計量地理學第五章

計量地理學第五章第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析§1 地理要素間的相關分析一、地理相關的意義所謂相關，是指兩個或兩個以上的變量間相互關系是否密切。相關分析僅限于測定兩個或兩個以上的變量間相關程度和性質(zhì)。而地理相關則是指應用相關分析法來研究各地理要素間的相互關系和聯(lián)系強度。在地理系統(tǒng)中，各要素間存在著各種不同的關系。一種是確定性的關系，即函數(shù)關系，這在地理系統(tǒng)中比較少見，因為很多地理要素的變化具有隨機性的緣故；另一種關系是相關關系，即要素間既存在較密切的關系，但又不能由一個要素的值精確地求出另一個要素的值。還有一種情況，是各要素之間完全沒有任何關系。如圖5－1所示：第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析從圖中可以看出，若設x、y為兩種地理要素。第一種情況，若y嚴格隨x變化而變化，如(a)所示，所有觀測點均落在直線或曲線上，則稱為完全相關或函數(shù)關系；第二種情況，若觀測點落在直線或曲線兩旁，如(b)所示，則稱為統(tǒng)計相關；第三種情況，若觀測點分布散亂，則兩種地理要素完全無關，相互獨立。第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析二、地理相關程度的度量方法計量地理學中用不同的指標來度量不同類型的地理相關的程度。（一）簡單直線相關程度的度量一般情況下，當兩個地理要素間為直線相關時，需要分析其相關程度和相關方向。所謂相關程度指兩者關系的密切程度，而相關方向可分為正相關與負相關。前者指兩個要素間呈同方向變化，而后者相反。這兩者可用一個共同的指標度量，就是相關系數(shù)。1.一般常用的相關系數(shù)(r)計算公式其中，第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析上式計算出的相關系數(shù)，具有下列三點性質(zhì)：（1）相關系數(shù)的分布范圍，介于－1與+1之間；（2）當相關系數(shù)為正值時，表示兩個要素之間為正相關，相關系數(shù)為負值時，表示兩個要素之間為負相關；（3）相關系數(shù)的絕對值越大，表示兩個要素間相關程度越密切。例1：北京市多年各月平均氣溫與5cm深的平均地溫，數(shù)據(jù)如表5－1所示。依據(jù)相關系數(shù)的計算公式可得：0.9995，由此可見，北京市的各月平均氣溫與5cm的平均地溫呈正相關，而且相關極為密切。第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析2.順序（等級）相關系數(shù)（rs）計算公式順序相關不但適用于數(shù)量資料的相關分析，而且適用于質(zhì)的資料。表示兩個要素順序間直線相關程度和方向的系數(shù)，稱為順序相關系數(shù)。當使用兩個要素間的數(shù)值計算相關系數(shù)不方便時，可用順序相關系數(shù)的計算公式來求得。例2：現(xiàn)仍以北京市各月平均氣溫與5cm平均地溫為例，列成表5－2說明其計算過程。首先將表中兩個要素的觀測值按大小順序排列起來，最大值排為1號，依次類推。將兩個要素的順序號相減，即為d，將其平方求和并帶入上面公式，即可得到兩者的順序相關系數(shù)rs。第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析（二）簡單非線性相關程度的度量表示簡單非線性相關程度的統(tǒng)計量，通常用相關指數(shù)Ryx來度量。相關指數(shù)的性質(zhì)如下：（1）相關指數(shù)的分布范圍介于0到1之間；（2）相關指數(shù)的數(shù)值越大，兩個要素間的曲線相關程度越密切。（3）相關指數(shù)必大于或至少等于用同一批資料所求得的相關系數(shù)的絕對值。第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析（三）多要素相關與相關矩陣對于多個地理要素，則可計算出各要素兩兩之間的相關系數(shù)，并構成相關矩陣。例3：現(xiàn)給出世界上自然植被的生產(chǎn)量與水熱資源的原始地理數(shù)據(jù)（表5－3），利用相關系數(shù)公式得到其相關矩陣，形式如下所示：第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析三、相關系數(shù)的顯著性檢驗為了判定我們所計算出來的相關系數(shù)是否有意義，通常還要進一步對相關系數(shù)作顯著性檢驗。