guān)于X=x的條件密度f2|1(y|x)．圓積見這時，稱為二元均勻密度，稱服從二元均勻分布．(2)X和Y的密度f1(x)和f2(y),當(dāng)|x|>r時，顯然f1

(x)

=0．設(shè)|x|≤r，則X的密度于是，得X的概率密度同理可得Y的聯(lián)合概率密度(3)對任意x,只要f1

(x)

>0，則Y關(guān)于X=x的條件密度為注意，X和Y的分布不是均勻分布，它們之中一個關(guān)于另一個的條件分布都是均勻分布．4、多元聯(lián)合密度類似地可以引進(jìn)多個連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度、邊緣密度和條件密度．因?yàn)楹苋菀子啥芏萬(x1,x2)推廣到多元密度f(x1,x2,…xn

)故留給讀者自己完成．注意，n(n≥2)個隨機(jī)變量的聯(lián)合密度的邊緣密度，包括任意m(1≤m≤)個變量的概率密度或聯(lián)合密度．三、隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)

1、聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)

(1)稱r元函數(shù)為隨機(jī)向量X=(

X1,X2,…Xr)的分布函數(shù),或隨機(jī)變量X1,X2,…Xr的聯(lián)合分布函數(shù)．(2)隨機(jī)變量X1,X2,…Xr中，各變量的分布函數(shù)，以及其中任意m個變量的聯(lián)合分布函數(shù)F(X1,X2,…Xr)，統(tǒng)稱為聯(lián)合分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù).

2、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)

以隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)為例．基于一元分布函數(shù)的性質(zhì)和二元分布函數(shù)的定義，不難理解F(x,y)的如下性質(zhì)．(1)0≤F(x,y)≤1，且對于每一自變量單調(diào)不減．(2)對于每一自變量，F(xiàn)(x,y)右連續(xù)．(4)對于任意實(shí)數(shù)a<b,c<d,，有（圖3.2）xxbybayaOdcO圖3.2二元分布函數(shù)示意圖b(a)(b)(5)F(x,y)完全決定X和Y的分布函數(shù)F1(x)和F2(y)

（反之未必）：(6)連續(xù)型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)，可以表示為：其中f(x,y)是X和Y的聯(lián)合密度；對于幾乎一切(x,y)，有例3.7假設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為(1)求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(2)求X和Y的分布函數(shù)F1(x)和F2(y)．解(1)當(dāng)x<0或y<0時顯然F(x,y)=0；當(dāng)x≥1或y≥1時顯然F(x,y)=1；對于0≤x≤1,0≤y≤1，于是(2)當(dāng)x<0時,F1(x)

=0；當(dāng)x>1時，F(xiàn)1(x)

=1；現(xiàn)在設(shè)0≤x≤1，有于是，X的分布函