2024屆遼寧省撫順中學高三數(shù)學第一學期期末達標測試試題含解析

2024屆遼寧省撫順中學高三數(shù)學第一學期期末達標測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，若點在角的終邊上，則（）A． B． C． D．2．在中，角的對邊分別為，若．則角的大小為()A． B． C． D．3．若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關于點對稱 D．函數(shù)在上最大值是14．設，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．5．如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，且，則（）A． B．C． D．6．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中真命題的個數(shù)為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A． B．1 C．2 D．38．已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點且MN為過焦點的弦，若，，則的面積為（）A． B． C． D．9．已知復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為，則下列結論正確的是（）A． B．復數(shù)的共軛復數(shù)是C． D．10．設復數(shù)滿足，則在復平面內的對應點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知為拋物線的準線，拋物線上的點到的距離為，點的坐標為，則的最小值是（）A． B．4 C．2 D．12．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)k的值為（）A．1 B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一組數(shù)據(jù)，1，0，，的方差為10，則________14．已知，滿足不等式組，則的取值范圍為________．15．若四棱錐的側面內有一動點Q，已知Q到底面的距離與Q到點P的距離之比為正常數(shù)k，且動點Q的軌跡是拋物線，則當二面角平面角的大小為時，k的值為______.16．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎全部領域都支持手機支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學和法國調查公司益普索合作，調查了騰訊服務的6000名用戶，從中隨機抽取了60名，統(tǒng)計他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元）如莖葉圖如示，規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下（不含100元）的為“手機支付族”，其他為“非手機支付族”.（1）根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，將列聯(lián)表補充完整，并判斷有多大的把握認為“手機支付族”與“性別”有關？（2）用樣本估計總體，若從騰訊服務的用戶中隨機抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機支付族”的人數(shù)為，求隨機變量的期望和方差；（3）某商場為了推廣手機支付，特推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：手機支付消費每滿1000元可直減100元；方案二：手機支付消費每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機支付購買某樣價值1200元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學期望的角度分析，選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（12分）如圖所示，已知平面，，為等邊三角形，為邊上的中點，且.(Ⅰ)求證：面；(Ⅱ)求證：平面平面；(Ⅲ)求該幾何體的體積．19．（12分）對于正整數(shù)，如果個整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數(shù)，設是的一個“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與，當且僅當且時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)20．（12分）已知數(shù)列和，前項和為，且，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．21．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為3，其中．（1）求的值；（2）若，，，求證：22．（10分）設，，，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題知，又，代入計算可得.【題目詳解】由題知，又.故選：D【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導公式，二倍角公式的應用求值.2、A【解題分析】

由正弦定理化簡已知等式可得，結合，可得，結合范圍，可得，可得，即可得解的值．【題目詳解】解：∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴，∵，，∴，∴．故選A．【題目點撥】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．3、A【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式；利用整體對應的方式可判斷出在上單調遞增，正確；關于點對稱，錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯誤.【題目詳解】將橫坐標縮短到原來的得：當時，在上單調遞增在上單調遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯誤；當時，，關于點對稱，錯誤；當時，此時沒有最大值，錯誤.本題正確選項：【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)的性質，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內的值域的求解；關鍵是能夠靈活應用整體對應的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質.4、C【解題分析】

根據(jù)表示出線段長度，由勾股定理，解出每條線段的長度，再由勾股定理構造出關系，求出離心率.【題目詳解】設，則由橢圓的定義，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，故選C項.【題目點撥】本題考查幾何法求橢圓離心率，是求橢圓離心率的一個常用方法，通過幾何關系，構造出關系，得到離心率.屬于中檔題.5、C【解題分析】

畫出圖形，以為基底將向量進行分解后可得結果．【題目詳解】畫出圖形，如下圖．選取為基底，則，∴．故選C．【題目點撥】應用平面向量基本定理應注意的問題（1）只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無窮多組，在解決具體問題時，合理選擇基底會給解題帶來方便．（2）利用已知向量表示未知向量，實質就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數(shù)乘運算．6、C【解題分析】

利用線線、線面、面面相應的判定與性質來解決.【題目詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知①正確；當直線平行于平面與平面的交線時也有，，故②錯誤；若，則垂直平面內以及與平面平行的所有直線，故③正確；若，則存在直線且，因為，所以，從而，故④正確.故選：C.【題目點撥】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關系，里面涉及到了相應的判定定理以及性質定理，是一道基礎題.7、B【解題分析】

根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出的值.【題目詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，故，也即，化簡得，所以.故選：B【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，屬于基礎題.8、A【解題分析】

根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【題目詳解】由題意可知拋物線方程為,設點點,則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過焦點的弦,所以,則,所以.故選：A【題目點撥】本題考查拋物線的方程應用,同時也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.9、D【解題分析】

