2022-2023學年北京第五十中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

2022-2023學年北京第五十中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知命題p：

，命題q：，下列判斷正確的是：（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.復(fù)數(shù)2﹣i的共軛復(fù)數(shù)是（

）A、2+i

B、1+2i

C、﹣2﹣i

D、﹣2+i參考答案：A【考點】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)

【解析】【解答】解：復(fù)數(shù)2﹣i的共軛復(fù)數(shù)為2+i．故選：A．

【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．

3.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1500石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得250粒內(nèi)夾谷30粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（） A．140石 B．160石 C．180石 D．200石參考答案：C【考點】分層抽樣方法． 【專題】計算題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計． 【分析】根據(jù)數(shù)得250粒內(nèi)夾谷30粒，可得比例，即可得出結(jié)論． 【解答】解：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為1500×=180石， 故選：C． 【點評】本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．4.用1、2、3、4、5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有

A．24個

B．30個

C．40個

D．60個參考答案：A5.關(guān)于異面直線的定義，下列說法中正確的是(

)A.平面內(nèi)的一條直線和這平面外的一條直線

B.分別在不同平面內(nèi)的兩條直線C.不在同一個平面內(nèi)的兩條直線

D.不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.參考答案：D6.的值等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D7.已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線于C相交于A、B兩點，若。則k=（

）（A）1

（B）

（C）

（D）2參考答案：D8.已知函數(shù)，則＝（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B9.函數(shù)是上的可導(dǎo)函數(shù),時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.在△ABC中，已知，則的值是

A．

B．

C．

D．

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示,,,,,若,那么

參考答案：12.已知函數(shù)，，若對任意，總存在，使成立，則實數(shù)m的取值范圍為__________．參考答案：【分析】根據(jù)對任意的,總存在,使成立,轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的包含關(guān)系,進而根據(jù)關(guān)于的不等式組,解不等式組可得答案．【詳解】由題意，函數(shù)．．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當時,,記．由題意知,當時,在上是增函數(shù),∴,記．由對任意,總存在,使成立，所以則，解得：當時,在上是減函數(shù),∴,記．由對任意,總存在,使成立，所以則，解得,綜上所述,實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，以及存在性問題求解和集合包含關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中解答中把對任意的,總存在,使成立,轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的包含關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及運算與求解能力，屬于中檔試題。13.已知的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且，則的值為

．參考答案：

14.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為

▲

．參考答案：-1

15.已知AB是橢圓+=1（a＞b＞0）的長軸，若把該長軸2010等分，過每個等分點作AB的垂線，依次交橢圓的上半部分于點P1，P2，…，P2009，設(shè)左焦點為F1，則（|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P2009|+|F1B|）=．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)右焦點為F2，由橢圓的定義可得|F1Pi|+|F2Pi|=2a，（1≤i≤2009，i∈N），點P1，P2，…，Pn﹣1關(guān)于y軸成對稱分布，|F1Pi|+|F1P2010﹣i|=2a，|F1P1005|=a，|F1A|+|F1B|=2a，即可求得|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P2009|+|F1B|的值，求得（|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P2009|+|F1B|）=．【解答】解：設(shè)右焦點為F2，由橢圓的定義可得|F1Pi|+|F2Pi|=2a，（1≤i≤2009，i∈N），由題意知點P1，P2，…，Pn﹣1關(guān)于y軸成對稱分布，∴|F1Pi|+|F1P2010﹣i|=2a，|F1P1005|=a，|F1A|+|F1B|=2a，|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P2009|+|F1B|=2a×1004+2a+a=2011a，（|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P2009|+|F1B|）=，故答案為：．16.若平面α的一個法向量為=（4，1，1），直線l的一個方向向量為=（﹣2，﹣3，3），則l與α所成角的正弦值為．參考答案：【考點】空間向量的夾角與距離求解公式．【分析】設(shè)l與α所成角為θ，由sinθ=|cos＜＞|，能求出l與α所成角的正弦值．【解答】解：∵平面α的一個法向量為=（4，1，1），直線l的一個方向向量為=（﹣2，﹣3，3），設(shè)l與α所成角為θ，則sinθ=|cos＜＞|===．∴l(xiāng)與α所成角的正弦值為．故答案為：．【點評】本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．17.把6本書平均送給三個人，每人兩本的不同送法種法有

（用數(shù)字作答）。參考答案：30略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分16分）已知橢圓的左、右頂點分別A、B，橢圓過點（0，1）且離心率。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓上異于A，B兩點的任意一點P作PH⊥軸，H為垂足，延長HP到點Q，且PQ=HP，過點B作直線軸，連結(jié)AQ并延長交直線于點M，N為MB的中點，試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系。參考答案：解：（1）因為橢圓經(jīng)過點（0，1），所以，又橢圓的離心率得，

即，由得，所以，

故所求橢圓方程為。（6分）

（2）設(shè)，則，設(shè)，∵HP=PQ，∴

即，將代入得，

所以Q點在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即Q點在以AB為直徑的圓O上。

又A（－2，0），直線AQ的方程為，令，則，

又B（2，0），N為MB的中點，∴，，

∴

，∴，∴直線QN與圓O相切。（16分）19.已知集合，，全集，求：（1）；（2）．參考答案：（1）（2）試題分析：（1）兩集合的交集為兩集合的相同的元素構(gòu)成的集合；（2）集合A的補集為全集中除去集合A的元素，剩余的元素構(gòu)成的集合，兩集合的并集為兩集合所有的元素構(gòu)成的集合試題解析：（1）∵集合，，∴．（2）∵全集，∴，∴．考點：集合的交并補運算20.數(shù)列的前項和記為，，（）

（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）等差數(shù)列的各項為正，其前項和為，且，又，，成等比數(shù)列，求的表達式；（III）若數(shù)列中（），求數(shù)列的前項和的表達式．參考答案：解：（Ⅰ）由

可得

（），兩式相減得，于是（），又

∴

，故是首項為，公比為得等比數(shù)列，

∴

………………4分（Ⅱ）設(shè)的公差為，

由，可得，得，故可設(shè)，又，，，由題意可得，解得，，∵等差數(shù)列的各項為正，∴，于是，；

……………8分（III）（），（），（），①于是，②兩式相減得：．

………………14分21.已知圓M的圓心為M（﹣1，2），直線y=x+4被圓M截得的弦長為，點P在直線l：y=x﹣1上．（1）求圓M的標準方程；（2）設(shè)點Q在圓M上，且滿足=4，求點P的坐標．參考答案：【分析】（1）求出M（﹣1，2）到直線y=x+4的距離，利用直線y=x+4被圓M截得的弦長為，求出半徑，即可求圓M的標準方程；（2）設(shè)點Q在圓M上，且滿足=4，求出P的軌跡方程與直線y=x﹣1聯(lián)立，即可求點P的坐標．【解答】解：（1）M（﹣1，2）到直線y=x+4的距離為d==，…又直線y=x+4被圓M截得的弦長為，所以圓M的半徑為r=1，…∴圓M的標準方程為（x+1）2+（y﹣2）2=1．…（2）由=4，得||=4||=4，所以點P在圓（x+1）2+（y﹣2）2=16上，…又點P在直線y=x﹣1上，聯(lián)立解得或，即點P的坐標為（﹣1，﹣2）或（3，2