2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練7-2線性規(guī)劃與不等式應(yīng)用（全國通用）（解析版）

專題7-2線性規(guī)劃與不等式應(yīng)用

目錄

【題型一】畫圖求面積..................................................................2

【題型二】畫圖：含參..................................................................4

【題型三】線性：z=ax+by...............................................................................................................................6

【題型四】距離型.......................................................................9

【題型五】斜率型......................................................................12

【題型六】不等式組含參型.............................................................15

【題型七】線性目標(biāo)含參...............................................................18

【題型八】最優(yōu)解無數(shù)個(gè)型.............................................................20

【題型九】含絕對(duì)值型.................................................................23

【題型十】均值型.....................................................................25

【題型十一】向量型...................................................................27

【題型十二】與函數(shù)結(jié)合型.............................................................29

【題型十三】與概率命題等結(jié)合綜合應(yīng)用................................................32

【題型十四】雙最值求參型.............................................................34

真題再現(xiàn)..............................................................................36

模擬檢測(cè)..............................................................................43

綜述：

線性規(guī)劃在新課標(biāo)老高考中，最近幾年以容易題形式出現(xiàn)。考察線性2=2*+6丫形式較多。屬

于基礎(chǔ)題。所以要把z=ax+by中a、b分別為正負(fù)的基礎(chǔ)形式練習(xí)好。

線性規(guī)劃綜合問題中，幾種常見形式有：

①截距型：z=ax+by,將問題轉(zhuǎn)化為&?在'軸截距的問題;

②斜率型：z=三，將問題轉(zhuǎn)化為(x,y)與(。2)連線斜率的問題；

③兩點(diǎn)間距離型：z=(x-a)?+(y-A)?,將問題轉(zhuǎn)化為(x,y)與(&b)兩點(diǎn)間距離的平方的問

題；

④點(diǎn)到直線距離型：z=\Ax+By+C\,將問題轉(zhuǎn)化為（x,y）到直線Ax+By+C=（）的距離的

X/A'+B?倍的問題.

【題型一】畫圖求面積

【典例分析】

'2x+y-2<0

（2022?浙江浙江?高三階段練習(xí)）若x,y滿足約束條件,則點(diǎn)尸（x,2y）所在區(qū)

y+l>0

域的面積5=（）

33

A.-B.-C.1D.3

24

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)P（x,2y）所在區(qū)域面積是點(diǎn)Q（x,y）區(qū)域面積的2倍，求出點(diǎn)Q（x,y）區(qū)域的

面積即可.

【詳解】易知點(diǎn)P（x,2y）所在區(qū)域面積是點(diǎn)Q（x,y）區(qū)域面積的2倍.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

畫圖時(shí)，要注意所求約束條件的點(diǎn)的坐標(biāo)形式。如（x,y）與（a+b,a-b）的轉(zhuǎn)化

【變式演練】

x-y+l>0

1.（2022?安徽?定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)高三階段練習(xí)）不等式組,x44所表示的平面區(qū)域的面

”3

積為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】畫出可行域，不等式組表示的區(qū)域?yàn)橹苯侨切蜛BC,求出面積即可.

【詳解】畫出可行域，如圖陰影部分為直角二角形ABC,

其中8C=AC=2,則面積為S=2x2+2=2故選：B

2.(2021?江西?蘆溪中學(xué)高二開學(xué)考試(理))已知集合4={(x,y)|(y-x)(y-：)2o1，

3={(x,y)|(x-l)2+(y-l)241},則A8所表示平面圖形的面積為()

A.-B.—C.一或—D.——

24423

【答案】A

【分析】由集合A,8的元素滿足的條件，找出Afp如圖所示的陰影部分，再利用圓和函

數(shù))，=■!■的對(duì)稱性即可求出面積.

X

【詳解】解：由8={。，y)|(x-1)2+(y-l)2?l),可知集合B表示的圖形是以(1,1)為圓心，1

為半徑的圓面.

