高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論講義新人教B版

1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論第一章

§1.2點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平面的基本性質(zhì)與推論，能運(yùn)用平面的基本性質(zhì)及推論去解決有關(guān)問題.2.會用集合語言來描述點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì).3.理解異面直線的概念.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)與推論思考1

直線l與平面α有且僅有一個公共點(diǎn)P.直線l是否在平面α內(nèi)？有兩個公共點(diǎn)呢？答案前者不在，后者在.思考2

觀察圖中的三腳架，你能得出什么結(jié)論？答案不共線的三點(diǎn)可以確定一個平面.思考3觀察正方體ABCD—A1B1C1D1(如圖所示)，平面ABCD與平面BCC1B1有且只有兩個公共點(diǎn)B，C嗎？答案不是，平面ABCD與平面BCC1B1相交于直線BC.梳理

(1)平面的基本性質(zhì)平面內(nèi)容作用圖形基本性質(zhì)1如果一條直線上的

在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個平面內(nèi)(即直線在

或_____經(jīng)過直線)判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)兩點(diǎn)平面內(nèi)平面基本性質(zhì)2經(jīng)過不在同一條直線上的

，有且只有一個平面(即

確定一個平面)確定平面及兩個平面重合的依據(jù)基本性質(zhì)3如果不重合的兩個平面有

公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過這個點(diǎn)的公共直線判斷兩平面相交，線共點(diǎn)，點(diǎn)共線的依據(jù)三點(diǎn)不共線的三點(diǎn)一個(2)平面基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，

平面.推論2：經(jīng)過兩條

直線，有且只有一個平面.推論3：經(jīng)過兩條

直線，有且只有一個平面.有且只有一個相交平行知識點(diǎn)二點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系及表示思考直線和平面都是由點(diǎn)組成的，聯(lián)系集合的觀點(diǎn)，點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系，如何用符號來表示？直線和平面呢？答案

點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系可用數(shù)字符號“∈”或“?”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學(xué)符號

“?”或“?”表示.梳理點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及表示文字語言符號語言圖形語言A在l上A∈lA在l外A?lA在α內(nèi)A∈αA在α外A?αl在α內(nèi)l?αl在α外l?αl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l知識點(diǎn)三共面與異面直線思考如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，點(diǎn)A在α外，那么直線l與直線AB能不能在同一個平面內(nèi)？為什么？直線l與直線AB的位置關(guān)系是怎樣的？答案不可能在同一個平面內(nèi)，因?yàn)槿绻谕粋€平面內(nèi)，點(diǎn)A就在α內(nèi)，這與點(diǎn)A在α外矛盾.由圖知，直線l與直線AB沒有公共點(diǎn)，所以它們不相交，直線l與直線AB不可能平行，否則它們就會同在平面α內(nèi)，所以直線l與直線AB既不相交也不平行.梳理共面與異面直線(1)共面①概念：空間中的幾個點(diǎn)或幾條直線，都在

內(nèi).②特征：共面的直線

或者

.(2)異面直線①概念：既不

又不

的直線.②判斷方法：與一平面相交于一點(diǎn)的直線與這個平面內(nèi)

的直線是異面直線.同一平面相交平行相交平行不經(jīng)過交點(diǎn)[思考辨析判斷正誤]1.分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線.(

)2.兩直線若不是異面直線，則必相交或平行.(

)×√題型探究例1如圖，用符號表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.類型一點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的符號表示解答解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P.反思與感悟

(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列符號表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；解答解點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖①.(2)l?α，m∩α＝A，A?l；解答解直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，如圖②.(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.解答解平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC，如圖③.類型二平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用命題角度1點(diǎn)、線共面問題例2如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.解答解

因?yàn)镻Q∥a，所以PQ與a確定一個平面β.所以直線a?β，點(diǎn)P∈β.因?yàn)镻∈b，b?α，所以P∈α.又因?yàn)閍?α，所以α與β重合，所以PQ?α.引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi).解答解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：a，b，c和l共面.證明：如圖，∵a∥b，∴a與b確定一個平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.∵b∥c，∴b與c確定一個平面β，同理l?β.∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B，由推論2知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面，∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思與感悟證明多線共面的兩種方法(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi).(2)重合法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線也在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合.跟蹤訓(xùn)練2已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).證明證明

方法一

(納入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).方法二

(輔助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi).∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).命題角度2點(diǎn)共線與線共點(diǎn)問題例3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn).求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn).證明證明

如圖，連接EF，D1C，A1B.∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，∴E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面，∴D1F與CE相交，設(shè)交點(diǎn)為P.又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn).又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根據(jù)基本性質(zhì)3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA相交于一點(diǎn).反思與感悟

(1)點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用基本性質(zhì)3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上.(2)三線共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示.求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.證明證明

方法一

∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本性質(zhì)3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P，Q，R三點(diǎn)共線.方法二

∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線.類型三異面直線的判定解答例4如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么NC，DE，AF，BM這四條線段所在的直線是異面直線的有多少對？試以其中一對為例進(jìn)行證明.解將展開圖還原為正方體(如圖).NC與DE，NC與AF，NC與BM，DE與AF，DE與BM，AF與BM，都是異面直線，共有6對.以NC與AF是異面直線為例證明如下：方法一連接BE，若NC∥AF，則由NC∥BE，可知AF∥BE，這與AF與BE相交矛盾.故NC與AF不平行.若NC與AF相交，則平面ABFE與平面CDNM有公共點(diǎn)，這與正方體的性質(zhì)矛盾.故NC與AF不相交.所以NC與AF異面.方法二連接BE，如圖，因?yàn)橹本€NC?平面BCNE，直線AF∩平面BCNE＝O.O?直線NC，所以NC與AF異面.反思與感悟判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交.(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線.用符號語言可表示為A?α，B∈α，l?α，B?l?AB與l是異面直線(如圖).跟蹤訓(xùn)練4分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是A.異面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能解析解析如圖(1)所示，直線a與b互相平行；如圖(2)所示，直線a與b相交；如圖(3)所示，直線a與b異面.答案√達(dá)標(biāo)檢測答案1.若A∈平面α，B∈平面α，C∈直線AB，則A.C∈α B.C?αC.AB?α

D.AB∩α＝C12345解析解析因?yàn)锳∈平面α，B∈平面α，所以AB?α.又因?yàn)镃∈直線AB，所以C∈α.√2.平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為A.3 B.4 C.5 D.612345答案解析解析如圖，用列舉法知符合要求的棱為：BC，CD，C1D1，BB1，AA1，故選C.√1233.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，與A