計算機圖形學(xué)

計算機圖形學(xué)2023/6/241第一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五第十章曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項式曲面Bezier曲面2023/6/242第二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五第十章曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項式曲面Bezier曲面2023/6/243第三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（1/20）曲線的表示形式非參數(shù)表示顯式表示隱式表示2023/6/244第四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（2/20）參數(shù)表示參數(shù)的含義時間，距離，角度，比例等等規(guī)范參數(shù)區(qū)間[0，1]矢量表示形式例子：直線段的參數(shù)表示2023/6/245第五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（3/20）顯式或隱式表示存在下述問題：1）與坐標(biāo)軸相關(guān)；2）會出現(xiàn)斜率為無窮大的情形（如垂線）；4）不便于計算機編程。3）對于非平面曲線、曲面，難以用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示；2023/6/246第六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（4/20）參數(shù)表示的優(yōu)點：1）以滿足幾何不變性的要求。2）有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀3）對曲線、曲面進行變換，可對其參數(shù)方程直接進行幾何變換。4）便于處理斜率為無窮大的情形，不會因此而中斷計算。（5）變量分離的特點使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量，便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間去。（6）規(guī)格化的參數(shù)變量t∈[0,1]，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。（7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算。2023/6/247第七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（5/20）參數(shù)表示與隱式表示的相互轉(zhuǎn)換例子2023/6/248第八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（6/20）正則點導(dǎo)數(shù)不為零的點正則曲線所有的點都是正則點的曲線斜率直線的傾斜程度一個坐標(biāo)變量關(guān)于另一個坐標(biāo)變量變化率2023/6/249第九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（7/20）切矢量坐標(biāo)變量關(guān)于參數(shù)的變化率弧長2023/6/2410第十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（8/20）弧長參數(shù)單位切矢量2023/6/2411第十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（9/20）主法矢量主法矢量與切矢量垂直主法線副法矢量副法線Frenet標(biāo)架2023/6/2412第十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（10/20）曲率曲線的彎曲程度曲率半徑關(guān)于任意參數(shù)切矢量、法矢量和曲率的計算2023/6/2413第十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（11/20）2023/6/2414第十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（12/20）參數(shù)連續(xù)性傳統(tǒng)的、嚴(yán)格的連續(xù)性稱曲線P=P(t)在處n階參數(shù)連續(xù)，如果它在處n階左右導(dǎo)數(shù)存在，并且滿足記號2023/6/2415第十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（13/20）幾何連續(xù)性直觀的、易于交互控制的連續(xù)性0階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處0階幾何連續(xù)，如果它在處位置連續(xù)，即記為1階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處0階幾何連續(xù)，如果它在處,并且切矢量方向連續(xù)記為2023/6/2416第十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（14/20）2階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處0階幾何連續(xù)，如果它在處（1）（2）副法矢量方向連續(xù)（3）曲率連續(xù)例子幾何連續(xù)與參數(shù)連續(xù)的關(guān)系2023/6/2417第十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（15/20）插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點Pi，i=0,1,…,n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。線性插值：假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個不同點x1和x2的值，用一個線形函數(shù)：y=ax+b，近似代替，稱為的線性插值函數(shù)。拋物線插值:已知在三個互異點x1,x2,x3的函數(shù)值為y1,y2,y3，要求構(gòu)造一個函數(shù)2023/6/2418第十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（16/20）使拋物線在結(jié)點xi處與f(x)在xi處的值相等.2023/6/2419第十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（17/20）逼近和光順逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合。光順(Firing)指曲線的拐點不能太多。對平面曲線而言，相對光順的條件是：a.具有二階幾何連續(xù)性(G2)；b.不存在多余拐點和奇異點；c.曲率變化較小。2023/6/2420第二十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（17/20）參數(shù)化參數(shù)t,在[0,1]區(qū)間的分割可以有無數(shù)種。因為P0、P1和P2可對應(yīng)：

其中每個參數(shù)值稱為節(jié)點(knot)。對于一組有序的型值點Pi，確定一種參數(shù)分割ti，稱之對這組型值點參數(shù)化。2023/6/2421第二十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)化常用方法有：均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化)

節(jié)點在參數(shù)軸上呈等距分布，+正常數(shù)。累加弦長參數(shù)化這種參數(shù)法如實反映了型值點按弦長的分布情況，能夠克服型值點按弦長分布不均勻的情況下采用均勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問題。參數(shù)曲線基礎(chǔ)（18/20）2023/6/2422第二十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五向心參數(shù)化法向心參數(shù)化法假設(shè)在一段曲線弧上的向心力與曲線切矢從該弧段始端至末端的轉(zhuǎn)角成正比，加上一些簡化假設(shè)，得到向心參數(shù)化法。此法尤其適用于非均勻型值點分布。參數(shù)曲線基礎(chǔ)（19/20）2023/6/2423第二十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五修正弦長參數(shù)化法弦長修正系數(shù)Ki>=1。參數(shù)曲線基礎(chǔ)（20/20）2023/6/2424第二十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五第十章曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項式曲面Bezier曲面2023/6/2425第二十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項式曲線（1/5）為什么采用參數(shù)多項式曲線表示最簡單理論和應(yīng)用最成熟定義--n次多項式曲線2023/6/2426第二十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項式曲線（2/5）矢量表示形式加權(quán)和形式缺點沒有明顯的幾何意義與曲線的關(guān)系不明確，導(dǎo)致曲線的形狀控制困難2023/6/2427第二十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項式曲線（3/5）矩陣表示矩陣分解幾何矩陣控制頂點基矩陣M

