第四章頻率域圖像增強(qiáng)

第四章頻率域圖像增強(qiáng)第一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五4.1 背景知識圖像變換的目的使圖像處理問題簡化；有利于圖像特征提取；有助于從概念上增強(qiáng)對圖像信息的理解；第二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五圖像變換的定義將空域中的信號變換到另外一個域，即使用該域中的一組基函數(shù)的線性組合來合成任意函數(shù)單位正交基函數(shù)（相同基函數(shù)內(nèi)積為1，不同基函數(shù)的內(nèi)積為0）使用這組基函數(shù)的線性組合得到任意函數(shù)f，每個基函數(shù)的系數(shù)就是f與該基函數(shù)的內(nèi)積圖像變換通常是一種二維正交變換。一般要求：1.正交變換必須是可逆的；2.正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜；3.正交變換的特點(diǎn)是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上，有利于圖像處理因此正交變換廣泛應(yīng)用在圖像增強(qiáng)、圖像恢復(fù)、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面第三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五4.2傅里葉變換(一種正交變換)從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域?yàn)槭裁匆陬l率域研究圖像?可以利用頻率成分和圖像外表之間的對應(yīng)關(guān)系。一些在空間域表述困難的增強(qiáng)任務(wù)，在頻率域中變得非常普通濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域?yàn)V波的某些性質(zhì)給出一個問題，尋找某個濾波器解決該問題，頻率域處理對于試驗(yàn)、迅速而全面地控制濾波器參數(shù)是一個理想工具一旦找到一個特殊應(yīng)用的濾波器，通常在空間域用硬件實(shí)現(xiàn)第四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五圖像的頻率指什么？圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。

傅里葉變換及其反變換傅里葉變換的性質(zhì)快速傅里葉變換（FFT）第五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換 一維連續(xù)傅里葉變換及反變換

單變量連續(xù)函數(shù)f(x)的傅里葉變換F(u)定義為 其中，j

F(u)1f(x)ej

2uxdx給定F(u),通過傅里葉反變換可以得到f(x)f(x)F(u)ej2uxdu第六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換 二維連續(xù)傅里葉變換及反變換

二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換F(u,v)定義為F(u,v)

f(x,y)ej2uxvydxdy

給定F(u,v),通過傅里葉反變換可以得到f(x,y)f(x,y)

F(u,v)ej2uxvydudv第七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換 一維離散傅里葉變換(DFT)及反變換

單變量離散函數(shù)f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅里葉變換F(u)定義為

u=0,1,2,…,M-1給定F(u),通過傅里葉反變換可以得到f(x)

x=0,1,2,…,M-1第八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五j傅里葉變換 一維離散傅里葉變換及反變換

從歐拉公式ecosjsinF(u)

1MM1

x0fxej(2ux)/M

1M

1

MM1fxcos(2ux)/Mjsin(2ux)/M

x0

M1

fxcos2ux/Mjsin2ux/M

x0第九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換傅里葉變換的極坐標(biāo)表示FuFue

ju幅度或頻率譜為R(u)和I(u)分別是F(u)的實(shí)部和虛部相角或相位譜為功率譜為第十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換

二維離散傅里葉變換及反變換

圖像尺寸為M×N的函數(shù)f(x,y)的DFT為F(u,v)

1MNM1N1

x0y0fx,yej2ux/Mvy/Nu=0,1,2,…,M-1,v=0,1,2,…,N-1給出F(u,v),可通過反DFT得到f(x,y),f(x,y)M1N1Fu,ve

u0v0j2ux/Mvy/Nx=0,1,2,…,M-1,y=0,1,2,…,N-1注：u和v是頻率變量，x和y是空間或圖像變量第十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五圖像傅立葉變換的物理意義傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關(guān)系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因?yàn)閷?shí)際上對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖第十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換二維傅里葉變換的極坐標(biāo)表示幅度或頻率譜為R(u)和I(u)分別是F(u)的實(shí)部和虛部相角或相位譜為功率譜為F(u,v)的原點(diǎn)變換

用(-1)x+y乘以f(x,y),將F(u,v)原點(diǎn)變換到頻率坐標(biāo)下的(M/2，N/2)，它是M×N區(qū)域的中心u=0,1,2,…,M-1,v=0,1,2,…,N-1第十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換 F(0,0)表示F0,0

1MNM1N1fx,y

x0y0

這說明：假設(shè)f(x,y)是一幅圖像，在原點(diǎn)的傅里葉變換等于圖像的平均灰度級直流份量第十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五變換系數(shù)矩陣F(u,v)的意義1、若變換矩陣F(u,v)原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近；若所用的二維傅立葉變換矩陣F(u,v)的原點(diǎn)設(shè)在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數(shù)矩陣的四個角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時也表明一般圖像能量集中低頻區(qū)域。