為了使用上方面，前人已經(jīng)制出了相關系數(shù)檢驗表（附錄二）。其中n表示所使用資料的個數(shù)（自由度f為n-2），α為信度。對計算出的相關系數(shù)進行顯著性檢驗證明要素間相關程度是顯著的之后，就可以對其進行進一步的回歸分析了。第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析§2 地理要素間的回歸分析一、地理回歸分析的意義和作用地理系統(tǒng)各要素之間的相互關系，可通過大量的觀測、試驗或?qū)嶒炄〉靡欢ǖ牡乩頂?shù)據(jù)，然后用數(shù)理統(tǒng)計的方法，尋找出隱藏在隨機性后面的統(tǒng)計規(guī)律，而用回歸方程來表達。地理回歸分析主要是研究地理要素之間聯(lián)系的數(shù)學表達式，有自變量與因變量之分，從而可由自變量的取值來預測、延長或插補和控制因變量的取值，所以它有地理預測的性質(zhì)。地理回歸分析的主要內(nèi)容包括：1.由一組地理數(shù)據(jù)確定這些要素間的定量數(shù)學表達式，即回歸模型；2.利用回歸模型，根據(jù)自變量的值來預測或控制因變量的取值。第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析二、一元地理回歸模型的建立一元地理回歸是要解決兩個要素間的定量關系。由于兩個要素之間的數(shù)量關系類型的差別，一元地理回歸包括線性回歸模型和非線性回歸模型分述如下：（一）一元線性地理回歸模型的建立假設有兩個要素（變量）x和y。x為自變量，y為因變量。x可以是降水量、蒸發(fā)量、土壤中的有機質(zhì)含量等；y可以是河流徑流量、土壤含水量等。假定一元線性模型結構為：yi=A+Bxi+εi式中，A、B為待定參數(shù)，i=1,2,...,n，而（xi，yi）為n組觀測數(shù)據(jù)，εi為隨機變量。參數(shù)A、B一般總是未知的，需根據(jù)觀測值采用最小二乘法來估計。第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析設a和b分別為參數(shù)A和B的最小二乘估計值，于是便得到了一元線性回歸模型為上式代表x和y之間關系的最佳擬和直線，通常稱為回歸直線。它滿足y的實際觀測值與回歸值之間的誤差平方和最小。這就是最小二乘法。1.參數(shù)a和b的最小二乘估計根據(jù)最小二乘原理，可得a、b的計算公式如下：第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析2.一元線性地理回歸模型的具體建立方法與步驟建立一元線性地理回歸模型，就是用已有的地理數(shù)據(jù)來確定a和b的值?，F(xiàn)仍以北京市各月平均氣溫x與5cm平均地溫y為例，建立一元線性地理回歸模型的過程如下：（1）將表中的各項數(shù)據(jù)代入相應的計算公式，得到a、b的數(shù)值。（2）當參數(shù)a與b求出后，便可得出一元線性地理回歸模型如下：第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析3.一元線性地理回歸模型的效果檢驗當一元線性地理回歸模型求出來以后，它的效果如何，它所揭示的地理規(guī)律性強不強，用它來進行地理預測精度如何？所有這些問題都需要進一步作出分析。（1）回歸模型估計的誤差由線性回歸模型所得到的y的估計值往往與實測值y不完全一致，它們之間的誤差稱為估計誤差，以標準差的形式表示為在實際地理問題中，只要比較S與允許的偏差即可。第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析（2）回歸模型的顯著性檢驗觀測值yi與其平均值~y的差異可用離差平方和來表示，記為S總。它又可以進行如下的分解：上式右側的第一項是所有觀測點yi與回歸值的殘差平方和，表示除了x對y的線性影響以外的一切因素對y的變異影響，故稱為剩余平方和，記作Q；第二項反映了在y的總偏差中，由x與y的線性關系引起的y的變化分布，故稱為回歸平方和，記作U。故有：S總＝U+Q。第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析一個回歸效果的好壞取決于U在總離差平方和中的比例或者U與Q的比值。若取前者則有：從U與Q比值的大小來考慮，可利用如下的F檢驗方法。根據(jù)前人的研究，統(tǒng)計量F＝U/(Q/(n-2))符合第一自由度為1，第二自由度為n-2的F分布，根據(jù)前面學習的F－檢驗方法，即可對回歸模型的顯著性進行檢驗。