[y--xdx

由(y-x)(y-1)..O,得，1,或，I.

xy…一%-

IXIX

???集合峭B所表示的平面圖形如圖所示的陰影部分：

由于圓和函數(shù)y='的對(duì)稱性可知：圓面的陰影部分的面積和剩下的部分面枳相等，故

X

。1

7r

3陰影=3.

故選：A.

l<x+y<3—I

3.(2018?全國?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不等式組-日表示圖形

的面積等于

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】畫圖可行域，可得對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎叫?，利用交點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算得正方形的邊長(zhǎng)，由

此計(jì)算得圖像的面積.

【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，

對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎叫蜛8C。，其中A(0,1),0(1,0),邊長(zhǎng)，則正方形的面積S=

夜=2.故選B.

【題型二】畫圖：含參

【典例分析】

x+y<4

(2022?河南?模擬預(yù)測(cè)(文))已知不等式組以-丁>5,表示的平面區(qū)域不包含點(diǎn)(3,1)則實(shí)

x+紗22

數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,-l)B.(f2]C.[2,+oo)D.(-1,-KO)

【答案】B

【分析】由題意列不等式組，即可求解.

x+y<4

【詳解】因?yàn)椴坏仁浇M<"-y>5,表示的平面區(qū)域不包含點(diǎn)(3,1),

x+ay>2

所以3a—lM5或3+a<2,解得：“42.故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

含參討論，注意參數(shù)所在位置，對(duì)不等式區(qū)域的影響。

一般情況下，不等式組中，參數(shù)在x系數(shù)位置，y系數(shù)位置，和常數(shù)系數(shù)位置，可以借助

代特殊值法來研究?？梢员苊夥爆嵉姆诸愑懻?。

【變式演練】

1.(2022.全國?高三專題練習(xí)(文))已知丫=辦+3與函數(shù)〃x)=21nx+5相切，則不等式組

x-ay>0

/I、、八確定的平面區(qū)域在爐+V=24內(nèi)的面積為()

x+(?4-l)y>0

A.12兀B.6兀C.3兀D.2兀

【答案】C

7

f'M=—=a

xo

【解析】設(shè)切點(diǎn)為（毛,%）,可得先=。%+3,解方程可得。=2,然后作出不等式組在

y0=2/叫+5

X2+/=24內(nèi)的區(qū)域，再利用扇形的面積公式即可求解.

9

f'M=—=a

【詳解】由丫=?+3與函數(shù)/（x）=21nx+5相切，設(shè)切點(diǎn)為（%,%）,貝小"+3

%=21nxo+5

解得〃=2,

fx—2y>0

所以不等式組為《二[八，則不等式組確定的平面區(qū)域在f+V=24內(nèi)的面積為陰影部分,

[%+3”0

2

所以陰影部分的面積為：S=-x-x/?=-xi-x24=3^.S^:C

2424

x<0

2.（2019?浙江?高三專題練習(xí)）若關(guān)于x,>的不等式組r+yNO，表示的平面區(qū)域是等

Ax-y+l>0

腰直角三角形區(qū)域，則其表示的區(qū)域面積為（）

A.1或1B.1或:C.1或!D.1或）

424228

【答案】B

x<0

【分析】由己知可知，若不等式組r+yWO表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域，則

fcr-y+1>0

憶=0或k=l,由此作出可行域，代入三角形面積公式得答案.

x<0

【詳解】解：???不等式組r+ywo表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形區(qū)域，

fcc-y+l>0

x<0

???由約束條件r+”0作出平面區(qū)域如圖,

fcv-y+l>0

當(dāng)我=1時(shí)，平面區(qū)域?yàn)橐越茿為直角的等腰直角三角形，面積為L(zhǎng)x立、也=!；

2224

當(dāng)4=0時(shí)，平面區(qū)域?yàn)橐越?為直角的等腰直角三角形，面積為］xlxl=1.