2、變換之后的圖像（頻率譜）在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）P123圖4.3(b)第十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻譜的頻域移中第十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻譜移中的好處對頻譜移頻到顯示屏中心以后，可以看出圖像的頻率分布是以中心為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到中心的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中心，對稱分布的亮點(diǎn)集合，這個集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾

第十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻譜圖（頻譜的圖像顯示）的含義f(x,y)D(u,v)第十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五從譜圖像中可看出什么？實(shí)際上對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上是圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)灰度值差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，一般來講，頻譜圖上某點(diǎn)的亮度強(qiáng)則意味著梯度大，亮度弱則意味著梯度小。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗點(diǎn)多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對較?。粗?，如果頻譜圖中亮點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。第十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五幅度譜從幅度譜中我們

可以看出明亮線

反映出原始圖像

的灰度級變化，

這正是圖像的輪

廓邊第二十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五幅度譜從幅度譜中我們

可以看出明亮線

和原始圖像中對

應(yīng)的輪廓線是垂

直的。如果原始

圖像中有圓形區(qū)

域那么幅度譜中

也呈圓形分布第二十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五幅度譜圖像中的顆粒狀對

應(yīng)的幅度譜呈環(huán)狀，

但即使只有一顆顆

粒，其幅度譜的模

式還是這樣。第二十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五幅度譜這些圖像沒有特定

的結(jié)構(gòu)，左上角到

右下角有一條斜線，

它可能是由帽子和

頭發(fā)之間的邊線產(chǎn)

生的兩個圖像都存在一

些小邊界第二十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換的對稱性 如果f(x,y)是實(shí)函數(shù)，它的傅里葉變換是共軛對稱（實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)）的，即傅里葉變換的頻率譜是偶對稱的

Fu,vFu,v第二十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換及其反變換傅里葉變換的性質(zhì)快速傅里葉變換（FFT）第二十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五3.5.傅里葉變換 二維傅里葉變換的性質(zhì)1.2.4.6.7.8.9.平移性質(zhì)分配律尺度變換（縮放）旋轉(zhuǎn)性周期性和共軛對稱性平均值可分性卷積相關(guān)性第二十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五1.(1)(2)傅里葉變換傅里葉變換對的平移性質(zhì)以表示函數(shù)和其傅里葉變換的對應(yīng)性

fx,yej2u0x/Mv0y/N

Fuu0,vv0fxx0,yy0Fu,vej2ux0/Mvy0/N公式（1）表明將f(x,y)與一個指數(shù)項(xiàng)相乘就相當(dāng)于把其變換后的頻域中心移動到新的位置公式（2）表明將F(u,v)與一個指數(shù)項(xiàng)相乘就相當(dāng)于把其變換后的空域中心移動到新的位置公式（2）表明對f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換的幅值第二十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五1.xyxy傅里葉變換 傅里葉變換對的平移性質(zhì)（續(xù)）

當(dāng)u0=M/2且v0=N/2,ej2u0x/Mv0y/Nej(xy)1帶入（1）和（2），得到fx,y1FuM/2,vN/2uvfxM/2,yN/2Fu,v1第二十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換2.分配律根據(jù)傅里葉變換的定義，可以得到

f1x,yf2x,yf1x,yf2x,y

f1x,yf2x,yf1x,yf2x,y

上述公式表明：傅里葉變換對加法滿足分配律，但對乘法則不滿足第二十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五3.傅里葉變換 尺度變換（縮放）及線性性

給定2個標(biāo)量a和b，可以證明對傅里葉變換下列2個公式成立

afx,yaFu,vab1fax,byFu/a,v/ba)ImageA;

b)ImageB;c)0.25*A+0.75*Ba)spectrumA;b)spectrumB;c)0.25*A+0.75*B第三十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換4.旋轉(zhuǎn)性

引入極坐標(biāo)xrcos,yrsin,ucos,vsin

將f(x,y)和F(u,v)轉(zhuǎn)換為fr,和F,。將它們帶入傅里葉變換對得到

fr,0F,0

f(x,y)旋轉(zhuǎn)角度0，F(xiàn)(u,v)也將轉(zhuǎn)過相同 的角度 F(u,v)旋轉(zhuǎn)角度0，f(x,y)也將轉(zhuǎn)過相同 的角度第三十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五旋轉(zhuǎn)性質(zhì)原圖像及其傅里葉變換旋轉(zhuǎn)后圖像及其傅里葉變換第三十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五5.傅里葉變換周期性和共軛對稱性

