北京長陵中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

北京長陵中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.的值為A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.有一個(gè)數(shù)據(jù)為50的樣本數(shù)據(jù)分組，以及各組的頻數(shù)如下，根據(jù)累積頻率分布，估計(jì)小于30的數(shù)據(jù)大約占多少（

）[12、5，15、5），3；[15、5，18、5），8；[18、5，21、5），9；[21、5，24、5），11；[24、5，27、5），10；[30、5，33、5），4A、10%

B、92%

C、5%

D、30%參考答案：B3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：A4.已知λ∈R，函數(shù)g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若關(guān)于x的方程f（g（x））=λ有6個(gè)解，則λ的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】令g（x）=t，畫出y=f（t）與y=λ的圖象，則方程f（t）=λ的解有3個(gè)，由圖象可得，0＜λ＜1．且三個(gè)解分別為t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ再由g（x）=t，應(yīng)用判別式大于0，分別求解，最后求交集即可．【解答】解：令g（x）=t，則方程f（t）=λ的解有3個(gè)，由圖象可得，0＜λ＜1．且三個(gè)解分別為t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，則x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，均有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，當(dāng)0＜λ＜時(shí)，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，故λ的取值范圍為（0，）．故選D．5.已知函數(shù)f（x）的圖象如圖，則它的一個(gè)可能的解析式為（）A．y=2 B．y=4﹣ C．y=log3（x+1） D．y=（x≥0）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由圖象過定點(diǎn)可排除C、D，由y＜4可排除A，可得答案．【解答】解：由于過（1，2）點(diǎn)，可排除C、D；由圖象與直線y=4無限接近，但到達(dá)不了，即y＜4，而y=2，可無限大，知排除A，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的解析式，逐個(gè)驗(yàn)證，排除法是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．6.設(shè)向量，是非零向量，若函數(shù)·的圖象不是直線，且在處取得最值，則必有

A．⊥ B．∥ C．，不垂直且

D．，不垂直且參考答案：C略7.“”是“與的夾角為銳角”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B當(dāng)時(shí)，的夾角為直角，故“”不能推出“與的夾角為銳角”.當(dāng)“與的夾角為銳角”時(shí)，，即能推出“”.綜上所述，“”是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件.

8.在銳角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D，|AD|=1，則△ABC面積的取值范圍是（）A．[，] B．[，] C．[，） D．[，）參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】根據(jù)余弦定理和角平分線定理，求出△ABC是正三角形時(shí)面積取得最小值，當(dāng)AB⊥BC時(shí)，△ABC面積取得最大值，由此求出結(jié)果．【解答】解：如圖所示，銳角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D，|AD|=1，根據(jù)余弦定理，BD2=c2+1﹣2c?cos=c2﹣c+1，CD2=b2+1﹣2b?cos=b2﹣b+1；根據(jù)角平分線定理，=，即=；∴b2c2﹣b2c+b2=b2c2﹣bc2+c2，即bc（c﹣b）=（c﹣b）（c+b）；當(dāng)b=c時(shí)，△ABC是正三角形，由|AD|=1，得AB=AC=，則S△ABC=bcsin=；當(dāng)b≠c時(shí)，bc=b+c≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)“=”成立，所以bc≥，即b=c=時(shí)S△ABC取得最小值為；又當(dāng)AB⊥BC時(shí)，BD=，AB=，DC=AD=1，S△ABC=××（1+）=為最大值，△ABC面積的取值范圍是[，]．故選：D．9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出的值為（

）A.3

B.4

C.5

D.6參考答案：C模擬執(zhí)行程序，可得A=2，S=0，n=1不滿足條件S>2，執(zhí)行循環(huán)體，S=1，n=2不滿足條件S>2,執(zhí)行循環(huán)體,S=32，n=3不滿足條件S>2,執(zhí)行循環(huán)體,S=116，n=4不滿足條件S>2,執(zhí)行循環(huán)體,S=2512，n=5滿足條件S>2，退出循環(huán)，輸出n的值為5.故選：C10.在區(qū)間上任選兩個(gè)數(shù)和，則的概率為

A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)A，B滿足=2，則弦AB中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)BF=m，由拋物線的定義知AA1和BB1，進(jìn)而可推斷出AC和AB，及直線AB的斜率，則直線AB的方程可得，與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而跟韋達(dá)定理求得x1+x2的值，則根據(jù)拋物線的定義求得弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．【解答】解：設(shè)BF=m，由拋物線的定義知AA1=2m，BB1=m∴△ABC中，AC=m，AB=3m，∴kAB=2直線AB方程為y=2（x﹣1）與拋物線方程聯(lián)立消y得2x2﹣5x+2=0所以AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為+1=．故答案為：．12.（09南通期末調(diào)研）在△ABC中，，D是BC邊上任意一點(diǎn)（D與B、C不重合），且，則等于

▲

．參考答案：答案：13.直三棱柱ABC－A1B1Cl的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120o，

則此球的表面積等于

．參考答案：14.如圖,為外一點(diǎn),過點(diǎn)作的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,過的中點(diǎn)作割線交于,兩點(diǎn),若,,則______．