22

故選從

x>0

3.(2017.福建?閩侯縣第二中學(xué)高二期中(理))已知。>0,不等式組,y<0表示的平面

y>a(x-2)

區(qū)域面積為2,則。的值為

A.-B.4C.1D.2

42

【答案】C

【詳解】分析：先作可行域，根據(jù)直角三角形面積求a的值.

x>0

詳解：作可行域，因?yàn)椴坏仁浇M<y<o表示的平面區(qū)域?yàn)橹苯侨切?，所?/p>

y>?(x-2)

【題型三】線性：z=ax+by

【典例分析】

(2022?四川省成都市第八中學(xué)校高三階段練習(xí)(理))已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件

2x+y-5>0

<x-y-\<0,則z=-3x+y的最大值為（）.

x+2y-7<0

A.3B.0C.—5D.—7

［答案］B

【分析】先作出約束條件所表示的可行域，再結(jié)合圖像即可求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.

2x+y-5>0

【詳解】根據(jù)題意，作出r-y-lVO所表示的可行域，如圖，其中A（2,1）,B（3,2）,C（1,3）,

x+2y-7<0

而z=-3x+y表示平行直線y=3x+z經(jīng)過可行域內(nèi)過（x,y）,截距為z,

當(dāng)z=-3x+y經(jīng)過點(diǎn)C（l,3）時(shí)，截距最大，即z取得最大值z(mì)=-3xl+3=O.

故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

形如Z=OX+勿，將問題轉(zhuǎn)化為y=_@x+Z在）'軸截距的問題。要注意斜率正負(fù)，截距

'bb

與Z的正反比例關(guān)系。

【變式演練】

x+y-2,,0

1.（2021?陜西?安康市教學(xué)研究室高一期末）已知x,y滿足約束條件r-%。，則

x.O

z=2x+y的最大值為（）

A.0B.2C.3D.4

［答案］C

【A析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解作答.

x+y-240

【詳解】作出不等式組y-yso表示的平面區(qū)域，如圖所示（陰影部分）：

x>0

平移直線2x+y=0,當(dāng)自線過可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，直線在V軸上的截距最大,

即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取得最大值，聯(lián)立解得A?！梗?/p>

故目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為z=2xl+l=3.故選：C.

x+2y>l

2..已知變量4,y滿足約束條件r-yWl,則z=x-3y的最小值為（）

y-1<0

A.2B.—4C.—3D.—2

【答案】B

11

【分析】先作出可行域，由z=x-3y,得y=z作出直線y=",向上平移過點(diǎn)A時(shí),

目標(biāo)函數(shù)取得最小值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)可求得結(jié)果.

x+2y>l

【詳解】作出不等式組T-y41表示的平面區(qū)域，

y-l<0

由z=x-3y,得y=作出直線y=；x,向上平移過點(diǎn)A時(shí),

目標(biāo)函數(shù)取得最小值,

tLf得仁；即…

所以z=x-3y的最小值為-1-3x1=Y,

x+y>2

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足，x-y42,則z=x-2y（）

0<y<3

A.最小值為-7,最大值為2B.最小值為-2,最大值為7

C.最小值為-7,無最大值D.最大值為2,無最小值

【答案】C

【分析】作出可行域，利用平移法即可求出目標(biāo)函數(shù)的最大最小值.

【詳解】作出可行域，如圖所示陰影部分:

z=x-2y,即y=gx-],直線越往上移Z的取值越小，當(dāng)直線往上平移至經(jīng)過點(diǎn)A(T3)時(shí),

z取最小值，此時(shí)2mhi=-l-2x3=-7,當(dāng)直線往下平移至經(jīng)過點(diǎn)8(2,0)時(shí)，z=2,因?yàn)樵?/p>

點(diǎn)取不到，所以z無法取到最大值，即z=x-2y的最小值為-7,無最大值.

故選：C.

【題型四】距離型

【典例分析】

2x-y+2>0

(2022.全國?高三專題練習(xí))如果點(diǎn)P(x,y)在平面區(qū)域<x-2)，+140上，則f+y2+2y的

x+y-2<0

最小值是()

49

A.-B.-C.1D.2

55

【答案】A

【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再根據(jù)V+y2+2y表示的幾何意義即可求得答案.