Fu,vFuM,vFu,vNFuM,vNfx,yfxM,yfx,yNfxM,yN上述公式表明盡管F(u,v)對無窮多個u和v的值重復(fù)出現(xiàn)，但只需根據(jù)在任一個周期里的N個值就可以從F(u,v)得到f(x,y)只需一個周期里的變換就可將F(u,v)在頻域里完全確定同樣的結(jié)論對f(x,y)在空域也成立第三十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五5.傅里葉變換周期性和共軛對稱性如果f(x,y)是實(shí)函數(shù)，則它的傅里葉變換具有共軛對稱性Fu,vFu,v

Fu,vFu,v其中，F(xiàn)*(u,v)為F(u,v)的復(fù)共軛。復(fù)習(xí)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).第三十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五

周期性和共軛對稱性舉例

對于一維變換F(u)，周期性是指F(u)的周期長度為M，對稱性是指頻譜關(guān)于原點(diǎn)對稱

半周期的傅里葉頻譜一幅二維圖像的傅里葉頻譜全周期的傅里葉頻譜 中心化的傅里葉頻譜第三十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五6.傅里葉變換分離性

當(dāng)x=0,1,…,M-1，沿著f(x,y)的所有行計(jì)算傅里葉變換。沿著f(x,y)的一行所進(jìn)行的傅里葉變換。第三十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五6.傅里葉變換分離性——二維傅里葉變換的全過程先通過沿輸入圖像的每一行計(jì)算一維變換再沿中間結(jié)果的每一列計(jì)算一維變換可以改變上述順序，即先列后行上述相似的過程也可以計(jì)算二維傅里葉反變換第三十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換7.平均值

由二維傅里葉變換的定義Fu,v

1MNM1N1

x0y0fx,yej2ux/Mvy/N所以F0,0

1MNM1N1fx,y

x0y0而fx,y

1MNM1N1fx,y

x0y0 所以

fx,yF0,0

上式說明：如果f(x,y)是一幅圖像，在原點(diǎn)的傅里葉變換即等于圖像的平均灰度級第三十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五1M1N1MN傅里葉變換8.

卷積理論大小為M×N的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的離散卷積fx,yhx,yfm,nhxm,ynm0n0卷積定理

fx,yhx,yFu,vHu,v

fx,yhx,yFu,vHu,v第三十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五1M1N1*MN*傅里葉變換9.

相關(guān)性理論大小為M×N的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的相關(guān)性定義為

fx,y。hx,yfm,nhxm,ynm0n0f*表示f的復(fù)共軛。對于實(shí)函數(shù)，f*＝f相關(guān)定理

fx,y。hx,yF*u,vHu,vfx,yhx,yFu,v。Hu,v第四十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換自相關(guān)理論注：復(fù)數(shù)和它的復(fù)共軛的乘積是復(fù)數(shù)模的平方第四十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換卷積和相關(guān)性理論總結(jié)

卷積是空間域過濾和頻率域過濾之間的紐帶相關(guān)的重要應(yīng)用在于匹配：確定是否有感興趣的物體區(qū)域f(x,y)是原始圖像h(x,y)作為感興趣的物體或區(qū)域（模板）如果匹配，兩個函數(shù)的相關(guān)值會在h找到f中相應(yīng)點(diǎn)的位置上達(dá)到最大第四十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五相關(guān)性匹配舉例延拓圖像f(x,y) 相關(guān)函數(shù)圖像圖像f(x,y)模板h(x,y)延拓圖像h(x,y) 通過相關(guān)圖像最大 值的水平灰度剖面圖第四十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換及其反變換傅里葉變換的性質(zhì)快速傅里葉變換(FFT)

只考慮一維的情況，根據(jù)傅里葉變換的分離性可知，二維傅里葉變換可由連續(xù)2次一維傅里葉變換得到第四十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五1M1Mx0快速傅里葉變換(FFT) 為什么需要快速傅里葉變換？Fufxej2ux/Mu0,1,2,...,M1對u的M個值中的每一個都需進(jìn)行M次復(fù)數(shù)乘法(將f(x)與ej2ux/M相乘)和M-1次加法，即復(fù)數(shù)乘法和加法的次數(shù)都正比于M2

快速傅里葉變換(FFT)則只需要Mlog2M次運(yùn)算FFT算法與原始變換算法的計(jì)算量之比是log2M/M，如M=1024≈103,則原始變換算法需要106次計(jì)算，而FFT需要104次計(jì)算，F(xiàn)FT與原始變換算法之比是1：100第四十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五FuFevenuFodduW2uk12快速傅里葉變換(FFT) FFT算法基本思想