第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析（二）一元非線性地理回歸模型的建立在許多實際地理問題中，有時兩個要素之間的關系并不是線性關系，而是某種非線性關系，這時我們選擇適當?shù)念愋颓€比配直線更符合地理實際情況。例如：我國武夷山南坡地形高度與年降水量之間的關系，玉米產(chǎn)量與耗水量之間的關系等等。對于這一類地理問題，首先需要選配曲線，確定曲線的類型，然后再化曲線回歸模型為直線回歸模型處理。第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析1.選配曲線的基本方法 根據(jù)理論分析、過去的經(jīng)驗或觀測數(shù)據(jù)的分布趨勢與特點，來確定兩個要素之間的曲線類型及其函數(shù)形式，從而求非線性地理回歸模型的過程及其方法，叫做曲線選配。一般是先通過變量變化，把非線性函數(shù)關系化為線性關系，再采用線性回歸的方法確定參數(shù)。當曲線的函數(shù)類型確定后，下一步就是求函數(shù)中的參數(shù)a和b。確定參數(shù)的辦法仍然是最小二乘法。第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析2.地理上常見的非線性回歸模型的建立方法在地理問題上，較常見的曲線類型有：冪函數(shù)型、指數(shù)函數(shù)型、對數(shù)函數(shù)型等。下面說明不同類型的非線性地理回歸模型的建立方法與步驟。（1）冪函數(shù)型 兩個地理要素之間的冪函數(shù)表達式為y=axb對上式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，得lny=lna+blnx令Y=lny，A=lna，X=lnx，則上式為Y=A+bX這樣就將曲線模型轉(zhuǎn)化成線性模型了。第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析例如：長白山北麓熔巖臺地地貌形態(tài)的變化，見表5－6，即呈冪函數(shù)曲線型。設x表示各地點距白頭山天池火口壁的距離（km），y為熔巖臺地各地點的海拔高度（m）。冪函數(shù)回歸模型和擬和圖如圖5－4所示。第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析（2）指數(shù)函數(shù)型兩個地理要素之間的指數(shù)函數(shù)表達式為y=aebx或y=ae-bx，y=abx然后對上式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，則得lny=lna+(lnb)x令Y=lny，A＝lna，B=lnb則上式為Y＝A＋Bx這樣指數(shù)函數(shù)模型就轉(zhuǎn)化成線性模型了。第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析例如：長白山北麓地形高度對年降水量的影響，即按指數(shù)規(guī)律遞增，見表5－7和圖5－5所示。由圖中模型可知，長白山北坡的年降水量是按指數(shù)規(guī)律增加的，其相關指數(shù)達0.9992。第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析（3）對數(shù)函數(shù)型兩個地理要素之間的對數(shù)函數(shù)關系表達式為y=a+blnx令X＝lnx，上式可直接轉(zhuǎn)化為直線方程如下：Y=a+bX例如：當土壤濕度為最大田間持水量的50％－60％，雨強為1.0－2.0mm/min時，淋溶和退化黑鈣土區(qū)的地形坡度對徑流系數(shù)的影響，即符合對數(shù)規(guī)律。見表5－8和圖5－6。徑流系數(shù)隨地形坡度的增加按對數(shù)律遞增，相關指數(shù)達0.9986。當?shù)匦纹露葹榱愣葧r，該區(qū)域徑流系數(shù)為0.45；當?shù)匦纹露绕骄吭黾?度時，該區(qū)徑流系數(shù)平均增加0.08。第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析圖表說明如下：第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析3.一元非線性回歸模型的效果檢驗在選配曲線的回歸過程中，首先遇到的問題就是曲線類型的選擇。