高中數學函數的極值和最值

高中數學函數的極值和最值第一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六本節(jié)重點:極值的定義,極值存在的必要條件和充分條件,求極值的方法,求最值的方法本節(jié)難點:極值和最值的關系,極值點和駐點、不可導點之間的關系,求極值和最值的方法第二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六一、極值及其求法1.極值的定義:定義:設y=f(x)在某一鄰域內有定義,如果對于該鄰域內異于的任意點x都有:(1)f(x)<f(),則稱f()為f(x)的極大值,稱為f(x)的極大值點;(2)f(x)>f(),則稱f()為f(x)的極小值,稱為f(x)的極小值點;極大值,極小值統(tǒng)稱為極值;極大值點,極小值點統(tǒng)稱為極值點.注:(1)極值是局部概念,極值不一定是最值;(2)極值不唯一,極大值不一定比極小值大第三頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六2.極值存在的必要條件和充分條件:(1)必要條件定理若函數f(x)在可導,且在處取得極值,則第四頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六注：極值點是駐點或不可導點，反之不成立。例x=0是函數的駐點而非極值點;第五頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六（2）極值存在的第一充分條件定理：設函數f(x)在點的某一鄰域內可導且(1)若x<時，;當x>時,則f(x)在點處取得極大值f()(2)若x<時，;當x>時，,則f(x)在點處取得極小值f()(3）若x從的左側變化到右側時，不變號，則f(x)在處無極值.注：此定理也可以判斷不可導點是否為極值點第六頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)+不存在-0+y↗極大值0↘極小值-3↗函數有極大值f(0)=0極小值f(1)=-3第七頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六（3）第二充分條件定理：設f(x)在點的某鄰域內一階可導，在x=處二階可導，且,,(1)若,則f(x)在點取得極大值(2)若,則f(x)在點取得極小值。第八頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)+0-0+f(x)↗極大值10↘極小值-22↗第九頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六二、最大值與最小值1.設f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最值第十頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六求最值的方法：①求②求出f(x)在[a,b]內的所有駐點和不可導點(i=1,2,…n)③求f(a),f(b),f(),其中最大(小)的即為f(x)在[a,b]上的最大(小)值。第十一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六2．f(x)在某區(qū)間內可導且只有一個駐點，根據實際問題的性質知f(x)的最大（?。┲狄欢ù嬖冢瑒t在駐點處取得最值。例4從一塊邊長為a的正方形鐵皮的四角上截去同樣大小的正方形，然后沿虛線把四邊折起來做成一個無蓋的盒子，問要截去多大的小方塊，可使盒子的容積最大？解：設小正方形的邊長為a盒子的容積第十二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六函數在定義區(qū)間駐點唯一，由問題性質知最大容積一定存在，所以，當正方形的邊長為，即從四角各截去一邊長為的小正方形，可使盒子的容積最大例5：一張1.4米高的圖片掛在