首先求得，然后根據(jù)復數(shù)乘法運算、共軛復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)除法運算對選項逐一分析，由此確定正確選項.【題目詳解】由題意知復數(shù)，則，所以A選項不正確；復數(shù)的共軛復數(shù)是，所以B選項不正確；，所以C選項不正確；，所以D選項正確.故選：D【題目點撥】本小題考查復數(shù)的幾何意義，共軛復數(shù)，復數(shù)的模，復數(shù)的乘法和除法運算等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結合思想.10、C【解題分析】

化簡得到，得到答案.【題目詳解】，故，對應點在第三象限.故選：.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的化簡和對應象限，意在考查學生的計算能力.11、B【解題分析】

設拋物線焦點為，由題意利用拋物線的定義可得，當共線時，取得最小值，由此求得答案.【題目詳解】解：拋物線焦點，準線，過作交于點，連接由拋物線定義，

，

當且僅當三點共線時，取“＝”號，∴的最小值為.

故選：B.【題目點撥】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題.12、B【解題分析】

畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉化求解即可.【題目詳解】可行域如圖中陰影部分所示，，，要使得z能取到最大值，則，當時，x在點B處取得最大值，即，得；當時，z在點C處取得最大值，即，得（舍去）.故選:B.【題目點撥】本題考查由目標函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結合思想,分類討論是解題的關鍵,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7或【解題分析】

依據(jù)方差公式列出方程，解出即可．【題目詳解】，1，0，，的平均數(shù)為，所以解得或．【題目點撥】本題主要考查方差公式的應用．14、【解題分析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，易知在點處取得最小值，即，所以由圖可知的取值范圍為．15、【解題分析】

二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線得距離為d，則.再由點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k，可得，由此可得，則由可求k值.【題目詳解】解：如圖，設二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線的距離為d，則，即.∵點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數(shù)k，∴，則，∵動點Q的軌跡是拋物線，∴，即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得：（）.故答案為：.【題目點撥】本題考查了四棱錐的結構特征，由四棱錐的側面與底面的夾角求參數(shù)值，屬于中檔題.16、0.22.【解題分析】

正態(tài)曲線關于x＝μ對稱，根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可?！绢}目詳解】【題目點撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）列聯(lián)表見解析，99%；（2），；（3）第二種優(yōu)惠方案更劃算.【解題分析】

（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，再根據(jù)獨立性檢驗得出結論；（2）有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機支付族”的概率為，知服從二項分布，即，可求得其期望和方差；（3）若選方案一，則需付款元，若選方案二，設實際付款元，，則的取值為1200，1080，1020，求出實際付款的期望，再比較兩個方案中的付款的金額的大小，可得出選擇的方案.【題目詳解】（1）由已知得出聯(lián)列表：，所以，有99%的把握認為“手機支付族”與“性別”有關；（2）有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機支付族”的概率為，，；（3）若選方案一，則需付款元若選方案二，設實際付款元，，則的取值為1200，1080，1020，，，，選擇第二種優(yōu)惠方案更劃算【題目點撥】本題考查獨立性檢驗，二項分布的期望和方差，以及由期望值確定決策方案，屬于中檔題.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【解題分析】

（I）取的中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得平面.（II）利用，證得平面，從而得到平面，由此證得平面平面.（III）作交于點，易得面，利用棱錐的體積公式，計算出棱錐的體積.【題目詳解】(Ⅰ)取的中點，連接，則，，故四邊形為平行四邊形.故.又面，平面，所以面.(Ⅱ)為等邊三角形，為中點，所以.又，所以面.又，故面，所以面平面.(Ⅲ)幾何體是四棱錐，作交于點，即面，.【題目點撥】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，考查空間想象能力，所以中檔題.19、(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)為偶數(shù)時，，為奇數(shù)時，；(Ⅲ)證明見解析，，【解題分析】

(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.(Ⅱ)討論當為偶數(shù)時，最大為，當為奇數(shù)時，最大為，得到答案.(Ⅲ)討論當為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故，當為偶數(shù)時，根據(jù)對應關系得到，再計算，，得到答案.【題目詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.(Ⅱ)當為偶數(shù)時，時，最大為；當為奇數(shù)時，時，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時，最大為.(Ⅲ)當為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故；當為偶數(shù)時，設是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對應了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：.當時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；當時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，故；當時，對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項各項均為的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：使成立的為：或.【題目點撥】本土考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、（1），；（2）.【解題分析】

（1）令求出的值，然后由，得出，然后檢驗是否符合在時的表達式，即可得出數(shù)列的通項公式，并設數(shù)列的公比為，根據(jù)題意列出和的方程組，解出這兩個量，然后利用等比數(shù)列的通項公式可求出；（2）求出數(shù)列的前項和，然后利用分組求和法可求出.【題目詳解】（1）當時，，當時，.也適合上式，所以，.設數(shù)列的公比為，則，由，兩式相除得，，解得，，；（2）設數(shù)列的前項和為，則，.【題目點撥】本題考查利用求，同時也考查了等比數(shù)列通項的計算，以及分組求和法的應用，考查計算能力，屬于中等題.21、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）分三種情況去絕對值，求出最大值與已知最大值相等列式可解得；