因為曲線類型選擇恰當，不僅對揭示出要素間的內(nèi)在規(guī)律具有重要意義，而且對于減少剩余誤差、提高回歸模型的效果更具有實際意義。否則，其效果往往不能令人滿意，甚至會歪曲要素間的內(nèi)在規(guī)律性。那么，怎樣衡量曲線回歸模型的好壞呢？在衡量一元線性回歸模型的效果時，我們采用了相關系數(shù)的平方等于回歸平方和與總平方和之比，即或用剩余平方和來表示，則為在選配曲線的過程中，要求所配曲線與地理數(shù)據(jù)擬和較好，可利用上面右式定義的量來衡量所配曲線效果的好壞，記作R2，稱為相關指數(shù)。第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析相關指數(shù)越大，表明選配的回歸曲線效果越好，剩余標準差越小，其回歸模型的預測精度就越高?，F(xiàn)以表5－8中數(shù)據(jù)為例，計算出剩余平方和與總平方和如表5－9所示。其相關指數(shù)為R2=1-0.0001/0.0298=1-0.0034=0.997剩余標準差為由此可見，地形坡度對徑流系數(shù)影響的模型擬和效果很好，而且剩余標準差也很小，因此模型的預測精度也很高。第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析三、多元地理回歸模型的建立一個地理系統(tǒng)的基本特點之一，是它具有多要素性，而且各要素之間相互聯(lián)系、相互影響。當研究某一個要素y與其他要素x1,x2,x3,...,xn之間的定量關系時，就需要用多元回歸分析方法。這里同樣也有線性和非線性之分。下面分別介紹線性與非線性多元回歸模型的建立方法。（一）多要素線性地理回歸模型的建立1.多要素線性地理回歸模型的建立方法一般設其數(shù)學結構模型為yα=β0+β1xα1+β2xα2+β3xα3+...+βkxαk+εα采用最小二乘法，得到回歸模型為y^=b0+b1x1+b2x2+...+bkxk（bk為偏回歸系數(shù)）第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析偏回歸系數(shù)的意義表明：當其他要素都固定時，該自變量每變化一個單位而使y平均改變的數(shù)值。偏回歸系數(shù)的確定同樣是依據(jù)最小二乘法原理，即使達到最小，式中α為觀測數(shù)據(jù)的序號，將上式對b0,b1,...,bk求偏倒數(shù)，并令其都等于零，即第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析經(jīng)展開整理后得第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析以上方程組稱為正規(guī)方程組，由其系數(shù)構成得矩陣記作A＝X′X，即上述方程組可寫成Ab=B的形式，其中B=X′Y。解這個方程組即可得到各個變量的偏回歸系數(shù)。將求出的偏回歸系數(shù)和常數(shù)項代入多元線性數(shù)學模型中，即可得到k元線性地理回歸模型。第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析例如：某一國家某一經(jīng)濟區(qū)內(nèi)木材生產(chǎn)指數(shù)y（以1955年為100）受該區(qū)森林蓄積量指數(shù)x1，木材價格指數(shù)x2和運輸距離指數(shù)x3的影響，如表5－10所示?？衫肈oolittle法或利用Excel等軟件工具計算出其多元線性回歸模型的偏回歸系數(shù)及常數(shù)項。第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析2.多元線性回歸模型的顯著性檢驗在多元線性回歸問題中，同一元線性回歸一樣也需要對回歸模型進行顯著性檢驗。如果經(jīng)過檢驗是顯著的，則說明建立的回歸模型是有用的，否則就沒有什么實際意義。在多元線性回歸分析中，同樣也存在回歸平方和U與剩余平方和Q，兩者的自由度分別k和n-k-1，于是剩余標準差為S＝sqrt(Q/(n-k-1))。同樣可對整個回歸模型進行顯著性檢驗，通常采用F－檢驗法。F值為回歸方差和剩余方差之比，即根據(jù)檢驗的結果，在F值的右上角可標注星號。例如：前面例子中的檢驗結果就表明多元線性關系具有高度顯著性。第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析（二）多要素非線性地理回歸模型的建立在地理系統(tǒng)中，除部分問題是屬線性關系外，還有大部分問題屬于非線性關系。