豪斯多夫空間

豪斯多夫空間拓?fù)鋵W(xué)和相關(guān)的數(shù)學(xué)分支名詞01定義例子和反例性質(zhì)等價(jià)局部緊性預(yù)正則性和正則性目錄030502040607變體引用弱目錄0908基本信息在拓?fù)鋵W(xué)和相關(guān)的數(shù)學(xué)分支中，豪斯多夫空間、分離空間或T2空間是其中的點(diǎn)都“由鄰域分離”的拓?fù)淇臻g。在眾多可施加在拓?fù)淇臻g上的分離公理中，“豪斯多夫條件”是最常使用和討論的。它蘊(yùn)涵了序列、網(wǎng)和濾子的極限的唯一性。豪斯多夫得名于拓?fù)鋵W(xué)的創(chuàng)立者之一費(fèi)利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓?fù)淇臻g定義把豪斯多夫條件包括為公理。定義定義假設(shè)X是拓?fù)淇臻g。設(shè)x和y是X中的點(diǎn)。如果存在x的鄰域U和y的鄰域V使得U和V是不相交的(U∩V=?)，我們稱x和y可以“由鄰域分離”。X是豪斯多夫空間如果任何兩個(gè)X的不同的點(diǎn)可以由鄰域分離。這是豪斯多夫空間也叫做T2空間和分離空間的原因。X是預(yù)正則空間，如果任何兩個(gè)拓?fù)淇蓞^(qū)分的點(diǎn)可以由鄰域分離。預(yù)正則空間也叫做R1空間。在這些條件之間的聯(lián)系如下。拓?fù)淇臻g是豪斯多夫空間，當(dāng)且僅當(dāng)它是預(yù)正則空間和柯爾莫果洛夫空間的二者(就是說獨(dú)特的點(diǎn)是拓?fù)淇蓞^(qū)分的)。拓?fù)淇臻g是預(yù)正則空間，當(dāng)且僅當(dāng)它的柯爾莫果洛夫商空間是豪斯多夫空間。等價(jià)等價(jià)對(duì)于拓?fù)淇臻gX，以下論述等價(jià)：X是豪斯多夫空間。X是積空間的閉集。X中極限是唯一的(就是序列、網(wǎng)和濾子收斂于最多一個(gè)點(diǎn))。所有包含在X中的單元素集合都等于包含它的所有閉鄰域的交集。對(duì)角的Δ={(x,x)|x∈X}作為乘積空間X×X的子集是閉集。例子和反例例子和反例在數(shù)學(xué)分析所遇到的幾乎所有空間都是豪斯多夫空間；最重要的實(shí)數(shù)是豪斯多夫空間。更一般的說，所有度量空間都是豪斯多夫空間。事實(shí)上，在分析中用到的很多空間，比如拓?fù)淙汉屯負(fù)淞餍卧谄涠x中明確的聲明了豪斯多夫條件。最簡單的是T1空間而非T2空間的拓?fù)涞睦邮怯嘤邢蘅臻g。偽度量空間典型的不是豪斯多夫空間，但是它們是預(yù)正則的，并且它們?cè)诜治鲋型ǔＶ挥糜跇?gòu)造豪斯多夫gauge空間。實(shí)際上，在分析家處理非豪斯多夫空間的時(shí)候，它至少要是預(yù)正則的，他們簡單的把它替代為是豪斯多夫空間的它的柯爾莫果洛夫商空間。相反的，在抽象代數(shù)和代數(shù)幾何更經(jīng)常見到非預(yù)正則空間，特別是作為在代數(shù)簇或交換環(huán)譜上的扎里斯基拓?fù)?。他們還出現(xiàn)在直覺邏輯的模型論中:所有完全Heyting代數(shù)都是某個(gè)拓?fù)淇臻g的開集的代數(shù)，但是這個(gè)空間不需要是預(yù)正則的，更少見豪斯多夫空間。局部緊性局部緊性設(shè)X為豪斯多夫空間，則以下條件等價(jià)：（1）X為局部緊空間；（2）X的每點(diǎn)有預(yù)緊鄰域；（3）X的預(yù)緊開集組成的基。

性質(zhì)性質(zhì)設(shè)X為豪斯多夫空間。X的子空間是豪斯多夫空間。兩個(gè)非空拓?fù)淇臻g為豪斯多夫空間，當(dāng)且僅當(dāng)其積空間是豪斯多夫空間，當(dāng)且僅當(dāng)其不相交并是豪斯多夫空間。