FFT算法基于一個叫做逐次加倍的方法。通 過推導(dǎo)將原始傅里葉轉(zhuǎn)換成兩個遞推公式Fu

1MM1

x0fxej2ux/Mu0,1,2,...,M112FuKFevenuFodduW2uk第四十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五FuFevenuFodduW2ukFuKFevenuFodduW2uk快速傅里葉變換(FFT)

FFT算法基本思想12u0,1,2,...,M1

1 2其中：M=2K Feven(u)、Fodd(u)是K個點(diǎn)的傅里葉值第四十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五1M1Mx0ux快速傅里葉變換(FFT)

FFT公式推導(dǎo) FFT算法基于一個叫做逐次加倍的方法。為 方便起見用下式表達(dá)離散傅立葉變換公式

Fufxej2ux/M

1MM1

x0fxWM這里WMej2/M是一個常數(shù)第四十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五K11K11K1u2x1u2x2Kx0Kx0快速傅里葉變換(FFT)假設(shè)M的形式是

M2nn為正整數(shù)。因此，M可以表示為

M2K將M=2K帶入上式Fu

12K2K1

x0fxW2uxf2xW2Kf2x1W2K第四十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五uxux11K11K1uxuux2Kx0Kx0快速傅里葉變換(FFT)推導(dǎo)：因?yàn)閃Mej2/M所以W22Kej2(2ux)/2Kej2(ux)/KWK帶入上式有Fuf2xWKf2x1WKW2K第五十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五1K1uxKx01K1uxKx0

快速傅里葉變換(FFT)定義兩個符號Fevenuf2xWKFodduf2x1WKu0,1,2,...,K1第五十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五FuFevenuFodduW2K快速傅里葉變換(FFT)得到FFT的第一個公式1u2該公式說明F(u)可以通過奇部和偶部之和來計(jì)算第五十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五u2uuuW1快速傅里葉變換(FFT)推導(dǎo)：WKKej2(uK)/K

ej2u/Kej2WKej2WK1WK

uK2Kej2uK/2Kej2u/2KejW2uKej1W2uK1W2uK第五十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五uK111K1uK2x1uK2x12Kx0Kx02KuKxu11K11K1uxux2Kx0Kx0FevenuFodduW2uK快速傅里葉變換(FFT)FuK

12K12Kx0fxW2KKxf2xW2Kf2x1W2K

11K1

x0f2xWK

1KK1x0f2x1WKuKxW2KKf2xWKf2x1WKW2uK

1 2第五十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五FuKFevenuFodduW2uK快速傅里葉變換(FFT)得到FFT的第二個公式12該公式說明F(u＋K)可以通過奇部和偶部之差來計(jì)算第五十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五FuFevenuFodduW2KFuKFevenuFodduW2uK快速傅里葉變換(FFT)最后得到FFT的二個公式1u212第五十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五快速傅里葉變換(FFT)分析這些表達(dá)式得到如下一些有趣的特性：

一個M個點(diǎn)的變換，能夠通過將原始表達(dá)式分成兩個部分來計(jì)算通過計(jì)算兩個（M/2）個點(diǎn)的變換。得Feven(u)和Fodd(u)奇部與偶部之和得到F(u)的前(M/2)個值奇部與偶部之差得到F(u)的后(M/2)個值。且不需要額外的變換計(jì)算第五十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五快速傅里葉變換(FFT)歸納快速傅立葉變換的思想：（1）通過計(jì)算兩個單點(diǎn)的DFT，來計(jì)算兩個點(diǎn)的DFT，（2）通過計(jì)算兩個雙點(diǎn)的DFT，來計(jì)算四個點(diǎn)的DFT，…，以此類推（3）對于任何N=2m的DFT的計(jì)算，通過計(jì)算兩個N/2點(diǎn)的DFT，來計(jì)算N個點(diǎn)的DFT第五十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五快速傅里葉變換(FFT)FFT算法基本思想FFT算法舉例：設(shè)：有函數(shù)f(x)，其N=23=8,有：{f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7)}計(jì)算：{F(0),F(1),F(2),F(3),F(4),F(5),F(6),F(7)}第五十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五快速傅里葉變換(FFT)FFT算法舉例首先分成奇偶兩組：有：{f(0),f(2),f(4),f(6)}{f(1),f(3),f(5),f(7)}為了利用遞推特性，再分成兩組：有：{f(0),f(4)}，{f(2),f(6)}{f(1),f(5)}，{f(3),f(7)}第六十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五快速傅里葉變換(FFT)FFT算法實(shí)現(xiàn)對輸入數(shù)據(jù)的排序可根據(jù)一個簡單的位對換規(guī)則進(jìn)行如用x表示f(x)的1個自變量值，那么它排序后對應(yīng)的值可通過把x表示成二進(jìn)制數(shù)并對換各位得到例如N=23,f(6)排序后為f(3),因?yàn)?＝1102而0112＝3

把輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行了重新排序，則輸出結(jié)果是正確的次序。反之不把輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，則輸出結(jié)果需要重新排序才能得到正確的次序第六十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五快速傅里葉變換(FFT) FFT算法實(shí)現(xiàn) 地址的排序：——按位倒序規(guī)則 例如：N=23=8原地址 000 001 010 011 100 101 110 111原順序 f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(6) f(7)新地址 000 100 010 110 001 101 011 111新順序 f(0) f(4) f(2) f(6) f(1) f(5) f(3) f(7)第六十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五快速傅里葉變換(FFT)

FFT算法實(shí)現(xiàn)——幾個關(guān)鍵點(diǎn)2）計(jì)算順序及地址增量：2nn=0,1,2…地址+1 f(0) f(4) f(2) f(6) f(1) f(5) f(3) f(7)地址+2 F2(0) F2(4) F2(2) F2(6) F4(1) F2(5) F2(3) F2(7)地址+4 F4(0) F4(4) F4(2) F4(6) F4(1) F4(5) F4(3) F4(7)第六十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域圖像增強(qiáng)F0,0

1MNM1N1_fx,yfx,y

x0y0變化最慢的頻率成分(u=v=0)對應(yīng)一幅圖像的平均灰度級傅里葉變換的頻率分量和圖像空間特征之間的聯(lián)系第六十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域?yàn)V波傅里葉變換的頻率分量和圖像空間特征之間的聯(lián)系（續(xù)）當(dāng)從變換的原點(diǎn)移開時，低頻對應(yīng)著圖像的慢變化分量，如圖像的平滑部分

進(jìn)一步離開原點(diǎn)時，較高的頻率對應(yīng)圖像中變化越來越快的灰度級，如邊緣或噪聲等尖銳部分第六十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域?yàn)V波頻率域?yàn)V波的基本步驟

思想：通過濾波器函數(shù)以某種方式來修改圖像變換，然后通過取結(jié)果的反變換來獲得處理后的輸出圖像第六十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五1.xy2.3.4.5.頻率域?yàn)V波 頻率域的濾波步驟

用(-1)x+y乘以輸入圖像進(jìn)行中心變換fx,y1FuM/2,vN/2變換到頻域頻域?yàn)V波:變換到空間域取實(shí)部:取消輸入圖像的乘數(shù)Matlabfunction:Fc=fftshift(fft2(f))第六十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域?yàn)V波頻率域?yàn)V波

Gu,vHu,vFu,vH和F的相乘在逐元素的基礎(chǔ)上定義，即H的第一個元素乘以F的第一個元素，H的第二個元素乘以F的第二個元素一般，F(xiàn)的元素為復(fù)數(shù)，H的元素為實(shí)數(shù)H為零相移濾波器，因?yàn)闉V波器不改變變換的相位.P125第六十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域?yàn)V波一些基本的濾波器：如何作用于圖像？陷波濾波器低通（平滑）濾波器高通（銳化）濾波器第六十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五0頻率域?yàn)V波陷波濾波器(u,v)=(M/2,N/2)Hu,v1其它設(shè)置F(0,0)=0(結(jié)果圖像的平均值為零)，而保留其它傅里葉變換的頻率成分不變除了原點(diǎn)處有凹陷外，其它均是常量函數(shù)由于圖像平均值為0而產(chǎn)生整體平均灰度級的降低用于識別由特定的、局部化頻域成分引起的空間圖像效果第七十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五陷波濾波器舉例陷波濾波器由于圖像平均值為0而產(chǎn)生整體平均灰度級的降低第七十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域?yàn)V波低通濾波器：使低頻通過而使高頻衰減的濾波器被低通濾波的圖像比原始圖像少尖銳的細(xì)節(jié)部分而突出平滑過渡部分對比空間域?yàn)V波的平滑處理，如均值濾波器高通濾波器：使高頻通過而使低頻衰減的濾波器被高通濾波的圖像比原始圖像少灰度級的平滑過渡而突出邊緣等細(xì)節(jié)部分對比空間域的梯度算子、拉普拉斯算子第七十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五低通濾波器和高通濾波器舉例原圖低通濾波函數(shù) 高通濾波函數(shù)低通濾波結(jié)果：模糊 高通濾波結(jié)果：銳化第七十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五低通濾波器和高通濾波器舉例原圖高通濾波結(jié)果高通濾波改進(jìn)結(jié)果