'2x-y+2>0

【詳解】如圖，作出"-2y+lM0表示的平面區(qū)域，圖中,ABC區(qū)域，

x+>'-2<0

,而/+丁+2?=/+。+1)2-1,設(shè)點(diǎn)Q(0.-D

即x2+V+2y表示的是P(x,y)和定點(diǎn)Q(O,-1)的距離的平方減去1,由圖可知，聯(lián)立

x-2y+l=0-------,----_

x+、；_2=0'解得A。』)，而WTO),則|8Q|=#7F=0,|AQ|=Vi7￥=6，Q到

直線A8的距離為"=里=攣，型<0<6,

,535

故當(dāng)PQ垂直于AB時(shí)，IPQI最小，貝1)/+>2+2了的最小值為(憐］-1=1,故選：A

</

【提分秘籍】

基本規(guī)律

形如：z=(x_4+(y-4，可以將問題轉(zhuǎn)化為GM與S'3兩點(diǎn)間距離的平方的問題。

需要注意的是，如果配方后有常數(shù),則需要多走一步。如

z=(x-a)"+(y-bl+t=d?+1,d=J(x-4)2。

距離型也可以轉(zhuǎn)化為“動(dòng)圓”型來解釋。

距離型還要注意，最值處是“到點(diǎn)的距離”，還是“到線的距離”

【變式演練】

x<2

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件y-140，貝k=/+丁的最

x+2y-2N0

小值為()

A,還C,如

B.-D.-

5555

【答案】B

【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，由z=/+y2的幾何意義，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的最小即

可.

x<2

【詳解】作出不等式組,y-iwo所表示的區(qū)域如下圖：則z=V+V的幾何意義為區(qū)域

x+2y-2>0

內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，

由圖象知，。點(diǎn)到直線x+2y-2=0的距離最小，由點(diǎn)到直線距離公式，可得

2卜早

x+2y-^=0

H0\12^^

4

所以z=/+V的最小值為二,故選：B.一升

y41

2.（2022?浙江省江山中學(xué)高三期中）若實(shí)數(shù)匕丁滿足約束條件<x-y<0,則

2x+y+l>0

z=J（x_l）2+y2的最小值為（）

A.1B.—C.晅D.也

23

【答案】B

【分析】畫出可行域，而2=辰萬港的幾何意義表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)/（1，°）的距離，

觀察圖可知z的最小值即為點(diǎn)M到直線x-V=0的距離，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解

即可

【詳解】可行域如圖

Z=J（X-1）2+y2的幾何意義表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)M（l,0）的距離，

所以由圖可知z的最小值即為點(diǎn)M到直線x-y=0的距離d=_[=立，

V22

故選：B.

-2y-x-2<0

3.（2022?云南師大附中高三階段練習(xí)（理））設(shè)實(shí)數(shù)x,），滿足約束條件<4x+3y-1240,則

x+2y+2>0

目標(biāo)函數(shù)z=（x-4『+（y-2）2的最小值為（）

A.40B.2C.4D.6

【答案】C

【分析】畫出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的距離的平方即可

【詳解】約束條件所滿足的區(qū)域如圖所示

目標(biāo)函數(shù)2=（》-4『+（丫-2）2的幾何意義是點(diǎn)（4,2）到區(qū)域內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的距離的平方

由圖知此最小值為以點(diǎn)（4,2）為圓心，與直線4x+3y-12=0相切的圓的半徑的平方

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求得圓心到直線的距離為r=d=|4X4+2X372]=2

故最小值為4

故選：C.