確定了一組基函數(shù)2023/6/2428第二十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項式曲線（4/5）例子—直線段的矩陣表示P0P1P0+P12023/6/2429第二十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項式曲線（5/5）參數(shù)多項式曲線的生成Horner算法參數(shù)離散計算型值點連接型值點折線2023/6/2430第三十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五第十章曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項式曲面Bezier曲面2023/6/2431第三十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(1/7)定義給定4個矢量，稱滿足條件的三次多項式曲線P(t)為Hermite曲線P0P1R0R12023/6/2432第三十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(2/7)矩陣表示條件2023/6/2433第三十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(3/7)合并解（不唯一）2023/6/2434第三十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(4/7)基矩陣與基函數(shù)（調(diào)和函數(shù)）2023/6/2435第三十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(5/7)形狀控制改變端點位置矢量調(diào)節(jié)切矢量的方向2023/6/2436第三十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(6/7)調(diào)節(jié)切矢量的長度控制頂點幾何變換對曲線變換等價于對控制頂點變換例子：Photoshop2023/6/2437第三十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(7/7)三次參數(shù)樣條曲線樣條?曲線的定義給定參數(shù)節(jié)點，型值點，求一條的分段三次參數(shù)曲線，使。P(t)稱為三次參數(shù)樣條曲線表達式求法？例子：Photoshop2023/6/2438第三十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五第十張曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項式曲面Bezier曲面2023/6/2439第三十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（1/24）Bezier基函數(shù)的定義如下n次多項式稱為n次Bezier基函數(shù)2023/6/2440第四十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（2/24）Bezier基函數(shù)的性質(zhì)正性權(quán)性2023/6/2441第四十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（3/24）對稱性降階公式2023/6/2442第四十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（4/24）升階公式導(dǎo)數(shù)2023/6/2443第四十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（5/24）積分最大值在t=i/n處取得最大值線性無關(guān)性是n次多項式空間的一組基2023/6/2444第四十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（6/24）Bezier曲線的定義n次多項式曲線P（t）稱為n次Bezier曲線控制頂點控制多邊形2023/6/2445第四十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（7/24）Bezier曲線的性質(zhì)端點位置2023/6/2446第四十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（8/24）端點切矢量導(dǎo)數(shù)曲線2023/6/2447第四十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（9/24）端點曲率曲率公式2023/6/2448第四十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（10/24）仿射不變性表達式幾何屬性：形狀，曲率等等2023/6/2449第四十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（11/24）凸包性凸集凹集點集的凸包包含這些點的最小凸集Bezier曲線位于其控制頂點的凸包之內(nèi)2023/6/2450第五十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（12/24）直線再生性平面曲線的保凸性平面曲線的變差縮減性2023/6/2451第五十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（13/24）擬局部性形狀的易控性2023/6/2452第五十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（14/24）三次Bezier曲線的矩陣表示2023/6/2453第五十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（15/24）DeCasteljau算法問題給定參數(shù)，計算tP(t)2023/6/2454第五十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（16/24）算法計算過程2023/6/2455第五十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（17/24）幾何解釋2023/6/2456第五十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（18/24）分割定理問題：一條多項式曲線被分割成兩段，得到的兩段曲線是不是多項式曲線？如果是，它們的表達式如何？P=Q+R2023/6/2457第五十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（19/24）幾何解釋2023/6/2458第五十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（20/24）離散生成算法想法2023/6/2459第五十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（21/24）程序voidDisplayBezierCurve(VectorP[],intn,floatDELTA){ if(Distance(P,n)<=DELTA)

顯示控制多邊形P；

else { BezierCurveSplitting(P,Q,R,n); DisplayBezierCurve(Q,n,DELTA）；

DisplayBezierCurve(R,n,DELTA）；

}}2023/6/2460第六十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（22/24）計算距離2023/6/2461第六十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（23/24）曲線的拼接2023/6/2462第六十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（24/24）

條件條件條件？Bezier曲線拼接的例子：PhotoShop2023/6/2463第六十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五第十張曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項式曲面Bezier曲面2023/6/2464第六十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項式曲面(1/7)曲面的表示形式非參數(shù)表示顯式表示隱式表示2023/6/2465第六十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項式曲面(2/7)參數(shù)表示2023/6/2466第六十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項式曲面(3/7)等參數(shù)曲線一個參數(shù)固定，一個參數(shù)自由變化U曲線V曲線切矢量切平面法矢量2023/6/2467第六十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項式曲面(4/7)參數(shù)多項式曲面的定義系數(shù)矩陣2023/6/2468第六十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項式曲面(5/7)矩陣表示2023/6/2469第六十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項式曲面(6/7)2023/6/2470第七十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項式曲面(7/7)參數(shù)多項式曲面的生成2023/6/2471第七十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五第十張曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項式曲面Bezier曲面2023/6/2472第七十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期五Bezier曲面Bezier曲面的定義控制定點控制網(wǎng)格2023/6/2473第七十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，