因?yàn)镕(0,0)已被設(shè)置為0，所以幾乎沒有平滑的灰度級細(xì)節(jié)，且圖像較暗 在高通濾波器中加入常量，以使F(0,0)不被完全消除，如圖所示，對濾波器加上一個濾波器高度一半的常數(shù)加以改進(jìn)（高頻加強(qiáng)）第七十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五1M1N1MNm0n0頻率域?yàn)V波

空間域?yàn)V波和頻率域?yàn)V波之間的對應(yīng)關(guān)系 大小為M×N的兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的離 散卷積表示為f(x,y)*h(x,y)，定義為fx,yhx,yfm,nhxm,yn對比空間域?yàn)V波：在M×N的圖像f上，用m×n的濾波器進(jìn)行線性濾波

ab

gx,yws,tfxs,yt

satb第七十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域?yàn)V波卷積定理

fx,yhx,yFu,vHu,v

上式說明空間域卷積可以通過F(u,v)H(u,v) 的乘積進(jìn)行反傅里葉變換得到

fx,yhx,yFu,vHu,v

說明空間域乘法可以通過頻率域的卷積獲得 上述兩個公式主要為兩個函數(shù)逐元素相乘的 乘法第七十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域?yàn)V波定義：在(x0,

y0)，強(qiáng)度為A的沖激函數(shù)表示為Axx0,yy0,定義為M1N1sx,yAxx0,yy0

Asx0

,y0x0y0x

,y

是沖激函數(shù)說明：sx,y只在(x0,

y0)處有為A的圖像值，其它處的值全為0第七十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五1M1N1MNx0y0e頻率域?yàn)V波

下式表明在原點(diǎn)處(0,0)的單位沖激情況，用

x,y表示

M1N1

sx,yx,ys0,0

x0y0

根據(jù)上式，原點(diǎn)處(0,0)單位沖激的傅里葉變換x,yx,yej2(ux/Mvy/N

)

10MN

1MN第七十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五MN1頻率域?yàn)V波

假設(shè)fx,yx,y，根據(jù)上式計(jì)算原點(diǎn)處 (0,0)空間域的卷積x,yhx,yM1N1m,nhxm,ynm0n0

1MNhx0,y0

1MNhx,y結(jié)論

fx,yhx,yFu,vHu,vx,yhx,yx,yHu,v

hx,yHu,v第七十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域?yàn)V波hx,yHu,v上述公式表明，空間域和頻率域中的濾波器組成了傅里葉變換對給出在頻率域的濾波器，可以通過反傅里葉變換得到在空間域?qū)?yīng)的濾波器，反之亦然濾波在頻率域中更為直觀，但在空間域一般使用更小的濾波器模板

可以在頻率域指定濾波器，做反變換，然后在空間域使用結(jié)果濾波器作為在空間域構(gòu)建小濾波器模板的指導(dǎo)第八十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域?yàn)V波

高斯頻率域低通濾波器函數(shù)

對應(yīng)空間域高斯低通濾波器為

高斯頻率域高通濾波器函數(shù)AB,1

2對應(yīng)空間域高斯高通濾波器為第八十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域?yàn)V波頻率域高斯低通濾波器空間域高斯低通濾波器頻率域高斯高通濾波器 空間域高斯高通濾波器第八十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域?yàn)V波結(jié)論（低通濾波器）當(dāng)H(u)有很寬的輪廓時(大的值)，h(x)有很窄的輪廓，反之亦然。當(dāng)接近無限時，H(u)趨于常量函數(shù)，而h(x)趨于沖激函數(shù)兩個低通濾波器的相似之處在于兩個域中的值均為正。所以，在空間域使用帶正系數(shù)的模板可以實(shí)現(xiàn)低通濾波頻率域低通濾波器越窄，濾除的低頻成分就越多，使得圖像就越模糊；在空間域，這意味著低通濾波器就越寬，模板就越大第八十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域?yàn)V波結(jié)論（高通濾波器）空間域?yàn)V波器有正值和負(fù)值，一旦值變?yōu)樨?fù)數(shù)，就再也不會變?yōu)檎龜?shù)為什么頻率域中的內(nèi)容在空間域要使用小空間模板頻率域可以憑直觀指定濾波器空間域?yàn)V波效果取決于空間模板的大小第八十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五4.3頻率域平滑圖像的平滑除了在空間域中進(jìn)行外，也可以在頻率域中進(jìn)行。由于噪聲主要集中在高頻部分，為去除噪聲改善圖像質(zhì)量，濾波器采用低通濾波器H(u,v)來抑制高頻成分，通過低頻成分，然后再進(jìn)行逆傅立葉變換獲得濾波圖像，就可達(dá)到平滑圖像的目的 常用的頻率域平滑濾波器有3種: 理想低通濾波器 巴特沃思低通濾波器 高斯低通濾波器第八十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域圖像增強(qiáng)頻率域平滑濾波器邊緣和噪聲等尖銳變化處于傅里葉變換的高頻部分平滑可以通過衰減高頻成分的范圍來實(shí)現(xiàn)理想低通濾波器：尖銳巴特沃思低通濾波器：處于理想和高斯濾波器之間高斯低通濾波器：平滑第八十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五1頻率域圖像增強(qiáng) 理想低通濾波器