下面扼要地介紹兩種多元非線性地理回歸模型的建立方法。1.多項式回歸模型的建立方法在地理系統(tǒng)中，有些曲線不能化為直線處理，如二次多項式就不能化為線性模型。一般的處理方法是將它化為二元線性回歸模型，然后按照多元線性回歸分析方法處理。這種方法可以處理大部分一元非線性回歸模型，因為任何函數(shù)形式都可以在較小區(qū)間內(nèi)用多項式逐步逼近。當多項式回歸的自變量取兩次冪時，便是二次多項式，即拋物線。其數(shù)學模型為y=b0+b1x+b2x2，令x1=x,x2=x2，則模型變?yōu)閥=b0+b1x1+b2x2?？捎枚€性回歸的方法確定模型參數(shù)。第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析例如，依據(jù)黑龍江省的實測資料（表5－14），土溫與地積溫系數(shù)k之間的關系，便可用多項式回歸化成線性回歸來處理。將表5－14中的數(shù)據(jù)點繪成散點圖5－7可知，這個問題可用拋物線來近似。用Excel等軟件及手動計算均可得到具體的二次多項式模型。第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析若多項式回歸的自變量為三次冪時，則為三次多項式，其數(shù)學表達式為y=b0+b1x+b2x2+b3x3例如，日本1931－1957年糧食生產(chǎn)指數(shù)，即可用三次多項式回歸來擬合。日本糧食生產(chǎn)指數(shù)模型和擬合情況，見圖5－9所示。第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析2.冪函數(shù)乘積模型的建立方法這是一種用途廣泛，計算方便，物理意義清楚，要素間關系明確的數(shù)學模型。這種方法的基本思路是把某一要素y與其他要素xi之間的函數(shù)關系寫成冪函數(shù)的連乘積形式，即y=k*x1a*x2b*x3c*x4d...式中，k、a、b、c、d為待定地理參數(shù)。建立冪函數(shù)乘積模型的模型，也就是確定參數(shù)的過程。教材講了一種辦法，也可直接將冪函數(shù)乘積模型變換為多元線性回歸模型顯然更為簡便。可對模型兩側同時取自然對數(shù)，對變換后的多元線性回歸模型利用前面講過的方法，確定各個參數(shù)，然后再根據(jù)變換關系將其重新轉(zhuǎn)換為冪函數(shù)乘積模型。第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析例如：前蘇聯(lián)1965－1974年鋼產(chǎn)量（y）與焦炭產(chǎn)量（r1）、生鐵產(chǎn)量（r2）和發(fā)電量（r3）之間的關系，便可用冪函數(shù)乘積模型來表達。原始數(shù)據(jù)如表5－16所示。按照書上的計算辦法，可得到前蘇聯(lián)鋼產(chǎn)量與焦炭產(chǎn)量、生鐵產(chǎn)量和發(fā)電量之間關系可用下式來表達：y^=1.637x10.0037x20.9779x30.0018其擬合效果良好，影響鋼產(chǎn)量最大因素是生鐵產(chǎn)量，其次為焦炭產(chǎn)量。第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析§3 地理系統(tǒng)的空間趨勢面分析一、空間趨勢面分析概述地理系統(tǒng)的最重要特征之一是它具有區(qū)域性。用數(shù)學的方法，以數(shù)學模型來模擬地理數(shù)據(jù)的空間分布及其區(qū)域性變化趨勢的方法，稱為趨勢面分析。趨勢面是一種光滑的數(shù)學曲面，它能集中代表地理數(shù)據(jù)在大范圍內(nèi)的空間變化趨勢。趨勢面只是實際曲面的一種近似。它反映了區(qū)域性的變化規(guī)律，受大范圍的系統(tǒng)性因素所控制；剩余曲面則反映了局部性變化特點，受局部因素和隨機因素所制約。前者對應于一個確定性函數(shù)，而后者則對應于一個隨機性函數(shù)。一般常采用多項式函數(shù)來計算趨勢面。第三十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第五章地理系統(tǒng)要素間的相關分析與回歸分析二、趨勢面分析的數(shù)學模型（一）趨勢面分析的數(shù)學原理設以zi(xi,yi)表示某一地理特征值在空間上的分布（圖5－11）。其中（xi,yi）為平面上點的坐標。由上述已知，任一觀測點可分解為兩個部分，即Zi(xi,yi)=Ti(xi,