均值不等式證明

均值不等式證明已知x,y為正實數(shù)，且x+y=1求證

xy+1/xy≥17/4

1=x+y≥2√(xy)

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥2

當且僅當xy=1/xy時取等

也就是xy=1時

畫出xy+1/xy圖像得

01時，單調增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

得證

連續(xù)追問：

拜托，用單調性誰不會，讓你用均值定理來證

補充回答：

我真不明白我上面的方法為（什么）不是用均值不等式證的

法二：

證xy+1/xy≥17/4

即證4(xy)-17xy+4≥0

即證(4xy-1)(xy-4)≥0

即證xy≥4，xy≤1/4

而x,y∈R+，x+y=1

明顯xy≥4不行能成立

∵1=x+y≥2√(xy)

∴xy≤1/4，得證

法三：

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=(4xy-4-17xy)/4xy

=(1-4xy)(4-xy)/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

試問（怎樣）叫“利用均值不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!

二、

已知abc，求證：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)0

a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)0

即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

那么

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】0

三、

1、調和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)3、算術平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數(shù)：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數(shù)滿意Hn≤Gn≤An≤Qn的`式子即為均值不等式。

概念：

1、調和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算術平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均數(shù)：Qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

這四種平均數(shù)滿意Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、…、an∈R+，當且僅當a1=a2=…=an時勸=”號

均值不等式的一般形式：設函數(shù)D(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(當r不等于0時);

(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))

則有：當r留意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特別情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

由以上簡化，有一個簡潔結論，中學常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]

方法許多，數(shù)學歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用數(shù)學歸納法證明，需要一個幫助結論。

引理：設A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0,有愛好的（同學）可以想想如何證明(用數(shù)學歸納法)。

原題等價于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。

當n=2時易證;

假設當n=k時命題成立，即

((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么當n=k+1時，不妨設a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，則

ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。

設s=a1+a2+…+ak，

{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)

={s/k+[ka(k+1)-s]/[k(k+1)]}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[ka(k+1)-s]/k(k+1)用引理

=(s/k)^k*a(k+1)

≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設

下面介紹個好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函數(shù)f(x)，x1,x2,...xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內的任意n個點，

則有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]

設f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數(shù)

所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1