2024屆安徽蚌埠二中高三數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2024屆安徽蚌埠二中高三數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖是國家統計局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國居民消費價格的漲跌幅情況折線圖.（注：同比是指本期與同期作對比；環(huán)比是指本期與上期作對比.如：2019年2月與2018年2月相比較稱同比，2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比）根據該折線圖，下列結論錯誤的是（）A．2019年12月份，全國居民消費價格環(huán)比持平B．2018年12月至2019年12月全國居民消費價格環(huán)比均上漲C．2018年12月至2019年12月全國居民消費價格同比均上漲D．2018年11月的全國居民消費價格高于2017年12月的全國居民消費價格2．已知復數，，則（）A． B． C． D．3．已知函數，若對于任意的，函數在內都有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出四個命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④5．函數的圖象可能為（）A． B．C． D．6．已知復數滿足，(為虛數單位)，則()A． B． C． D．37．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知復數，則對應的點在復平面內位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.110．執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出的的值為63，則判斷框中可以填入的關于的判斷條件是（）A． B． C． D．11．記遞增數列的前項和為.若，，且對中的任意兩項與（），其和，或其積，或其商仍是該數列中的項，則（）A． B．C． D．12．如圖，在等腰梯形中，，，，為的中點，將與分別沿、向上折起，使、重合為點，則三棱錐的外接球的體積是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內角的對邊分別是，若，，則____.14．已知“在中，”，類比以上正弦定理，“在三棱錐中，側棱與平面所成的角為、與平面所成的角為，則________．15．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，則a1=_____，a1+a2+…+a5=____16．已知向量，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的面積.18．（12分）橢圓：的離心率為，點為橢圓上的一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若斜率為的直線過點，且與橢圓交于兩點，為橢圓的下頂點，求證：對于任意的實數，直線的斜率之積為定值.19．（12分）已知為坐標原點，單位圓與角終邊的交點為，過作平行于軸的直線，設與終邊所在直線的交點為，.（1）求函數的最小正周期；（2）求函數在區(qū)間上的值域.20．（12分）在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平面，，M、N分別為、的中點.?（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.21．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，將曲線經過伸縮變換后得到曲線.在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標方程；（2）已知點是曲線上的任意一點，又直線上有兩點和，且，又點的極角為，點的極角為銳角.求：①點的極角；②面積的取值范圍.22．（10分）已知數列，，數列滿足，n．（1）若，，求數列的前2n項和；（2）若數列為等差數列，且對任意n，恒成立．①當數列為等差數列時，求證：數列，的公差相等；②數列能否為等比數列？若能，請寫出所有滿足條件的數列；若不能，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先對圖表數據的分析處理，再結簡單的合情推理一一檢驗即可【題目詳解】由折線圖易知A、C正確；2019年3月份及6月份的全國居民消費價格環(huán)比是負的，所以B錯誤；設2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全國居民消費價格分別為，由題意可知，，，則有，所以D正確.故選：D【題目點撥】此題考查了對圖表數據的分析處理能力及進行簡單的合情推理，屬于中檔題.2、B【解題分析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時乘以，化簡整理得詳解：，故選B點睛：復數問題是高考數學中的?？紗栴}，屬于得分題，主要考查的方面有：復數的分類、復數的幾何意義、復數的模、共軛復數以及復數的乘除運算，在運算時注意符號的正、負問題.3、D【解題分析】

將原題等價轉化為方程在內都有兩個不同的根，先求導，可判斷時，，是增函數；當時，，是減函數.因此，再令，求導得，結合韋達定理可知，要滿足題意，只能是存在零點，使得在有解，通過導數可判斷當時，在上是增函數；當時，在上是減函數；則應滿足，再結合，構造函數，求導即可求解；【題目詳解】函數在內都有兩個不同的零點，等價于方程在內都有兩個不同的根.，所以當時，，是增函數；當時，，是減函數.因此.設，，若在無解，則在上是單調函數，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個解.設其解為，當時，在上是增函數；當時，在上是減函數.因為，方程在內有兩個不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因為，所以，代入，得.設，，所以在上是增函數，而，由可得，得.由在上是增函數，得.綜上所述，故選：D.【題目點撥】本題考查由函數零點個數求解參數取值范圍問題，構造函數法，導數法研究函數增減性與最值關系，轉化與化歸能力，屬于難題4、D【解題分析】

根據面面垂直的判定定理可判斷①；根據空間面面平行的判定定理可判斷②；根據線面平行的判定定理可判斷③；根據面面垂直的判定定理可判斷④.【題目詳解】對于①，若，，，，兩平面相交，但不一定垂直，故①錯誤；對于②，若，，則，故②正確；對于③，若，，，當，則與不平行，故③錯誤；對于④，若，，，則，故④正確；故選：D【題目點撥】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎題.5、C【解題分析】

先根據是奇函數，排除A，B，再取特殊值驗證求解.【題目詳解】因為，所以是奇函數，故排除A，B，又，故選：C【題目點撥】本題主要考查函數的圖象，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.6、A【解題分析】，故，故選A.7、C【解題分析】

根據線面平行的性質定理和判定定理判斷與的關系即可得到答案.【題目詳解】若，根據線面平行的性質定理，可得；若，根據線面平行的判定定理，可得.故選：C.【題目點撥】本題主要考查了線面平行的性質定理和判定定理，屬于基礎題.8、A【解題分析】

利用復數除法運算化簡，由此求得對應點所在象限.【題目詳解】依題意，對應點為，在第一象限.故選A.【題目點撥】本小題主要考查復數除法運算，考查復數對應點的坐標所在象限，屬于基礎題.9、A【解題分析】