【題型五】斜率型

【典例分析】

x+y<4

(2022.甘肅.瓜州一中高三期中(文))已知?jiǎng)狱c(diǎn)「(〃?,〃)在不等式組表示的平面

、”0

〃一

區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則z=q3的最小值()

m-D

A.4B.-C.-D.3

33

【答案】B

【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，明確z=y〃一3表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，即可求

tn-j

得答案

【詳解】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖陰影部分：

Z=二表示的幾何意義為不等式組表示的區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)與點(diǎn)P(5,3)連線的斜率，

m-j

由圖可知當(dāng)連線經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的A點(diǎn)時(shí)，斜率最小，即z=2二取到最小值；

m-5

(x+y=43-21n-31

解八可得A(2,2),此時(shí)即4=看=：，即z==的最小值為:，故選：B

[x-y=05-23in-53

【提分秘籍】

基本規(guī)律

_y-b

形如“―一，將問題轉(zhuǎn)化為"廣)與連線斜率的問題。要注意以下幾點(diǎn)

bb

CLy—y—

1.如果分子分母x,y有系數(shù)，提出來再用斜率型。如2=生心=2二=2匕k=」

x-ax-ax-a

2.注意斜率的范圍，與傾斜角的關(guān)系。簡(jiǎn)單稱之為“直線旋轉(zhuǎn)”時(shí)斜率的范圍。

【變式演練】

x+l>0

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x,y滿足的約束條件「+了+120,貝心=*口的取

x-y-2<0X

值范圍是（）

A.[—3,1）B.（―co,~3]（1,4-co）

C.[-3,3]D.（',一3]皿3,內(nèi)）

【答案】B

【分析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解作答.

x+l>0

【詳解】作出約束條件r+y+120表示的可行域，如圖中陰影區(qū)域，其中點(diǎn)

x-y-2<0

z*

光表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x，》）與定點(diǎn)

P（°L3）確定直線/的斜率A,

過點(diǎn)P的直線，。平行了直線x-y-2=0,其斜率為-1,過點(diǎn)P的直線4經(jīng)過點(diǎn)A（T,O）,其

斜率為一3,

直線/從直線4）（不含直線/。）繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線4的位置，直線4均符合條件，則心-3

或攵>1,

所以z=*的取值范圍是（F,-3]（1,物）.故選：B

X

fx-y+l>0

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,），滿足x+y-120,則目標(biāo)函數(shù)z=1^的取

（3x-y-3<021

值范圍為（）

A.（-oo,-lJL13,+oo）B.（-=o,-3]o[l,+oo）

C.[-1,3]D.r-3,u

【答案】B

1

2v+iy+彳

【分析】作出可行域，將Z="化簡(jiǎn)為Z=-f,看作點(diǎn)與可行域內(nèi)點(diǎn)（x,y）連

21

2

線的斜率，求解斜率的范圍.

【詳解】作出約束條件的可行域，如圖陰影部分所示,

M化」]勉=口=1L=H=-3

定點(diǎn)(22)與可行域內(nèi)點(diǎn)(x,y)連線的斜率，因?yàn)?,2

所以z的取值范圍是(7，-3]=11，內(nèi)).故選：B

3x+y-320

3.(2021?貴州?貴陽一中高三階段練習(xí)(理))已知實(shí)數(shù)盯y滿足2x+3y-9W0,則

x-2y-l<0

Z=T9(XW2)的取值范圍是()

A.u(l,3]B.[0,1)_(1,3]

C.(^0,0][3,+00)D.[0,1)U[3,-HOO)

[答案]c

【騫析】畫出可行域，根據(jù)斜率型表達(dá)式的取值范圍的求法求得正確答案.

【詳解】z=x12-l=￡-2+y±l=1+21l=]+2Z(z!))

x—2x—2x—2x—2

表示(x,y)勺(2,-1)連線的斜率加1.

畫出可行域如下圖所示，由圖可知ZG(-00,l+k"]u[l+^c，+00)-

心C==2,怎C==T，所以ze(-oo,0]u[3,y).

j—Z,Z-I

故選：C

【題型六】不等式組含參型

【典例分析】

2x-y>0

（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)x,y滿足，，且z=3x+y的最大值為8,

y<-x+2m

則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

2x-y>0

【分析】畫出不等式組y>x表示的可行域，利用線性規(guī)劃去求實(shí)數(shù)機(jī)的值即可.

y<-x+2m

hn4m

表示的可行域如圖所示，。（0,0）,4見,"）,8

33

當(dāng)宜線y=-3x+z向上平移時(shí)，依次經(jīng)過點(diǎn)O,B,A.