截?cái)喔道锶~變換中的所有高頻成分，這些高 頻成分處于指定距離D0之外Hu,v 0Du,vD0Du,vD0

頻率矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2)，從點(diǎn)(u,v)到中心（原點(diǎn)）的距離如下第八十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域圖像增強(qiáng)理想低通濾波器說明：在半徑為D0的圓內(nèi)，所有頻率沒有衰減地通過濾波器，而在此半徑的圓之外的所有頻率完全被衰減掉第八十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五其中理想低通濾波器

總圖像功率值PT

M1N1

PTPu,v

u0v0

PTu,vF

u,v2

R2u,vI2

u,v

原點(diǎn)在頻率矩形的中心，半徑為r的圓包含%的功率頻率域圖像增強(qiáng)第八十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五理想低通濾波器舉例500×500像素的原圖圖像的傅里葉頻譜圓環(huán)具有半徑5,15,30,80和230個像素圖像功率為92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%第九十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五理想低通濾波器舉例——具有振鈴現(xiàn)象

結(jié)論：半徑D0越小，模糊越大；半徑D0越大，模糊越小

半徑是5的理想低通濾波

原圖半徑是15的理想低通濾波濾除8%的總功率，模糊說明多數(shù)尖銳細(xì)節(jié)在這8%的功率之內(nèi)

半徑是30的理想低通濾波 濾除3.6%的總功率濾除5.4%的總功率

半徑是230的理想低通濾波半徑是80的理想低通濾波濾除2%的總功率濾除0.5%的總功率，與原圖接近說明邊緣信息在0.5%以上的功率中第九十一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五

頻率域圖像增強(qiáng)頻率域函數(shù)H(u，v)模糊且半徑為5的ILPF 對應(yīng)空間域h(x,y)f(x,y)由黑色背景中心開始的圓環(huán)周期下5個明亮的像素組成，明亮點(diǎn)可看作沖激 f(x,y)*h(x,y),在每 個沖激處復(fù)制h(x,y) 的過程，振鈴現(xiàn)象第九十二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五2n頻率域圖像增強(qiáng) 巴特沃思低通濾波器

n級巴特沃思低通濾波器(BLPF)定義如下Hu,v

11Du,v/D0

D0為截至頻率距原點(diǎn)的距離，D(u,v)是點(diǎn)(u,v)距原點(diǎn)的距離 當(dāng)D(u,v)=D0時，H(u,v)=0.5(最大值是1，當(dāng)D(u,v)=0)它的特性是連續(xù)性衰減，而不象理想濾波器那樣陡峭變化，即明顯的不連續(xù)性。因此采用該濾波器濾波在抑制噪聲的同時，圖像邊緣的模糊程度大大減小，沒有振鈴效應(yīng)產(chǎn)生第九十三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五巴特沃思低通濾波器透視圖濾波器階數(shù)從1到4的濾波器橫截面應(yīng)用：可用于平滑處理，如圖像由于量化不足產(chǎn)生虛假輪廓時，?？捎玫屯V波進(jìn)行平滑以改進(jìn)圖像質(zhì)量。通常，BLPF的平滑效果好于ILPF（振鈴現(xiàn)象）。第九十四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五巴特沃思低通濾波器n2

原圖半徑是15的BLPF濾波半徑是80的BLPF濾波半徑是5的BLPF濾波半徑是30的BLPF濾波半徑是230的BLPF濾波第九十五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五