由題意得到關于的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.【題目詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【題目點撥】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數對數運算.10、B【解題分析】

根據程序框圖，逐步執(zhí)行，直到的值為63，結束循環(huán)，即可得出判斷條件.【題目詳解】執(zhí)行框圖如下：初始值：，第一步：，此時不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第二步：，此時不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第三步：，此時不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第四步：，此時不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第五步：，此時不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第六步：，此時要輸出，結束循環(huán)；故，判斷條件為.故選B【題目點撥】本題主要考查完善程序框圖，只需逐步執(zhí)行框圖，結合輸出結果，即可確定判斷條件，屬于?？碱}型.11、D【解題分析】

由題意可得，從而得到，再由就可以得出其它各項的值，進而判斷出的范圍．【題目詳解】解：，或其積，或其商仍是該數列中的項，或者或者是該數列中的項，又數列是遞增數列，，，，只有是該數列中的項，同理可以得到，，，也是該數列中的項，且有，，或（舍，，根據，，，同理易得，，，，，，，故選：D．【題目點撥】本題考查數列的新定義的理解和運用，以及運算能力和推理能力，屬于中檔題．12、A【解題分析】

由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形，折疊成的三棱錐是正四面體，易求得其外接球半徑，得球體積．【題目詳解】由題意等腰梯形中，又，∴，是靠邊三角形，從而可得，∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體，設是的中心，則平面，，，外接球球心必在高上，設外接球半徑為，即，∴，解得，球體積為．故選：A．【題目點撥】本題考查求球的體積，解題關鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由，根據正弦定理“邊化角”，可得，根據余弦定理，結合已知聯立方程組，即可求得角.【題目詳解】根據正弦定理：可得根據余弦定理：由已知可得：故可聯立方程：解得：.由故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了求三角形的一個內角，解題關鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

類比，三角形邊長類比三棱錐各面的面積，三角形內角類比三棱錐中側棱與面所成角．【題目詳解】，故，【題目點撥】本題考查類比推理．類比正弦定理可得，類比時有結構類比，方法類比等．15、80211【解題分析】

由，利用二項式定理即可得，分別令、后，作差即可得.【題目詳解】由題意，則，令，得，令，得，故.故答案為：80，211.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用，屬于中檔題.16、【解題分析】

由向量平行的坐標表示得出，求解即可得出答案.【題目詳解】因為，所以，解得.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了由向量共線或平行求參數，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解題分析】

（1）在直線的參數方程中消去參數可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以，結合可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）計算出直線截圓所得弦長，并計算出原點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【題目詳解】（1）由得，故直線的普通方程是.由，得，代入公式得，得，故曲線的直角坐標方程是；（2）因為曲線的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長.又到直線的距離為，所以.【題目點撥】本題考查參數方程、極坐標方程與普通方程之間的轉化，同時也考查了直線與圓中三角形面積的計算，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）；（2）證明見解析【解題分析】

（1）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解得，，進而得到橢圓方程；（2）設直線，代入橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，以及點在直線上滿足直線方程，化簡整理，即可得到定值．【題目詳解】（1）因為，所以，①又橢圓過點，所以②由①②，解得所以橢圓的標準方程為.（2）證明設直線：，聯立得，設，則易知故所以對于任意的，直線的斜率之積為定值.【題目點撥】本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理，考查運算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據題意，求得，，因而得出，利用降冪公式和二倍角的正弦公式化簡函數，最后利用，求出的最小正周期；（2）由（1）得，再利用整體代入求出函數的值域.【題目詳解】（1）因為，，所以，，所以函數的最小正周期為.（2）因為，所以，所以，故函數在區(qū)間上的值域為.【題目點撥】本題考查正弦型函數的周期和值域，運用到向量的坐標運算、降冪公式和二倍角的正弦公式，考查化簡和計算能力.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）取中點，連接，，證明平面，由線面垂直的性質可得；（2）由，即可求得三棱錐的體積．【題目詳解】解：（1）證明：取中點D，連接，.因為，，所以且，因為，平面，平面，所以平面.又平面，所以；（2）解：因為平面，平面，所以平面平面，過N作于E，則平面，因為平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，由于，所以所以，所以.【題目點撥】本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定與性質，屬于中檔題．21、（1）曲線為圓心在原點，半徑為2的圓.的極坐標方程為（2）①②【解題分析】

（1）求得曲線伸縮變換后所得的參數方程，消參后求得的普通方程，判斷出對應的曲線，并將的普通方程轉化為極坐標方程.（2）①將的極角代入直線的極坐標方程，由此求得點的極徑，判斷出為等腰三角形，求得直線的普通方程，由此求得，進而求得，從而求得點的極角.②解法一：利用曲線的參數方程，求得曲線上的點到直線的距離的表達式，結合三角函數的知識求得的最小值和最大值，由此求得面積的取值范圍.解法二：根據曲線表示的曲線，利用圓的幾何性質求得圓上的點到直線的距離的最大值和最小值，進而求得面積的取值范圍.【題目詳解】（1）因為曲線的參數方程為（為參數），因為則曲線的參數方程所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點，半徑為2的圓.所以的極坐標方程為，即.（2）①點的極角為，代入直線的極坐標方程得點極徑為，且，所以為等腰三角形，又直線的普通方程為，又點的極角為銳角，所以，所以，所以點的極角為.②解法1：直線的普通方程為.曲線上的點到直線的距離.當，即（）時，取到最小值為.當，即（）時，取到最大值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.解法2：直線的普通方程為.因為圓的半徑為2，且圓心到直線的距離，因為，所以圓與直線相離.所以圓上的點到