新教材數(shù)學人教A版選擇性課時素養(yǎng)評價412數(shù)列的通項公式與遞推公式

二數(shù)列的通項公式與遞推公式(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)1.數(shù)列QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…的遞推公式可以是 ()n=QUOTE(n∈N*)n=QUOTE(n∈N*)1=QUOTE,an+1=QUOTEan(n∈N*)1=QUOTE,an+1=2an(n∈N*)【解析】選C.數(shù)列從第2項起,后一項是前一項的QUOTE,故遞推公式為a1=QUOTE,an+1=QUOTEan(n∈N*).2.數(shù)列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,則a5= () B.-11 【解析】選3=a2+a1=5+2=7,a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19.3.(多選題)如果{an}為遞增數(shù)列,則{an}的通項公式可以為 ()n=2n+3 n=-n2-3n+1n=QUOTE n=1+log2n【解析】選是n的一次函數(shù),一次項系數(shù)為2,所以為遞增數(shù)列;B是n的二次函數(shù),二次項系數(shù)為-1,且對稱軸為n=-QUOTE,所以為遞減數(shù)列;C是n的指數(shù)函數(shù),且底數(shù)為QUOTE,是遞減數(shù)列;D是n的對數(shù)函數(shù),且底數(shù)為2,是遞增數(shù)列.【加練·固】在遞減數(shù)列{an}中,an=kn(k為常數(shù)),則實數(shù)k的取值范圍是 ()A.R B.(0,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,0]【解析】選C.因為{an}是遞減數(shù)列,所以an+1-an=k(n+1)-kn=k<0.4.已知數(shù)列{an},a1=1,lnan+1-lnan=1,則數(shù)列{an}的通項公式是 ()n=n n=QUOTEn=en-1 n=QUOTE【解析】選C.因為lnan+1-lnan=1,所以lnQUOTE=1.所以QUOTE=e.由累乘法可得an=en-1.二、填空題(每小題5分,共10分)5.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=nan-1(n≥2),則a5=________.

【解析】因為an=nan-1,且n≥2,所以當n=2時,a2=2a1=2;當n=3時,a3=3a2=6;當n=4時,a4=4a3=24;當n=5時,a5=5a4=120.故a5=120.答案:1206.數(shù)列{an}中,a1=1,對所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an=n2,則a3+a5=________.

【解析】由題意a1a2a3=32,a1aa1a2a3a4a5=5則a3=QUOTE=QUOTE,a5=QUOTE=QUOTE.故a3+a5=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)7.根據(jù)下列條件,寫出數(shù)列的前四項,并歸納猜想它的通項公式.(1)a1=1,an+1=an+QUOTE(n∈N*).(2)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).【解析】(1)a1=1,a2=QUOTE,a3=QUOTE=2,a4=QUOTE.猜想an=QUOTE.(2)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1.8.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2-3n+1,求{an}的通項公式an.【解析】因為數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2-3n+1,所以a1=S1=2×12-3×1+1=0,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n+1)-[2(n-1)2-3(n-1)+1]=4n-5.n=1時,4n-5=-1≠a1,所以{an}的通項公式an=QUOTE(n∈N*).(15分鐘·30分)1.(5分)已知,在數(shù)列{an}中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,則a2012= () B.-3 【解析】選C.由題意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,…故知{an}是周期為6的數(shù)列,所以a2012=a2=6.2.(5分)已知數(shù)列{an}滿足an=QUOTE若對于任意的n∈N*都有an<an+1成立,則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.(1,4) B.(2,5) C.(1,6) D.(4,6)【解析】∈N*都有an<an+1成立,所以數(shù)列{an}單調(diào)遞增,所以應(yīng)滿足QUOTE解得1<a<4.故實數(shù)a的取值范圍是(1,4).3.(5分)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且滿足Sn=n2+n(n∈N*),則S3=________,數(shù)列{an}的通項公式an=________.

【解析】由Sn=n2+n,所以S3=9+3=12.當n=1時,a1=S1=1+1=2,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,當n=1時,得a1=2成立,所以an=2n.答案:122n4.(5分)若數(shù)列{an}的通項公式為an=-2n2+13n,關(guān)于該數(shù)列,有以下四種說法:(1)該數(shù)列有無限多個正數(shù)項.(2)該數(shù)列有無限多個負數(shù)項.(3)該數(shù)列的最大項就是函數(shù)f(x)=-2x2+13x的最大值.(4)-70是該數(shù)列中的一項.其中正確說法的序號為________.

【解析】令-2n2+13n>0,得0<n<QUOTE,故數(shù)列{an}有6項是正數(shù)項,有無限個負數(shù)項,所以(1)錯誤,(2)正確;當n=3時,數(shù)列{an}取到最大值,而當x=3.25時,函數(shù)f(x)取到最大值,所以(3)錯誤;令-2n2+13n=-70,得n=10,或n=-QUOTE(舍去).即-70是該數(shù)列的第10項,所以(4)正確.答案:(2)(4)5.(10分)已知數(shù)列{an}滿足a1=QUOTE,n≥2時,anan-1=an-1-an,求數(shù)列{an}的通項公式.【解析】因為anan-1=an-1-an,所以QUOTE-QUOTE=1.所以n≥2時,QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=2+QUOTEQUOTE=n+1,所以當n≥2時,an=QUOTE.當n=1時,a1=QUOTE也適合上式,所以an=QUOTE(n∈N*).1.(2020·辛集高二檢測)已知an=QUOTE(n∈N*),則數(shù)列{an}的前50項中最小項和最大項分別是 ()1,a50 1,a4445,a50 44,a45【解析】n=QUOTE=1+QUOTE,因為442=1936,452=2025,所以n≤44時,數(shù)列{an}單調(diào)遞減,且0<an<1;n≥45時,數(shù)列{an}單調(diào)遞減,且an>1.所以在數(shù)列{an}的前50項中最小項和最大項分別是a44,a45.2.設(shè)an=n2-2kn+6(n∈N*,k∈R)(1)證明:k≤1是{an}為遞增數(shù)列的充分不必要條件;(2)若對任意的n∈N*,QUOTE≥1,求k的取值范圍.【解析】(1)an+1-an=(n+1)2-2k(n+1)+6-(n2-2kn+6)=2n+1-2k>0,解得k