ILPF巴特沃思低通濾波器

所有的濾波器都有半徑為5的截至頻率D0階數(shù)n=1階數(shù)n=2階數(shù)n=5階數(shù)n=20無振鈴和負(fù)值輕微振鈴和負(fù)值明顯振鈴和負(fù)值與ILPF相似注：二階BLPF處于有效低通濾波和可接受的振鈴特征之間第九十六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五D2u,v

/22D2u,v

/2D02頻率域圖像增強(qiáng)高斯低通濾波器二維高斯低通濾波器(GLPF)定義如下Hu,veD(u,v)是點(diǎn)(u,v)距原點(diǎn)的距離，使D0Hu,ve當(dāng)D(u,v)=D0時，濾波器下降到它最大值的0.607處第九十七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五高斯低通濾波器透視圖濾波器各種D0值的濾波器橫截面采用該濾波器濾波在抑制噪聲的同時，圖像邊緣的模糊程度較用Butterworth濾波產(chǎn)生的大些，無明顯的振鈴效應(yīng)第九十八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五高斯低通濾波器

原圖半徑是15的GLPF濾波半徑是80的GLPF濾波半徑是5的GLPF濾波半徑是30的GLPF濾波 半徑是230的GLPF濾波第九十九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域圖像增強(qiáng)結(jié)論 GLPF不能達(dá)到有相同截止頻率的二階 BLPF的平滑效果 GLPF沒有振鈴 如果需要嚴(yán)格控制低頻和高頻之間截 至頻率的過渡，選用BLPF，代價(jià)是可能 產(chǎn)生振鈴第一百頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域圖像增強(qiáng)低通濾波器的應(yīng)用實(shí)例：模糊,平滑等字符識別：通過模糊圖像，橋接斷裂字符的裂縫

印刷和出版業(yè)：從一幅尖銳的原始圖像產(chǎn)生平滑、柔和的外觀，如人臉，減少皮膚細(xì)紋的銳化程度和小斑點(diǎn)

處理衛(wèi)星和航空圖像：盡可能模糊細(xì)節(jié)，而保留大的可識別特征。低通濾波通過消除不重要的特征來簡化感興趣特征的分析第一百零一頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五字符識別舉例如打印、傳真、復(fù)印文本等，字符失真、字符斷裂等D0=80的高斯低通濾波器修復(fù)字符用于機(jī)器識別系統(tǒng)識別斷裂字符的預(yù)處理第一百零二頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五人臉圖像處理原圖像D0=100的GLPF濾波,細(xì)紋減少D0=80的GLPF濾波，細(xì)紋減少第一百零三頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五人臉圖像處理原圖像D0=30的GLPF濾波D0=10的GLPF濾波，目的：盡可能模糊細(xì)節(jié)，而保留大的可識別特征第一百零四頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五4.4頻率域銳化圖像的邊緣、細(xì)節(jié)主要位于高頻部分，而圖像的模糊是由于高頻成分比較弱產(chǎn)生的。頻率域銳化就是為了消除模糊，突出邊緣。因此采用高通濾波器讓高頻成分通過，使低頻成分削弱，再經(jīng)逆傅立葉變換得到邊緣銳化的圖像第一百零五頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域圖像增強(qiáng)頻率域銳化濾波器理想高通濾波器巴特沃思高通濾波器高斯高通濾波器頻率域的拉普拉斯算子鈍化模板、高頻提升濾波和高頻加強(qiáng)濾波第一百零六頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域銳化濾波器透視圖圖像表示橫截面

理想高通濾波器 巴特沃思高通濾波器 高斯高通濾波器巴特沃思濾波器為理想濾波器的尖銳化和高斯濾波器的完全光滑之間的一種過渡第一百零七頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五頻率域銳化濾波器理想高通濾波器巴特沃思高通濾波器高斯高通濾波器第一百零八頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五Hu,v頻率域圖像增強(qiáng) 理想高通濾波器

截?cái)喔道锶~變換中的所有低頻成分，這些低 頻成分處于指定距離D0之內(nèi)

0Du,vD0

1Du,vD0

頻率矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2)，從點(diǎn) (u,v)到中心（原點(diǎn)）的距離如下第一百零九頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五理想高通濾波器圖a：D0=15圖b：D0=30圖c：D0=80結(jié)論：圖a和b的振鈴問題十分明顯第一百一十頁，共一百二十六頁，編輯于2023年，星期五2n11Du,v/D0頻率域圖像增強(qiáng) 巴特沃思高通濾波器

n階且截至頻率距原點(diǎn)的距離為D0的巴特沃 思高通濾波器(BHPF)定義為推導(dǎo)Hu,v

11D