故經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z有最大值4m,山4m=8,得m=2.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

不等式組含參，是“旋轉(zhuǎn)型”還是“平移型”，與參數(shù)位置有關(guān)。要隨時(shí)根據(jù)參數(shù)范圍確

定不等式所對(duì)應(yīng)的范圍區(qū)域。

【變式演練】

x>\

1.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)（X,y）是不等式組x+y?4表示的平面區(qū)域內(nèi)的

axby+c>0

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7,最小值為1,則竺叱的值為（）

a

A.2B.；C.-2D.-1

【答案】C

【分析】作出可行域，把目標(biāo)函數(shù)z=2x+y化為直線y=-2x+z,利用幾何法判斷出經(jīng)過8

時(shí)，z最??；經(jīng)過C時(shí)，z最大.建立方程組，求出a、b、c的關(guān)系，代入即可求解.

【詳解】把不等式組表示的平面區(qū)域畫出來.

Jx=1Jx=l\cvc+by+c=0

聯(lián)立方程組,求出三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)：由1x+y=4解得：1y=3,所以4（1,3）；由=l解

4b+c

x=-----

x=lb-a

a+c4+c、jax+by+c=04a+c

=

y—■B(l,------)?Ay~7"

得:力，所以b油［x+y=4解得:”b,所以

Ah+c4a+c

b-a'a-b

把目標(biāo)函數(shù)z=2x+y化為直線y=-2x+z,平移直線，經(jīng)過3時(shí)，縱截距最小，z最??；經(jīng)

過C時(shí)，縱截距最大，z最大.

2-"=1

ba+c=ba+b+c2b

所以《=-------=—二-2.故選：C

2(4〃+c)+4a+c_7b=-aa

b-aa-b

x-y-3<0,

2.（2021?河南開封?高三階段練習(xí)（文））曲線y=2*上存在點(diǎn)（x,y）滿足約束條件，x+y-3>0,

y<m,

則機(jī)的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】作出可行域和函數(shù)y=2"的圖象，進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合求得答案.

【詳解】如圖所示，當(dāng)y=2'過點(diǎn)。時(shí)，，"有最小值.

且"1）=0,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,2）,所以機(jī)的最小值為2.

故選：B.

x>2

3.（2021?河南省杞縣高中高二階段練習(xí)（理））已知實(shí)數(shù)x,y滿足條件T+）W4若目

-2x+_y+c>0

標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最小值為5,則c的值為（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】A

【3■析】由約束條件畫出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)最小值的幾何意義確定其在取最小值時(shí)所過

作宜線/：y=-3x,平移/可知：當(dāng)x=2,y=4-c時(shí)，Z取得最小值,

z

min=3X2+4-C=10-C=5,所以C=5,

故選：A

【題型七】線性目標(biāo)含參

【典例分析】

>x+y>0

(2022?安徽?壽縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)(理))若動(dòng)直線以-y+4=0與區(qū)域，2x-y20有

x-l<0

交點(diǎn)，貝IJ。的最大值為()

A.-1B.-2C.1D.2

［答案］C

【I析】先求出動(dòng)直線過的定點(diǎn)，再畫出可行域，旋轉(zhuǎn)直線即可求出。的最大值.

上的截距，

如圖所示，當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過點(diǎn)(1,2)時(shí)，此時(shí)。最大，有a-2+a=0,解得。=1,故。的最大

值為1.

故選：C.

