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同底數(shù)冪的乘法第2章整式的乘法問題導(dǎo)入
問題一:已知2、3、4三個數(shù),你能否從中任取兩個數(shù)組成一個算式,使其運算結(jié)果最大?
問題二:an表示的意義是什么?其中a、n、an分別叫做什么?naan=a×a×······×an個求n個相同因數(shù)的乘積的運算,叫作乘方.復(fù)習(xí)底數(shù)指數(shù)乘方冪≈探究新知22×24=____________;a2·a4=____________;a2·am=____________(m是正整數(shù));觀察22aaaa同底數(shù)冪相乘.22×24=(2×2)×(2×2×2×2)=2×2×2×2×2×2=26.2個24個2(2+4)個2a2×a4=(a·a)·(a·a·a·a)=a·a·a·a·a·a=a6.2個a4個a(2+4)個aa2·am=(a·a)·(a·a·····a)=a·a·a·····a=a2+m.2個am個a(2+m)個a通過觀察,你發(fā)現(xiàn)上述式子的指數(shù)和底數(shù)是怎樣變化的?222aaaaaa2462462m2+m底數(shù)不變,指數(shù)相加.26a6a2+m探究新知22×24=____________;a2·a4=____________;a2·am=____________(m是正整數(shù));觀察22aaaa同底數(shù)冪相乘.22×24=(2×2)×(2×2×2×2)=2×2×2×2×2×2=26.2個24個2(2+4)個2222246a2×a4=(a·a)·(a·a·a·a)=a·a·a·a·a·a=a6.2個a4個a(2+4)個aaaa246a2·am=(a·a)·(a·a·····a)=a·a·a·····a=a2+m.2個am個a(2+m)個aaaa2m2+m抽象我們把上述運算過程推廣到一般情況(即am·an),即猜想am·an
am+n.=26a6a2+m26a6a2+m24242m我們把上述運算過程推廣到一般情況(即am·an),即am·an
am+n.=觀察抽象猜想論證am·an=(a·a·····a)·(a·a·····a)m個an個a=a·a·a·····a(m+n)個a=am+n(m,n都是正整數(shù)).證明:
am+n←乘方的意義←乘法結(jié)合律←乘方的意義22×24=____________;a2·a4=____________;a2·am=____________(m是正整數(shù));22aaaa26a6a2+m26a6a2+m24242m探究新知同底數(shù)冪相乘.探究新知我們把上述運算過程推廣到一般情況(即am·an),即觀察抽象猜想論證
am·an=
am+n(m,n都是正整數(shù)).也就是am·an=(a·a·····a)·(a·a·····a)m個an個a=a·a·a·····a(m+n)個a=am+n(m,n都是正整數(shù)).證明:
am+n于是,我們得到:同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.22×24=____________;a2·a4=____________;a2·am=____________(m是正整數(shù));22aaaa26a6a2+m26a6a2+m24242m同底數(shù)冪相乘.“特殊”“一般”嚴格的證明乘法法則探究新知例1計算(1)105×103;(2)x3·x4;解:
105×103=105+3=108.解:
x3·x4=x3+4=x7.探究新知(1)-a·a3解:
-a·a3=﹣1·a1+3=﹣a4(2)y
n·y
n+1
(n為正整數(shù))解:
yn·yn+1=yn+n+1=y2n+1.例2計算探究新知當三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘時,怎樣用公式表示運算的結(jié)果呢?am·an·ap=(a·a·····a)·(a·a·····a)·(a·a·····a)m個an個a=a·a·a·····a(m+n+p)個a=am+n+p(m,n,p都是正整數(shù)).證明:
am+n+p如:三個am·an·ap(m,n,p都是正整數(shù)).p個a也就是am·an·ap=am+n+p同理可知,若三個以上的同底數(shù)冪相乘,底數(shù)______,指數(shù)______.不變相加探究新知例3計算:(1)32×33×34
(2)y·y2·y4
解:
32×33×34
=32+3+4=39.解
y·y2·y4
=y1+2+4=y7.鞏固練習(xí)1.計算(1)106×104;(2)x5·x3;解:
106×104=106+4=1010.解:
x5·x3=x5+3=x8.(3)a·a4;(4)(-y)4·(-y)4;解:
a·a4=a1+4=a5.解:
(-y)4·(-y)4=(-y)4+4=y8.鞏固練習(xí)解:
2×23×25=21+3+5=292.計算:解:
x2·x3·x4=x2+3+4
=x9(1)2×23×25;(2)x2·x3·x4
;解:-a5
·a5
=-a5+5=-a10(3)-a5
·a5
;
解:am
·a=am+1
(4)am
·a;解:xm+1·xm-1(其中m>1)=xm+1+m-1=x2m(5)xm+1·xm-1(其中m>1).同底數(shù)冪相乘,底數(shù)必須相同.(1)(a-b)4·(b-a)3(2)xn·(-x)2n-1·x(3)a3·(-a)4·(-a)5注意符號的運算3.計算:提升練習(xí)(1)(a-b)4(b-a)3
(2)xn·
(-x
)2n-1·
x解:原式=(b-a)4(b-a)3
=
(b-a)7=-x
n+2n-1+1解:原式=-xn·
x2n-1·
x=-x
3n(3)a3·
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