參考答案：4略15.設(shè)函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.參考答案：16.一個(gè)布袋中共有10個(gè)除了顏色之外完全相同的球，其中4個(gè)白球，6個(gè)黑球，則一次任意摸出兩球中至少一個(gè)白球的概率是_______________。參考答案：略17.如圖，在長方體中，，，則三棱錐的體積為

▲

．參考答案：3

考點(diǎn)：三棱錐體積【方法點(diǎn)睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法——分割法、補(bǔ)形法、等體積法.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱錐P-ABC中，，，D為線段AB上一點(diǎn)，且，PD⊥平面ABC，PA與平面ABC所成的角為45°．（1）求證：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P-AC-D的平面角的余弦值．參考答案：（1）見解析；（2）．（1）因?yàn)椋?，所以，所以是直角三角形，；在中，由，，不妨設(shè)，由得，，，，在中，由余弦定理得，故，所以，所以；因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．?）因?yàn)槠矫妫耘c平面所成的角為，即，可得為等腰直角三角形，，由（1）得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．則為平面的一個(gè)法向量．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，，則由，得，令，則，，則為平面的一個(gè)法向量，故，故二面角的平面角的余弦值為．19.(14分)設(shè)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，()為橢圓上一點(diǎn)，橢圓的長半軸的長等于焦距．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N，求證：為鈍角．參考答案：

解析：(Ⅰ)依題意得

．

………（2分）

把（1，3）代入．解得．橢圓的方程為．

………（4分）(Ⅱ)由(Ⅰ)得，設(shè)，如圖所示

點(diǎn)在橢圓上，．

①點(diǎn)異于頂點(diǎn)、，．由、、三點(diǎn)共線，可得從而

…………（7分）

②

…………（8分）將①式代入②式化簡得

…………（10分）

…………（12分）于是為銳角，為鈍角．

……………(14分)20.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有2Sn=bn（bn+1）．（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）如果等比數(shù)列{an}共有2015項(xiàng)，其首項(xiàng)與公比均為2，在數(shù)列{an}的每相鄰兩項(xiàng)ak與ak+1之間插入k個(gè)（﹣1）kbk（k∈N*）后，得到一個(gè)新的數(shù)列{cn}．求數(shù)列{cn}中所有項(xiàng)的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，求實(shí)數(shù)λ的范圍．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到；（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式和數(shù)列求和方法：分組求和，即可得到所求；（3）運(yùn)用參數(shù)分離可得，運(yùn)用基本不等式和單調(diào)性，分別求出不等式左右兩邊的最值，即可得到所求范圍．【解答】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由2S1=b1（b1+1）得b1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，由2Sn=bn（bn+1），2Sn﹣1=bn﹣1（bn﹣1+1）得（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1）=bn+bn﹣1因數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以bn﹣bn﹣1=1，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)與公差均為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n．

（2）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，數(shù)列{cn}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015項(xiàng)，其所有項(xiàng)的和為S1008×2015=（2+22+…+22015）+（﹣1+22﹣32+42﹣…20132+20142）=2（22015﹣1）+=22016﹣2+×1007=22016+2015×1007﹣2=22016+2029103；（3）由，得，記因?yàn)椋?dāng)取等號(hào)，所以取不到，當(dāng)n=3時(shí)，的最小值為（n∈N*）遞減，的最大值為B1=6，所以如果存在n∈N*，使不等式成立實(shí)數(shù)λ應(yīng)滿足A3≤λ≤B1，即實(shí)數(shù)λ的范圍應(yīng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式存在性問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，具有一定的難度和綜合性．21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)和，點(diǎn)M是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；（Ⅱ）設(shè)F2（1，0），R（4，0），自點(diǎn)R引直線l交曲線E于Q，N兩點(diǎn)，求證：射線F2Q與射線F2N關(guān)于直線x=1對(duì)稱．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程；橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（I）設(shè)M（x，y），根據(jù)條件列方程化簡即可；（II）設(shè)l方程y=k（x﹣4），聯(lián)立方程組消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出F2Q和F2N的斜率，根據(jù)兩直線的斜率的關(guān)系得出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），，，則，，由于，即，設(shè)F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），則|F1M|+|F2M|=4，點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，故a=2，c=1，，所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程為：．（Ⅱ）證明：設(shè)Q（x1，y1），N（x2，y2），直線l：y=k（x﹣4），聯(lián)立方程組，得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，∴△=144（1﹣4k2）＞0，解得：，且，，又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），===，由于2x1x2﹣5（x1+x2）+8=+=0，所以，=0，即，，∴射線F2Q與射線F2N的關(guān)于直線x=1對(duì)稱．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的定義，軌跡方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．22.如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE，BE⊥CE，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn)．（I）求證：GF∥平面ADE；（II）求GF與平面ABE所成角的正切值．參考答案：【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD，由G是BE的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，推導(dǎo)出四邊形HGFD是平行四邊形，從而GF∥DH，由此能證明GF∥平面ADE．（II）過B作BQ∥EC，以D為原點(diǎn)，BE、BQ、BA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出GF與平面ABE所成角的正切值．【解答】證明：（Ⅰ）如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD，又G是BE的中點(diǎn)，∴GH∥AB，且GH=AB，又F是CD中點(diǎn)，∴DF=CD，由四邊形ABCD是矩形得，AB∥CD，AB=CD，∴GH∥DF，且GH=DF．∴