【變式演練】

(jr+1)2—V2<0

1.(2022?浙江省義烏中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知x，V滿足不等式組｛\-，若?+y中

1”2

有最大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.-l<a<lB.04a41C.a<-\D.a>\

［答案］A

【*析】根據(jù)題意，作出可行域，然后利用線性規(guī)劃進(jìn)行數(shù)形結(jié)合求解

(x+1)2-y2<0f(x+y+l)(x-y+l)?0

【詳解"c>等價(jià)于｛，則可行域如圖所示，令如+y=f,

［y<2［y<2

y=-ax+t,當(dāng)時(shí)，丫=一以+f過(-3,2)或(1,2)點(diǎn)時(shí)，，能夠取得到最大值，而a在

［-1,1］之外時(shí)，r無最大值，故選：A

x-2y<2,

（2021.河南洛陽?高二階段練習(xí)（文））設(shè)x,），滿足約束條件,21-）亞2,,若2=%一4，取得

x+y<4,

最大值的最優(yōu)解不唯一，則。的值為（）

A.-1B.-1或2C.2D.或1

2

［答案］B

【3■析】先畫出可行區(qū)域，再根據(jù)z=x-沖取得最大值的最優(yōu)解不唯一即可求解.

【詳解】作出不等式組所表示的可行域，如圖所示，由2=犬-紗，得y=L-J

aa

當(dāng)。>0時(shí)，直線y=與直線x-2y=2重合，此時(shí)4=2.故選：B.

aa

x>l

3.（2022?浙江?高三開學(xué)考試）若實(shí)數(shù)x,V滿足約束條件,x+y42，若2x+yV加恒成立，

x-2y<4

則實(shí)數(shù)〃，的取值范圍為（）

141411

A.m>—B.m<—C.m>—D.m<—

3322

【答案】A

【分析】作出滿足約束條件的可行域，由2x+yV?恒成立轉(zhuǎn)化為〃吐（Zx+y）^，結(jié)合可行

域求出2x+y的最大值可得答案.

\x+y=2,__2_2>

由1x-2y=4得3（即53人...2x+y4m恒成立1rax,即

【題型八】最優(yōu)解無數(shù)個(gè)型

【典例分析】

x-2y<2,

（2021?河南洛陽?高二階段練習(xí)（文））設(shè)x,y滿足約束條件■2x-y22,,若z=x一@取得

x+y44,

最大值的最優(yōu)解不唯一，則。的值為（）

A.-1B.T或2C.2D.一上或1

2

【答案】B

【分析】先畫出可行區(qū)域，再根據(jù)z=x-沖取得最大值的最優(yōu)解不唯一即可求解.

【詳解】作出不等式組所表示的可行域，如圖所示，由z=x-“y,得）,=_1犬-三.

aa

/

由圖可知，當(dāng)avO時(shí)，直線y=與直線x+y=4重合，此時(shí)a=-l；

當(dāng)〃>0時(shí)，直線y與直線x—2y=2重合，此時(shí)a=2.故選：B.

aa

【提分秘籍】

基本規(guī)律

最優(yōu)解無數(shù)，則線性目標(biāo)函數(shù)，與約束條件區(qū)域的某一條邊所在直線平行。

【變式演練】

x+4y-13<0

1.(2020?甘肅?永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二期中(理))已知變量xy滿足約束條件,2y-x+l>0,

x+y-4>0

且有無窮多個(gè)點(diǎn)(xy)使目標(biāo)函數(shù)z=x+陽取得最小值，則加二()

A.-2B.-1C.1D.4

【答案】c

【分析】畫出可行域，根據(jù)題意求解

【詳解】做出可行域如圖所示，41,3),8(3,1),。(5,2)

①若〃=70,則z=x,最優(yōu)解只有一個(gè)，不合題意

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②若旭<0,則>=--x+一，此時(shí)斜率為正，z與縱截距負(fù)相關(guān)，數(shù)形結(jié)合知目標(biāo)函數(shù)過A

mm

時(shí)z取最小值，不滿足題意；

③若〃7>0,則>=-!》+三，此時(shí)斜率為負(fù)，Z與縱截距正相關(guān)，當(dāng)動(dòng)直線與A