X的商空間不必須是豪斯多夫空間。事實(shí)上，所有拓?fù)淇臻g都可以實(shí)現(xiàn)為某個(gè)豪斯多夫空間的商。X是T1空間，這意味著所有單元素集合是閉集。類似的，預(yù)正則空間是R0空間。X的緊集總是閉集。這對(duì)于非豪斯多夫空間就可能失效(例如有其失效的T1空間的例子)。若K是X的緊集，F(xiàn)是X的閉集，則F∩K是緊集。

豪斯多夫空間的定義聲稱點(diǎn)可以由鄰域分離。它蘊(yùn)涵了表象上更強(qiáng)的東西:在豪斯多夫空間中所有成對(duì)的不相交的緊致集合都可以由鄰域分離。這是緊集經(jīng)常表現(xiàn)得如同點(diǎn)的一般規(guī)則的一個(gè)例子。緊致性條件與預(yù)正則一起經(jīng)常蘊(yùn)涵了更強(qiáng)的分離公理。例如，任何局部緊預(yù)正則空間都是完全正則空間。緊致預(yù)正則空間是正規(guī)空間，意味著它們滿足烏雷松引理和蒂策擴(kuò)張定理，并且有服從局部有限開覆蓋的單位劃分。預(yù)正則性和正則性預(yù)正則性和正則性所有正則空間都是預(yù)正則空間，也都是豪斯多夫空間。有很多拓?fù)淇臻g的結(jié)果對(duì)正則空間和豪斯多夫空間二者都成立。多數(shù)時(shí)候這些結(jié)果對(duì)于所有預(yù)正則空間也成立；它們對(duì)正則空間和豪斯多夫空間要分開列出，因?yàn)轭A(yù)正則空間的概念要來得更晚。在另一方面，這些對(duì)于正則性為真的結(jié)果一般不適用于非正則豪斯多夫空間。有很多情況拓?fù)淇臻g的其他條件(比如仿緊致性或局部緊性)也蘊(yùn)涵正則性，如果它滿足預(yù)正則性的話。這種條件經(jīng)常有兩個(gè)版本:正則版本和豪斯多夫版本。盡管豪斯多夫空間一般不是正則性的，局部緊豪斯多夫空間是正則性的，因?yàn)槿魏魏浪苟喾蚩臻g都是預(yù)正則性的。因此從特定角度來看，在有關(guān)這些情況的時(shí)候它實(shí)際是預(yù)正則性的，而非正則性的。但是，定義仍依據(jù)正則性來措辭，因?yàn)檫@些條件比預(yù)正則性更周知。更詳細(xì)細(xì)節(jié)請(qǐng)參見分離公理的歷史。變體變體術(shù)語“豪斯多夫”、“分離”和“預(yù)正則”還可以用于在拓?fù)淇臻g上的變體如一致空間、柯西空間和收斂空間。在所有這些例子中統(tǒng)一的概念特征是網(wǎng)或?yàn)V子(在它們存在的時(shí)候)的極限是唯一的（對(duì)于分離空間）或在拓?fù)渫瑯?gòu)意義下唯一的(對(duì)于預(yù)正則空間)。這顯現(xiàn)出一致空間和更一般的柯西空間總是預(yù)正則的，所有在這些情況下豪斯多夫條件簡約為T0條件。還有完備性在其中有意義的空間，豪斯多夫性在這些情況下是完備性的自然伙伴。特別是，一個(gè)空間是完備的，當(dāng)且僅當(dāng)所有柯西網(wǎng)有至少一個(gè)極限，而一個(gè)空間是豪斯多夫的，當(dāng)且僅當(dāng)所有柯西網(wǎng)都有最多一個(gè)極限(因?yàn)橹挥锌挛骶W(wǎng)可以首先有極限)。弱弱若對(duì)任何從緊豪斯多夫空間K到X的映射，g(K)為X的閉子集，則X是弱豪斯多夫空間。若X是弱豪斯多夫空間，則g(K)為X的緊豪斯多夫子空間。

引用引用Munkres,J.R.,2000,Topology,2ndedition,UpperSaddleRiver,NJ:PrenticeHall.ISBN0-131-81629-2趙文敏，《拓樸學(xué)導(dǎo)論》，九章出版社，ISBN957-603-018-8Arkhangelskii,A.V.,yagin,GeneralTopologyI,(1990)Springer-Verlag,Berlin.ISBN3-540-18178-4Bourbaki;Eleme